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一、填空题
1. 方程组$\begin{cases}a - 2b = 3, \\2a - 4b = 9 - 3a\end{cases}$的解为________.
2. 方程组$\begin{cases}m - n = 9, \\n + 3(m + n) = 6\end{cases}$的解为________.
1. 方程组$\begin{cases}a - 2b = 3, \\2a - 4b = 9 - 3a\end{cases}$的解为________.
2. 方程组$\begin{cases}m - n = 9, \\n + 3(m + n) = 6\end{cases}$的解为________.
答案
1.$\begin{cases}a = 1, \\b = -1\end{cases}$
2.$\begin{cases}m = 6, \\n = -3\end{cases}$
2.$\begin{cases}m = 6, \\n = -3\end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，消元前需先将非标准形式的方程化简为$ax+by=c$的标准形式，再根据方程特点选择消元方法。本题两个方程组的第一个方程都可以快速变形为用一个未知数表示另一个未知数的式子，因此选择代入消元法最简便：先化简第二个方程，再将第一个方程变形后的式子代入化简后的方程，先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数的值即可。
【解析】
1. 解第一个方程组：
先化简第二个方程：对$2a - 4b = 9 - 3a$移项，得$2a+3a-4b=9$，合并同类项得$5a-4b=9$ ③。
由第一个方程$a - 2b = 3$ ①变形得：$a=3+2b$ ②。
将②代入③得：$5(3+2b)-4b=9$，展开计算得$15+10b-4b=9$，即$15+6b=9$，移项得$6b=-6$，解得$b=-1$。
将$b=-1$代入②得：$a=3+2×(-1)=1$。
2. 解第二个方程组：
先化简第二个方程：对$n + 3(m + n) = 6$展开得$n+3m+3n=6$，合并同类项得$3m+4n=6$ ③。
由第一个方程$m - n = 9$ ①变形得：$m=9+n$ ②。
将②代入③得：$3(9+n)+4n=6$，展开计算得$27+3n+4n=6$，即$27+7n=6$，移项得$7n=-21$，解得$n=-3$。
将$n=-3$代入②得：$m=9+(-3)=6$。
【答案】
1.$\begin{cases}a = 1, \\b = -1\end{cases}$
2.$\begin{cases}m = 6, \\n = -3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，代入消元法，整式化简
【点评】
本题考查二元一次方程组的基本解法，解题的关键是先将非标准形式的方程化简，再根据方程特征灵活选择消元方法，代入消元法适用于一个未知数可方便用另一个未知数表示的场景，计算时要注意移项变号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心是消元，消元前需先将非标准形式的方程化简为$ax+by=c$的标准形式，再根据方程特点选择消元方法。本题两个方程组的第一个方程都可以快速变形为用一个未知数表示另一个未知数的式子，因此选择代入消元法最简便：先化简第二个方程，再将第一个方程变形后的式子代入化简后的方程，先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数的值即可。
【解析】
1. 解第一个方程组：
先化简第二个方程：对$2a - 4b = 9 - 3a$移项，得$2a+3a-4b=9$，合并同类项得$5a-4b=9$ ③。
由第一个方程$a - 2b = 3$ ①变形得：$a=3+2b$ ②。
将②代入③得：$5(3+2b)-4b=9$，展开计算得$15+10b-4b=9$，即$15+6b=9$，移项得$6b=-6$，解得$b=-1$。
将$b=-1$代入②得：$a=3+2×(-1)=1$。
2. 解第二个方程组：
先化简第二个方程：对$n + 3(m + n) = 6$展开得$n+3m+3n=6$，合并同类项得$3m+4n=6$ ③。
由第一个方程$m - n = 9$ ①变形得：$m=9+n$ ②。
将②代入③得：$3(9+n)+4n=6$，展开计算得$27+3n+4n=6$，即$27+7n=6$，移项得$7n=-21$，解得$n=-3$。
将$n=-3$代入②得：$m=9+(-3)=6$。
【答案】
1.$\begin{cases}a = 1, \\b = -1\end{cases}$
2.$\begin{cases}m = 6, \\n = -3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，代入消元法，整式化简
【点评】
本题考查二元一次方程组的基本解法，解题的关键是先将非标准形式的方程化简，再根据方程特征灵活选择消元方法，代入消元法适用于一个未知数可方便用另一个未知数表示的场景，计算时要注意移项变号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 方程组$\begin{cases}2(u+1)-v=11, \\ \dfrac{u+1}{3}=2v\end{cases}$的解为________.
4. 方程组$\begin{cases}5s+3(s+3t)=3, \\ 2s-11=3(s+3t)\end{cases}$的解为________.
4. 方程组$\begin{cases}5s+3(s+3t)=3, \\ 2s-11=3(s+3t)\end{cases}$的解为________.
答案
3.$\begin{cases}u = 5, \\v = 1\end{cases}$
4.$\begin{cases}s = 2, \\t = -\dfrac{13}{9}\end{cases}$
4.$\begin{cases}s = 2, \\t = -\dfrac{13}{9}\end{cases}$
解析
【分析】
第3题的方程组中均含有代数式$u+1$，可先对第二个方程变形得到$u+1=6v$，采用代入消元法，将$u+1$整体代入第一个方程，消去$u$后先求出$v$的值，再回代求出$u$即可；第4题的方程组中均含有代数式$s+3t$，可先从第二个方程整理得出$3(s+3t)=2s-11$，将其整体代入第一个方程，消去$s+3t$后先求出$s$的值，再回代求出$t$即可，选用整体代入法可简化计算步骤。
【解析】
3. 解：整理第二个方程$\dfrac{u+1}{3}=2v$，两边同乘3得：$u+1=6v$ ③
将③代入第一个方程$2(u+1)-v=11$，得：$2×6v -v=11$
合并同类项得：$11v=11$，解得$v=1$
把$v=1$代入③，得：$u+1=6×1$，解得$u=5$
所以方程组的解为$\begin{cases}u=5 \\ v=1\end{cases}$
4. 解：由第二个方程$2s-11=3(s+3t)$可得：$3(s+3t)=2s-11$ ③
将③代入第一个方程$5s+3(s+3t)=3$，得：$5s + 2s -11=3$
合并同类项得：$7s=14$，解得$s=2$
把$s=2$代入③，得：$3×(2+3t)=2×2 -11$
化简得：$6+9t=4-11$，即$9t=-13$，解得$t=-\dfrac{13}{9}$
所以方程组的解为$\begin{cases}s=2 \\ t=-\dfrac{13}{9}\end{cases}$
【答案】
3.$\begin{cases}u = 5, \\v = 1\end{cases}$
4.$\begin{cases}s = 2, \\t = -\dfrac{13}{9}\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，整体思想，二元一次方程组的解
【点评】
这两道题考查二元一次方程组的求解，解题时可先观察方程组的结构特征，若存在公共的整体代数式，优先使用整体代入法，可有效简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
第3题的方程组中均含有代数式$u+1$，可先对第二个方程变形得到$u+1=6v$，采用代入消元法，将$u+1$整体代入第一个方程，消去$u$后先求出$v$的值，再回代求出$u$即可；第4题的方程组中均含有代数式$s+3t$，可先从第二个方程整理得出$3(s+3t)=2s-11$，将其整体代入第一个方程，消去$s+3t$后先求出$s$的值，再回代求出$t$即可，选用整体代入法可简化计算步骤。
【解析】
3. 解：整理第二个方程$\dfrac{u+1}{3}=2v$，两边同乘3得：$u+1=6v$ ③
将③代入第一个方程$2(u+1)-v=11$，得：$2×6v -v=11$
合并同类项得：$11v=11$，解得$v=1$
把$v=1$代入③，得：$u+1=6×1$，解得$u=5$
所以方程组的解为$\begin{cases}u=5 \\ v=1\end{cases}$
4. 解：由第二个方程$2s-11=3(s+3t)$可得：$3(s+3t)=2s-11$ ③
将③代入第一个方程$5s+3(s+3t)=3$，得：$5s + 2s -11=3$
合并同类项得：$7s=14$，解得$s=2$
把$s=2$代入③，得：$3×(2+3t)=2×2 -11$
化简得：$6+9t=4-11$，即$9t=-13$，解得$t=-\dfrac{13}{9}$
所以方程组的解为$\begin{cases}s=2 \\ t=-\dfrac{13}{9}\end{cases}$
【答案】
3.$\begin{cases}u = 5, \\v = 1\end{cases}$
4.$\begin{cases}s = 2, \\t = -\dfrac{13}{9}\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，整体思想，二元一次方程组的解
【点评】
这两道题考查二元一次方程组的求解，解题时可先观察方程组的结构特征，若存在公共的整体代数式，优先使用整体代入法，可有效简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
二、解下列方程组
5. $\begin{cases} 3x+2y=12, \\ \dfrac{3x+2y}{4}+3y=12 \end{cases}$
6. $\begin{cases} \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{3y+1}{6}, \\ x-2y=1 \end{cases}$
7. $\begin{cases} \dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y-3}{2}, \\ 3x+4y=32 \end{cases}$
8.
9. $\begin{cases} x-2y=3, \\ \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}y=\dfrac{13}{4} \end{cases}$
10.
11. $\begin{cases} 2(u+v)-3(u-v)=3, \\ 4(u+v)+3u=15+3v \end{cases}$
12. $\begin{cases} 4\% · x -15\% · y =6.5\% ×200, \\ 2(x-120)-5(y-20)=660 \end{cases}$
5. $\begin{cases} 3x+2y=12, \\ \dfrac{3x+2y}{4}+3y=12 \end{cases}$
6. $\begin{cases} \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{3y+1}{6}, \\ x-2y=1 \end{cases}$
7. $\begin{cases} \dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y-3}{2}, \\ 3x+4y=32 \end{cases}$
8.
9. $\begin{cases} x-2y=3, \\ \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}y=\dfrac{13}{4} \end{cases}$
10.
11. $\begin{cases} 2(u+v)-3(u-v)=3, \\ 4(u+v)+3u=15+3v \end{cases}$
12. $\begin{cases} 4\% · x -15\% · y =6.5\% ×200, \\ 2(x-120)-5(y-20)=660 \end{cases}$
答案
5.$\begin{cases}x = 2, \\y = 3\end{cases}$
6.$\begin{cases}x = 3, \\y = 1\end{cases}$
7.$\begin{cases}x = 4, \\y = 5\end{cases}$
8.$\begin{cases}x = 3, \\y = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
9.$\begin{cases}x = 5, \\y = 1\end{cases}$
10.$\begin{cases}m = 7, \\n = -4\end{cases}$
11.$\begin{cases}u = 2, \\v = 1\end{cases}$
12.$\begin{cases}x = 550, \\y = 60\end{cases}$
6.$\begin{cases}x = 3, \\y = 1\end{cases}$
7.$\begin{cases}x = 4, \\y = 5\end{cases}$
8.$\begin{cases}x = 3, \\y = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
9.$\begin{cases}x = 5, \\y = 1\end{cases}$
10.$\begin{cases}m = 7, \\n = -4\end{cases}$
11.$\begin{cases}u = 2, \\v = 1\end{cases}$
12.$\begin{cases}x = 550, \\y = 60\end{cases}$
解析
第5题
【分析】观察方程组发现第二个方程中含有第一个方程的整体代数式$3x+2y$，可采用整体代入法简化计算，先代入求$y$，再回代求$x$即可。
【解析】
记$\begin{cases} 3x+2y=12 &① \\ \dfrac{3x+2y}{4}+3y=12 &② \end{cases}$
把①代入②得：$\dfrac{12}{4}+3y=12$，即$3+3y=12$，解得$y=3$
把$y=3$代入①得：$3x+6=12$，解得$x=2$
【答案】
$\begin{cases}x = 2 \\y = 3\end{cases}$
【知识点】
整体代入消元法、二元一次方程组求解
【点评】
遇到方程中出现另一方程的整体代数式时，优先选用整体代入法，可大幅减少计算量。
【难度系数】
0.9
---
第6题
【分析】第一个方程含分母，先去分母化为标准整式方程，第二个方程可直接用$y$表示$x$，选用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{3y+1}{6} &① \\ x-2y=1 &② \end{cases}$
①两边同乘6去分母得：$2(x-1)=3y+1$，整理得$2x-3y=3$ ③
由②得$x=2y+1$ ④，把④代入③得：$2(2y+1)-3y=3$，解得$y=1$
把$y=1$代入④得$x=3$
【答案】
$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$
【知识点】
去分母化简、代入消元法
【点评】
解含分母的方程组时，先去分母化为标准$ax+by=c$的形式，再根据系数特点选消元方法。
【难度系数】
0.85
---
第7题
【分析】第一个方程为比例形式，先交叉相乘去分母化为标准整式方程，再用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} \dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y-3}{2} &① \\ 3x+4y=32 &② \end{cases}$
①交叉相乘去分母得：$2(x+1)=5(y-3)$，整理得$2x-5y=-17$ ③
由③得$x=\dfrac{5y-17}{2}$ ④，把④代入②得：$3×\dfrac{5y-17}{2}+4y=32$
两边同乘2得：$15y-51+8y=64$，解得$y=5$
把$y=5$代入④得$x=4$
【答案】
$\begin{cases}x = 4 \\y = 5\end{cases}$
【知识点】
比例方程化简、代入消元法
【点评】
比例形式的方程用交叉相乘去分母更快捷，后续按常规消元步骤计算即可。
【难度系数】
0.85
---
第8题
【分析】先将原方程组去分母、去括号化为标准二元一次方程组，再根据系数特点选代入或加减消元法求解即可。
【解析】
先将方程组化简为标准整数系数形式，通过消元先求得$y=\dfrac{1}{2}$，再回代求得$x=3$。
【答案】
$\begin{cases}x = 3 \\y = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
方程组化简、消元法
【点评】
熟练掌握方程化简步骤，结合系数特点选消元方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
---
第9题
【分析】第二个方程含分数系数，先去分母化为整数系数方程，第一个方程可直接用$y$表示$x$，选用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} x-2y=3 &① \\ \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}y=\dfrac{13}{4} &② \end{cases}$
②两边同乘4去分母得：$2x+3y=13$ ③
由①得$x=2y+3$ ④，把④代入③得：$2(2y+3)+3y=13$，解得$y=1$
把$y=1$代入④得$x=5$
【答案】
$\begin{cases}x = 5 \\y = 1\end{cases}$
【知识点】
分数系数方程化简、代入消元法
【点评】
含分数系数的方程组优先去分母化为整数系数，可降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
---
第10题
【分析】先将原方程组化简为标准二元一次方程组，再通过消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值后回代求解即可。
【解析】
先化简方程组为标准形式，通过消元先求得$n=-4$，再回代求得$m=7$。
【答案】
$\begin{cases}m = 7 \\n = -4\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、消元法
【点评】
计算过程注意符号问题，熟练掌握消元方法即可正确求解。
【难度系数】
0.8
---
第11题
【分析】两个方程都含括号，先去括号、合并同类项化为标准二元一次方程组，再选用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} 2(u+v)-3(u-v)=3 &① \\ 4(u+v)+3u=15+3v &② \end{cases}$
化简①：去括号合并得$-u+5v=3$ ③
化简②：去括号合并得$7u+v=15$ ④
由③得$u=5v-3$ ⑤，把⑤代入④得：$7(5v-3)+v=15$，解得$v=1$
把$v=1$代入⑤得$u=2$
【答案】
$\begin{cases}u = 2 \\v = 1\end{cases}$
【知识点】
方程组化简、代入消元法
【点评】
含括号的方程组先去括号合并为标准形式，再选合适的消元方法计算即可。
【难度系数】
0.75
---
第12题
【分析】第一个方程含百分数，先去百分号化为整数系数方程，第二个方程含括号，先去括号化简为标准方程，再选用加减消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} 4\% · x -15\% · y =6.5\% ×200 &① \\ 2(x-120)-5(y-20)=660 &② \end{cases}$
化简①：两边同乘100得$4x-15y=1300$ ③
化简②：去括号合并得$2x-5y=800$ ④
④×2得$4x-10y=1600$ ⑤，⑤-③得$5y=300$，解得$y=60$
把$y=60$代入④得$2x-300=800$，解得$x=550$
【答案】
$\begin{cases}x = 550 \\y = 60\end{cases}$
【知识点】
含百分数方程化简、加减消元法
【点评】
解含百分数、括号的复杂方程组时，先化简为标准整数系数形式，计算过程注意不要漏乘、符号不要出错。
【难度系数】
0.7
【分析】观察方程组发现第二个方程中含有第一个方程的整体代数式$3x+2y$，可采用整体代入法简化计算，先代入求$y$，再回代求$x$即可。
【解析】
记$\begin{cases} 3x+2y=12 &① \\ \dfrac{3x+2y}{4}+3y=12 &② \end{cases}$
把①代入②得：$\dfrac{12}{4}+3y=12$，即$3+3y=12$，解得$y=3$
把$y=3$代入①得：$3x+6=12$，解得$x=2$
【答案】
$\begin{cases}x = 2 \\y = 3\end{cases}$
【知识点】
整体代入消元法、二元一次方程组求解
【点评】
遇到方程中出现另一方程的整体代数式时，优先选用整体代入法，可大幅减少计算量。
【难度系数】
0.9
---
第6题
【分析】第一个方程含分母，先去分母化为标准整式方程，第二个方程可直接用$y$表示$x$，选用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{3y+1}{6} &① \\ x-2y=1 &② \end{cases}$
①两边同乘6去分母得：$2(x-1)=3y+1$，整理得$2x-3y=3$ ③
由②得$x=2y+1$ ④，把④代入③得：$2(2y+1)-3y=3$，解得$y=1$
把$y=1$代入④得$x=3$
【答案】
$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$
【知识点】
去分母化简、代入消元法
【点评】
解含分母的方程组时，先去分母化为标准$ax+by=c$的形式，再根据系数特点选消元方法。
【难度系数】
0.85
---
第7题
【分析】第一个方程为比例形式，先交叉相乘去分母化为标准整式方程，再用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} \dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y-3}{2} &① \\ 3x+4y=32 &② \end{cases}$
①交叉相乘去分母得：$2(x+1)=5(y-3)$，整理得$2x-5y=-17$ ③
由③得$x=\dfrac{5y-17}{2}$ ④，把④代入②得：$3×\dfrac{5y-17}{2}+4y=32$
两边同乘2得：$15y-51+8y=64$，解得$y=5$
把$y=5$代入④得$x=4$
【答案】
$\begin{cases}x = 4 \\y = 5\end{cases}$
【知识点】
比例方程化简、代入消元法
【点评】
比例形式的方程用交叉相乘去分母更快捷，后续按常规消元步骤计算即可。
【难度系数】
0.85
---
第8题
【分析】先将原方程组去分母、去括号化为标准二元一次方程组，再根据系数特点选代入或加减消元法求解即可。
【解析】
先将方程组化简为标准整数系数形式，通过消元先求得$y=\dfrac{1}{2}$，再回代求得$x=3$。
【答案】
$\begin{cases}x = 3 \\y = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
【知识点】
方程组化简、消元法
【点评】
熟练掌握方程化简步骤，结合系数特点选消元方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
---
第9题
【分析】第二个方程含分数系数，先去分母化为整数系数方程，第一个方程可直接用$y$表示$x$，选用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} x-2y=3 &① \\ \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}y=\dfrac{13}{4} &② \end{cases}$
②两边同乘4去分母得：$2x+3y=13$ ③
由①得$x=2y+3$ ④，把④代入③得：$2(2y+3)+3y=13$，解得$y=1$
把$y=1$代入④得$x=5$
【答案】
$\begin{cases}x = 5 \\y = 1\end{cases}$
【知识点】
分数系数方程化简、代入消元法
【点评】
含分数系数的方程组优先去分母化为整数系数，可降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
---
第10题
【分析】先将原方程组化简为标准二元一次方程组，再通过消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值后回代求解即可。
【解析】
先化简方程组为标准形式，通过消元先求得$n=-4$，再回代求得$m=7$。
【答案】
$\begin{cases}m = 7 \\n = -4\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、消元法
【点评】
计算过程注意符号问题，熟练掌握消元方法即可正确求解。
【难度系数】
0.8
---
第11题
【分析】两个方程都含括号，先去括号、合并同类项化为标准二元一次方程组，再选用代入消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} 2(u+v)-3(u-v)=3 &① \\ 4(u+v)+3u=15+3v &② \end{cases}$
化简①：去括号合并得$-u+5v=3$ ③
化简②：去括号合并得$7u+v=15$ ④
由③得$u=5v-3$ ⑤，把⑤代入④得：$7(5v-3)+v=15$，解得$v=1$
把$v=1$代入⑤得$u=2$
【答案】
$\begin{cases}u = 2 \\v = 1\end{cases}$
【知识点】
方程组化简、代入消元法
【点评】
含括号的方程组先去括号合并为标准形式，再选合适的消元方法计算即可。
【难度系数】
0.75
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第12题
【分析】第一个方程含百分数，先去百分号化为整数系数方程，第二个方程含括号，先去括号化简为标准方程，再选用加减消元法求解即可。
【解析】
记$\begin{cases} 4\% · x -15\% · y =6.5\% ×200 &① \\ 2(x-120)-5(y-20)=660 &② \end{cases}$
化简①：两边同乘100得$4x-15y=1300$ ③
化简②：去括号合并得$2x-5y=800$ ④
④×2得$4x-10y=1600$ ⑤，⑤-③得$5y=300$，解得$y=60$
把$y=60$代入④得$2x-300=800$，解得$x=550$
【答案】
$\begin{cases}x = 550 \\y = 60\end{cases}$
【知识点】
含百分数方程化简、加减消元法
【点评】
解含百分数、括号的复杂方程组时，先化简为标准整数系数形式，计算过程注意不要漏乘、符号不要出错。
【难度系数】
0.7
