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1. 方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ x-y=3\end{cases}$的解为 ______ 。
2. 方程组$\begin{cases}a+2b=4, \\ 3a-2b=-12\end{cases}$的解为 ______ 。
2. 方程组$\begin{cases}a+2b=4, \\ 3a-2b=-12\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
1.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
2.$\begin{cases} a=-2, \\ b=3 \end{cases}$
2.$\begin{cases} a=-2, \\ b=3 \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题均为二元一次方程组求解问题，观察方程组的未知数系数特征可知：第1题中y的系数为1和-1，互为相反数；第2题中b的系数为2和-2，互为相反数，因此都适合用加减消元法求解。解题思路为：先将两个方程左右两边分别相加，消去系数互为相反数的未知数，求出剩余未知数的值，再将其代入任意一个原方程，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
1. 对第一个方程组标记序号：
$\begin{cases}x+y=1 \ \ \ ① \\ x-y=3 \ \ \ ②\end{cases}$
将①+②消去未知数y，可得：
$x+y+x-y=1+3$
化简得$2x=4$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①式，得$2+y=1$，解得$y=-1$。
2. 对第二个方程组标记序号：
$\begin{cases}a+2b=4 \ \ \ ① \\ 3a-2b=-12 \ \ \ ②\end{cases}$
将①+②消去未知数b，可得：
$a+2b+3a-2b=4+(-12)$
化简得$4a=-8$，解得$a=-2$。
把$a=-2$代入①式，得$-2+2b=4$，解得$b=3$。
【答案】
1.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
2.$\begin{cases} a=-2, \\ b=3 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程组的解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，解题核心是观察同一未知数的系数特征，当某一未知数的系数互为相反数时，直接将两个方程相加即可消去该未知数，计算过程中注意符号运算即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
这两道题均为二元一次方程组求解问题，观察方程组的未知数系数特征可知：第1题中y的系数为1和-1，互为相反数；第2题中b的系数为2和-2，互为相反数，因此都适合用加减消元法求解。解题思路为：先将两个方程左右两边分别相加，消去系数互为相反数的未知数，求出剩余未知数的值，再将其代入任意一个原方程，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
1. 对第一个方程组标记序号：
$\begin{cases}x+y=1 \ \ \ ① \\ x-y=3 \ \ \ ②\end{cases}$
将①+②消去未知数y，可得：
$x+y+x-y=1+3$
化简得$2x=4$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①式，得$2+y=1$，解得$y=-1$。
2. 对第二个方程组标记序号：
$\begin{cases}a+2b=4 \ \ \ ① \\ 3a-2b=-12 \ \ \ ②\end{cases}$
将①+②消去未知数b，可得：
$a+2b+3a-2b=4+(-12)$
化简得$4a=-8$，解得$a=-2$。
把$a=-2$代入①式，得$-2+2b=4$，解得$b=3$。
【答案】
1.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
2.$\begin{cases} a=-2, \\ b=3 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程组的解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，解题核心是观察同一未知数的系数特征，当某一未知数的系数互为相反数时，直接将两个方程相加即可消去该未知数，计算过程中注意符号运算即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
3. 方程组$\begin{cases}3u+2v=2,\\-u+2v=6\end{cases}$的解为 ______ .
4. 方程组$\begin{cases}3(s+1)-t=0,\\3s+2t=9\end{cases}$的解为 ______ .
4. 方程组$\begin{cases}3(s+1)-t=0,\\3s+2t=9\end{cases}$的解为 ______ .
答案
3.$\begin{cases} u=-1, \\ v=\frac{5}{2} \end{cases}$
4.$\begin{cases} s=\frac{1}{3}, \\ t=4 \end{cases}$
4.$\begin{cases} s=\frac{1}{3}, \\ t=4 \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题均为二元一次方程组求解问题，可使用加减消元法简化计算：第3题中两个方程里v的系数均为2，直接将两个方程相减即可消去v，先求出u的值，再代入任意原方程求出v即可；第4题可先整理第一个方程，再将整理后的方程乘2，使t的系数与第二个方程中t的系数互为相反数，将两式相加消去t，先求出s的值，再代入求t即可。
【解析】
3. 设方程组$\begin{cases}3u+2v=2&①\\-u+2v=6&②\end{cases}$
用①$-$②得：$(3u+2v)-(-u+2v)=2-6$
化简得$4u=-4$，解得$u=-1$
将$u=-1$代入①得：$3×(-1)+2v=2$
移项计算得$2v=5$，即$v=\frac{5}{2}$
4. 设方程组$\begin{cases}3(s+1)-t=0&①\\3s+2t=9&②\end{cases}$
先整理①，去括号得$3s+3-t=0$，即$3s-t=-3$ ③
将③左右两边同时乘2得：$6s-2t=-6$ ④
用④$+$②得：$(6s-2t)+(3s+2t)=-6+9$
化简得$9s=3$，解得$s=\frac{1}{3}$
将$s=\frac{1}{3}$代入②得：$3×\frac{1}{3}+2t=9$
计算得$2t=8$，即$t=4$
【答案】
3.$\begin{cases} u=-1, \\ v=\frac{5}{2} \end{cases}$
4.$\begin{cases} s=\frac{1}{3}, \\ t=4 \end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，重点考查对消元条件的判断和基础运算能力，当方程组中同一未知数的系数相同或互为相反数时，选择加减消元法计算更简便。
【难度系数】
0.85
这两道题均为二元一次方程组求解问题，可使用加减消元法简化计算：第3题中两个方程里v的系数均为2，直接将两个方程相减即可消去v，先求出u的值，再代入任意原方程求出v即可；第4题可先整理第一个方程，再将整理后的方程乘2，使t的系数与第二个方程中t的系数互为相反数，将两式相加消去t，先求出s的值，再代入求t即可。
【解析】
3. 设方程组$\begin{cases}3u+2v=2&①\\-u+2v=6&②\end{cases}$
用①$-$②得：$(3u+2v)-(-u+2v)=2-6$
化简得$4u=-4$，解得$u=-1$
将$u=-1$代入①得：$3×(-1)+2v=2$
移项计算得$2v=5$，即$v=\frac{5}{2}$
4. 设方程组$\begin{cases}3(s+1)-t=0&①\\3s+2t=9&②\end{cases}$
先整理①，去括号得$3s+3-t=0$，即$3s-t=-3$ ③
将③左右两边同时乘2得：$6s-2t=-6$ ④
用④$+$②得：$(6s-2t)+(3s+2t)=-6+9$
化简得$9s=3$，解得$s=\frac{1}{3}$
将$s=\frac{1}{3}$代入②得：$3×\frac{1}{3}+2t=9$
计算得$2t=8$，即$t=4$
【答案】
3.$\begin{cases} u=-1, \\ v=\frac{5}{2} \end{cases}$
4.$\begin{cases} s=\frac{1}{3}, \\ t=4 \end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，重点考查对消元条件的判断和基础运算能力，当方程组中同一未知数的系数相同或互为相反数时，选择加减消元法计算更简便。
【难度系数】
0.85
二、用加减法解下列方程组
5. $\begin{cases} x+2y=4, \\ x-3y=5 \end{cases}$
6. $\begin{cases} 2m+3n=5, \\ -2m+n=-1 \end{cases}$
7. $\begin{cases} 4a+3b=-4, \\ 4a-b=12 \end{cases}$
8. $\begin{cases} 2x-y=5, \\ 7x-3y=20 \end{cases}$
9. $\begin{cases} 4x+3y=14, \\ 3x+2y=8 \end{cases}$
10. $\begin{cases} u+2v=60, \\ 0.1u+0.5v=12 \end{cases}$
11. $\begin{cases} 3x-2y+20=0, \\ 2x+15y-3=0 \end{cases}$
12. $\begin{cases} 3(x+y)-4(x-y)=-18, \\ \frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{6}=2 \end{cases}$
5. $\begin{cases} x+2y=4, \\ x-3y=5 \end{cases}$
6. $\begin{cases} 2m+3n=5, \\ -2m+n=-1 \end{cases}$
7. $\begin{cases} 4a+3b=-4, \\ 4a-b=12 \end{cases}$
8. $\begin{cases} 2x-y=5, \\ 7x-3y=20 \end{cases}$
9. $\begin{cases} 4x+3y=14, \\ 3x+2y=8 \end{cases}$
10. $\begin{cases} u+2v=60, \\ 0.1u+0.5v=12 \end{cases}$
11. $\begin{cases} 3x-2y+20=0, \\ 2x+15y-3=0 \end{cases}$
12. $\begin{cases} 3(x+y)-4(x-y)=-18, \\ \frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{6}=2 \end{cases}$
答案
5.$\begin{cases} x=\frac{22}{5}, \\ y=-\frac{1}{5} \end{cases}$
6.$\begin{cases} m=1, \\ n=1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} a=2, \\ b=-4 \end{cases}$
8.$\begin{cases} x=5, \\ y=5 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-4, \\ y=10 \end{cases}$
10.$\begin{cases} u=20, \\ v=20 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-6, \\ y=1 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=4, \\ y=-2 \end{cases}$
6.$\begin{cases} m=1, \\ n=1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} a=2, \\ b=-4 \end{cases}$
8.$\begin{cases} x=5, \\ y=5 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-4, \\ y=10 \end{cases}$
10.$\begin{cases} u=20, \\ v=20 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-6, \\ y=1 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=4, \\ y=-2 \end{cases}$
解析
【分析】
用加减消元法解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解，思考步骤如下：1. 先把方程组整理为$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的标准形式；2. 观察同一未知数的系数：若系数相等，两式相减消元；若系数互为相反数，两式相加消元；若系数既不相等也不互为相反数，给两式分别乘合适的常数，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再加减消元；3. 解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；4. 将求出的值代入任意一个原方程，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
5. $\begin{cases} x+2y=4 &① \\ x-3y=5 &② \end{cases}$
x的系数相等，①-②得：$(x+2y)-(x-3y)=4-5$，化简得$5y=-1$，解得$y=-\frac{1}{5}$。
将$y=-\frac{1}{5}$代入①得：$x+2×(-\frac{1}{5})=4$，解得$x=\frac{22}{5}$。
6. $\begin{cases} 2m+3n=5 &① \\ -2m+n=-1 &② \end{cases}$
m的系数互为相反数，①+②得：$(2m+3n)+(-2m+n)=5+(-1)$，化简得$4n=4$，解得$n=1$。
将$n=1$代入①得：$2m+3×1=5$，解得$m=1$。
7. $\begin{cases} 4a+3b=-4 &① \\ 4a-b=12 &② \end{cases}$
a的系数相等，①-②得：$(4a+3b)-(4a-b)=-4-12$，化简得$4b=-16$，解得$b=-4$。
将$b=-4$代入②得：$4a-(-4)=12$，解得$a=2$。
8. $\begin{cases} 2x-y=5 &① \\ 7x-3y=20 &② \end{cases}$
给①乘3得$6x-3y=15$ ③，②-③得：$(7x-3y)-(6x-3y)=20-15$，解得$x=5$。
将$x=5$代入①得：$2×5-y=5$，解得$y=5$。
9. $\begin{cases} 4x+3y=14 &① \\ 3x+2y=8 &② \end{cases}$
给①乘2得$8x+6y=28$ ③，给②乘3得$9x+6y=24$ ④，④-③得：$(9x+6y)-(8x+6y)=24-28$，解得$x=-4$。
将$x=-4$代入②得：$3×(-4)+2y=8$，解得$y=10$。
10. $\begin{cases} u+2v=60 &① \\ 0.1u+0.5v=12 &② \end{cases}$
给②乘10消去小数得$u+5v=120$ ③，③-①得：$(u+5v)-(u+2v)=120-60$，化简得$3v=60$，解得$v=20$。
将$v=20$代入①得：$u+2×20=60$，解得$u=20$。
11. 先整理为标准形式$\begin{cases} 3x-2y=-20 &① \\ 2x+15y=3 &② \end{cases}$
给①乘2得$6x-4y=-40$ ③，给②乘3得$6x+45y=9$ ④，④-③得：$(6x+45y)-(6x-4y)=9-(-40)$，化简得$49y=49$，解得$y=1$。
将$y=1$代入②得：$2x+15×1=3$，解得$x=-6$。
12. 设$A=x+y$，$B=x-y$，原方程组化为$\begin{cases} 3A-4B=-18 &① \\ \frac{A}{2}+\frac{B}{6}=2 &② \end{cases}$
给②乘6去分母得$3A+B=12$ ③，③-①得：$(3A+B)-(3A-4B)=12-(-18)$，化简得$5B=30$，解得$B=6$。
将$B=6$代入③得：$3A+6=12$，解得$A=2$。
即$\begin{cases}x+y=2 \\ x-y=6 \end{cases}$，两式相加得$2x=8$，解得$x=4$；两式相减得$2y=-4$，解得$y=-2$。
【答案】
5.$\begin{cases} x=\frac{22}{5}, \\ y=-\frac{1}{5} \end{cases}$
6.$\begin{cases} m=1, \\ n=1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} a=2, \\ b=-4 \end{cases}$
8.$\begin{cases} x=5, \\ y=5 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-4, \\ y=10 \end{cases}$
10.$\begin{cases} u=20, \\ v=20 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-6, \\ y=1 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=4, \\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，等式的性质
【点评】
本组题目覆盖了加减消元法的各类常见考法，从系数可直接消元的基础题型，到需要系数变形、去分母、化简整理、整体换元的进阶题型，层次清晰，能有效巩固加减消元法的解题步骤，提升运算的准确度和解题效率。
【难度系数】
0.7
用加减消元法解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解，思考步骤如下：1. 先把方程组整理为$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的标准形式；2. 观察同一未知数的系数：若系数相等，两式相减消元；若系数互为相反数，两式相加消元；若系数既不相等也不互为相反数，给两式分别乘合适的常数，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再加减消元；3. 解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；4. 将求出的值代入任意一个原方程，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
5. $\begin{cases} x+2y=4 &① \\ x-3y=5 &② \end{cases}$
x的系数相等，①-②得：$(x+2y)-(x-3y)=4-5$，化简得$5y=-1$，解得$y=-\frac{1}{5}$。
将$y=-\frac{1}{5}$代入①得：$x+2×(-\frac{1}{5})=4$，解得$x=\frac{22}{5}$。
6. $\begin{cases} 2m+3n=5 &① \\ -2m+n=-1 &② \end{cases}$
m的系数互为相反数，①+②得：$(2m+3n)+(-2m+n)=5+(-1)$，化简得$4n=4$，解得$n=1$。
将$n=1$代入①得：$2m+3×1=5$，解得$m=1$。
7. $\begin{cases} 4a+3b=-4 &① \\ 4a-b=12 &② \end{cases}$
a的系数相等，①-②得：$(4a+3b)-(4a-b)=-4-12$，化简得$4b=-16$，解得$b=-4$。
将$b=-4$代入②得：$4a-(-4)=12$，解得$a=2$。
8. $\begin{cases} 2x-y=5 &① \\ 7x-3y=20 &② \end{cases}$
给①乘3得$6x-3y=15$ ③，②-③得：$(7x-3y)-(6x-3y)=20-15$，解得$x=5$。
将$x=5$代入①得：$2×5-y=5$，解得$y=5$。
9. $\begin{cases} 4x+3y=14 &① \\ 3x+2y=8 &② \end{cases}$
给①乘2得$8x+6y=28$ ③，给②乘3得$9x+6y=24$ ④，④-③得：$(9x+6y)-(8x+6y)=24-28$，解得$x=-4$。
将$x=-4$代入②得：$3×(-4)+2y=8$，解得$y=10$。
10. $\begin{cases} u+2v=60 &① \\ 0.1u+0.5v=12 &② \end{cases}$
给②乘10消去小数得$u+5v=120$ ③，③-①得：$(u+5v)-(u+2v)=120-60$，化简得$3v=60$，解得$v=20$。
将$v=20$代入①得：$u+2×20=60$，解得$u=20$。
11. 先整理为标准形式$\begin{cases} 3x-2y=-20 &① \\ 2x+15y=3 &② \end{cases}$
给①乘2得$6x-4y=-40$ ③，给②乘3得$6x+45y=9$ ④，④-③得：$(6x+45y)-(6x-4y)=9-(-40)$，化简得$49y=49$，解得$y=1$。
将$y=1$代入②得：$2x+15×1=3$，解得$x=-6$。
12. 设$A=x+y$，$B=x-y$，原方程组化为$\begin{cases} 3A-4B=-18 &① \\ \frac{A}{2}+\frac{B}{6}=2 &② \end{cases}$
给②乘6去分母得$3A+B=12$ ③，③-①得：$(3A+B)-(3A-4B)=12-(-18)$，化简得$5B=30$，解得$B=6$。
将$B=6$代入③得：$3A+6=12$，解得$A=2$。
即$\begin{cases}x+y=2 \\ x-y=6 \end{cases}$，两式相加得$2x=8$，解得$x=4$；两式相减得$2y=-4$，解得$y=-2$。
【答案】
5.$\begin{cases} x=\frac{22}{5}, \\ y=-\frac{1}{5} \end{cases}$
6.$\begin{cases} m=1, \\ n=1 \end{cases}$
7.$\begin{cases} a=2, \\ b=-4 \end{cases}$
8.$\begin{cases} x=5, \\ y=5 \end{cases}$
9.$\begin{cases} x=-4, \\ y=10 \end{cases}$
10.$\begin{cases} u=20, \\ v=20 \end{cases}$
11.$\begin{cases} x=-6, \\ y=1 \end{cases}$
12.$\begin{cases} x=4, \\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，等式的性质
【点评】
本组题目覆盖了加减消元法的各类常见考法，从系数可直接消元的基础题型，到需要系数变形、去分母、化简整理、整体换元的进阶题型，层次清晰，能有效巩固加减消元法的解题步骤，提升运算的准确度和解题效率。
【难度系数】
0.7
