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8.某校24个班级在植树节进行植树活动,活动后统计了各班级植树的数量。绘制成如图所示的频数分布直方图(每组含前一个数值,不含后一个数值)。根据统计结果,有两种说法:①组界为31～38的频数是5;②一定有2个班级的植树数量相等。下列判断正确的是 …………………………………………………（）
A.①②都正确
B.①正确,②错误
C.①②都错误
D.①错误,②正确
某校24个班级植树的频数直方图
A.①②都正确
B.①正确,②错误
C.①②都错误
D.①错误,②正确
某校24个班级植树的频数直方图
答案
C
解析
1. 分析说法①：由图可知各组区间依次为[13.5,20.5)、[20.5,27.5)、[27.5,34.5)、[34.5,41.5)、[41.5,48.5)，组界为31~38的区间跨了第三组和第四组，其频数不等于5，故①错误。
2. 分析说法②：植树棵数为整数，每组内最多有7个互不相等的整数值，各组频数4、5、7、5、3均不超过7，可构造出24个班级的植树棵数全部互不相等的情况，因此“一定有2个班级的植树数量相等”不成立，故②错误。
综上①②都错误。
2. 分析说法②：植树棵数为整数，每组内最多有7个互不相等的整数值，各组频数4、5、7、5、3均不超过7，可构造出24个班级的植树棵数全部互不相等的情况，因此“一定有2个班级的植树数量相等”不成立，故②错误。
综上①②都错误。
9.若关于$x$的分式方程$\dfrac{m}{x - 4} + \dfrac{x + 2}{4 - x} = 0$无解，则$m$的值为（）
A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$
A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$
答案
A
解析
先对原分式方程变形，将分母统一为$x-4$，可得：$\frac{m}{x-4} - \frac{x+2}{x-4}=0$。
方程两边同乘最简公分母$(x-4)$去分母，得到整式方程：$m-(x+2)=0$。
解该整式方程，得$x=m-2$。
分式方程无解，说明该整式方程的解是原分式方程的增根，增根满足原分母为0，即$x-4=0$，得$x=4$。
将$x=4$代入$x=m-2$，得$4=m-2$，解得$m=6$。
方程两边同乘最简公分母$(x-4)$去分母，得到整式方程：$m-(x+2)=0$。
解该整式方程，得$x=m-2$。
分式方程无解，说明该整式方程的解是原分式方程的增根，增根满足原分母为0，即$x-4=0$，得$x=4$。
将$x=4$代入$x=m-2$，得$4=m-2$，解得$m=6$。
10.若 $ x $ 取正整数,则代数式 $ x^3 - x $ 的值可以是 …………（）
A.2181
B.2182
C.2183
D.2184
A.2181
B.2182
C.2183
D.2184
答案
D
解析
先对代数式因式分解：
$x^3 - x = x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)$，该式是三个连续正整数的乘积。
三个连续正整数中，必有一个数是2的倍数、一个数是3的倍数，因此它们的乘积一定能被6整除。
分别验证选项：
$2181÷6=363.5$，不是整数，不符合；
$2182÷6\approx363.67$，不是整数，不符合；
$2183÷6\approx363.83$，不是整数，不符合；
$2184÷6=364$，是整数，且当$x=13$时，$12×13×14=2184$，符合要求。
$x^3 - x = x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)$，该式是三个连续正整数的乘积。
三个连续正整数中，必有一个数是2的倍数、一个数是3的倍数，因此它们的乘积一定能被6整除。
分别验证选项：
$2181÷6=363.5$，不是整数，不符合；
$2182÷6\approx363.67$，不是整数，不符合；
$2183÷6\approx363.83$，不是整数，不符合；
$2184÷6=364$，是整数，且当$x=13$时，$12×13×14=2184$，符合要求。
11.若分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0，则$x=$______。
答案
解：
若分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0，
则需满足分子$x+2=0$，且分母$x-2≠0$。
由$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，$x-2=-4≠0$，符合条件。
所以$x=-2$。
若分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0，
则需满足分子$x+2=0$，且分母$x-2≠0$。
由$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，$x-2=-4≠0$，符合条件。
所以$x=-2$。
12.若某组数据的频率为0.45，样本容量为500，则这组数据的频数为________。
答案
225
解析
解：根据频数与频率、样本容量的关系：
频数 = 频率 × 样本容量
代入已知数据计算：
这组数据的频数 = $0.45 × 500 = 225$
频数 = 频率 × 样本容量
代入已知数据计算：
这组数据的频数 = $0.45 × 500 = 225$
13.若一个多项式$x^2+mx+1$是一个完全平方式，则$m=$。
答案
$\boldsymbol{\pm2}$
解析
解：
由完全平方公式可知，$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
将多项式$x^2+mx+1$与完全平方式的结构对比，可得$a=x$，$b=1$，
因此一次项满足$mx=\pm2ab=\pm2· x·1=\pm2x$，
即$m=\pm2$。
最终
由完全平方公式可知，$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
将多项式$x^2+mx+1$与完全平方式的结构对比，可得$a=x$，$b=1$，
因此一次项满足$mx=\pm2ab=\pm2· x·1=\pm2x$，
即$m=\pm2$。
最终
14.如图,把一把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=28°,则∠2的度数为。
答案
$\boldsymbol{62°}$
解析
解：
∵ 直尺的上下两边互相平行，三角尺的直角为90°，由两直线平行，内错角相等可得∠1 + ∠2 = 90°，
又∵ ∠1=28°，
∴ ∠2=90°-28°=62°。
∵ 直尺的上下两边互相平行，三角尺的直角为90°，由两直线平行，内错角相等可得∠1 + ∠2 = 90°，
又∵ ∠1=28°，
∴ ∠2=90°-28°=62°。
15.若多项式 $ ax^2 - 6x + 3 $ 有一个因式为 $ (x - 1) $，则 $ a $ 的值为 ______。
答案
$\boxed{3}$
解析
解：
∵ 多项式 $ax^2 - 6x + 3$ 有一个因式为 $(x-1)$，
∴ 当 $x=1$ 时，该多项式的值为 0，
将 $x=1$ 代入多项式得：
$a×1^2 - 6×1 + 3 = 0$，
化简得 $a - 3 = 0$，
解得 $a=3$。
∵ 多项式 $ax^2 - 6x + 3$ 有一个因式为 $(x-1)$，
∴ 当 $x=1$ 时，该多项式的值为 0，
将 $x=1$ 代入多项式得：
$a×1^2 - 6×1 + 3 = 0$，
化简得 $a - 3 = 0$，
解得 $a=3$。
16.如图,将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为$CD,FH$。若$AE// FH,∠ 1=n∠ 2$,则$∠ FGD$的度数为$\underline{\hspace{8cm}}$。(用含$n$的代数式表示)
答案
$\dfrac{360°}{n+2}$
解析
解：
由纸带两边沿互相平行，得$ED// CN$，
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ EDC=∠ 2$。
由折叠的性质，得$∠ CDG=∠ EDC=∠ 2$，
由平角的定义，得$∠ EDC + ∠ CDG + ∠ 1 = 180°$，
即$2∠ 2 + ∠ 1 = 180°$。
将$∠ 1 = n∠ 2$代入上式，得$2∠ 2 + n∠ 2 = 180°$，
解得$∠ 2 = \dfrac{180°}{n+2}$，因此$∠ 1 = n∠ 2 = \dfrac{180° n}{n+2}$。
由纸带两边沿互相平行，得$FD// HN$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ FGD + ∠ 1 = 180°$，
所以$∠ FGD = 180° - ∠ 1 = 180° - \dfrac{180° n}{n+2} = \dfrac{360°}{n+2}$。
由纸带两边沿互相平行，得$ED// CN$，
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ EDC=∠ 2$。
由折叠的性质，得$∠ CDG=∠ EDC=∠ 2$，
由平角的定义，得$∠ EDC + ∠ CDG + ∠ 1 = 180°$，
即$2∠ 2 + ∠ 1 = 180°$。
将$∠ 1 = n∠ 2$代入上式，得$2∠ 2 + n∠ 2 = 180°$，
解得$∠ 2 = \dfrac{180°}{n+2}$，因此$∠ 1 = n∠ 2 = \dfrac{180° n}{n+2}$。
由纸带两边沿互相平行，得$FD// HN$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ FGD + ∠ 1 = 180°$，
所以$∠ FGD = 180° - ∠ 1 = 180° - \dfrac{180° n}{n+2} = \dfrac{360°}{n+2}$。
