4.已知关于$x$的方程$7 - kx = x + 2k$的解是$x=2$，则$k$的值是（）

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.1
D.$-3$

4.A [解析] 因为关于$x$的方程$7-kx=x+2k$的解是$x=2$,所以$7-2k=2+2k$,解得$k=\frac{5}{4}$.

【分析】
首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=2是原方程的解，说明把原方程里的x替换成2后，等式依然成立，此时原方程就转化为只含有未知数k的一元一次方程，解这个方程就能求出k的值。
【解析】
解：因为x=2是方程7 - kx = x + 2k的解，将x=2代入原方程可得：
7 - 2k = 2 + 2k
等式两边同时加上2k，得：7 = 2 + 4k
等式两边同时减去2，得：5 = 4k
等式两边同时除以4，得：$k = \frac{5}{4}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程部分的基础常考题，核心考查对方程的解概念的理解，通过代入法将含两个未知数的方程转化为仅含参数k的一元一次方程即可求解，计算量小，掌握基础概念就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

5.某同学在解方程$3x - 6 = □ x$时，把$□$处的数字看错，解得$x=-1$，则他把$□$处的数字看成了（）

A.3
B.6
C.9
D.12

5.C

【分析】
要解决这道“看错数字求错看数值”的问题，核心思路是：同学虽然看错了方框里的数字，但他解得的x=-1是他看错数字后得到的方程的正确解，也就是x=-1能让看错数字后的方程左右两边相等。所以我们只需要把x=-1代入原方程，把方框里的数当作未知量计算，就能求出他错看的数字。
【解析】
设该同学把□处的数字看成了a。
因为x=-1是方程$3x - 6 = ax$的解，所以将x=-1代入方程，左右两边相等：
左边：$3×(-1) - 6 = -3 -6 = -9$
右边：$a×(-1) = -a$
根据左右两边相等可得：$-9 = -a$
解得$a=9$
因此他把□处的数字看成了9。
【答案】
C
【知识点】
1. 方程的解的含义
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于错中求解类基础题型，解题关键是抓住“错误的解对应错误系数下的正确方程”这一核心，通过代入法转化为普通的一元一次方程计算即可，思路清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.8

6.定义一种新运算:对于任意有理数$a$和$b$,规定$a☆b=ab^2+2ab - b$.若$(1-3x)☆(-4)=36$,则$x$的值为（）

A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$

6.B [解析] 根据题意,得$(1-3x)☆(-4)=(1-3x)×(-4)^2+2(1-3x)×(-4)-(-4)=36$,解得$x=-1$.
【解题技巧】在解题过程中把$1-3x$看作一个整体进行计算,可以使运算更简便.

【分析】
解决这道题首先要读懂新定义的运算规则：$a☆b$的计算方法是用第一个数$a$乘第二个数$b$的平方，加上2倍的$a$与$b$的乘积，再减去$b$。接下来找到本题中对应$a$、$b$的取值，这里$a$是$(1-3x)$，$b$是$-4$，把这两个值代入新运算公式，就能得到一个只含有$x$的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤算出$x$的值，对应选项即可。计算时可以把$(1-3x)$看作一个整体代入，能简化计算减少出错。
【解析】
根据题中的新运算规则，将$a=1-3x$，$b=-4$代入$a☆b=ab^2+2ab - b$，可得：
$\begin{aligned}(1-3x)×(-4)^2 + 2×(1-3x)×(-4) - (-4) &= 36 \\(1-3x)×16 - 8×(1-3x) + 4 &= 36 \\16 - 48x -8 + 24x + 4 &= 36 \\12 - 24x &= 36 \\-24x &= 36 - 12 \\-24x &= 24 \\x &= -1\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，有理数混合运算
【点评】
本题是新定义类的常规题型，解题关键是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已学的四则运算与方程求解，计算时要注意正负号的处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7

7.列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为。

7.$3a+5=4a$

【分析】
解题时可以分步拆解题目中的文字表述，先分别求出等式左右两边的表达式，再根据“等于”的关系用等号连接即可。第一步先明确“a的3倍”的表示方法，用乘法计算可得3a；第二步求“比3a大5的数”，用加法计算得到左边的表达式；第三步求“a的4倍”得到右边的表达式，最后用等号连接两个表达式就能得到所求等式。
【解析】
1. 表示“a的3倍”：求一个数的几倍是多少用乘法，因此a的3倍为$3× a=3a$；
2. 表示“比a的3倍大5的数”：求比一个数大几的数用加法，因此这个数为$3a+5$；
3. 表示“a的4倍”：同理可得a的4倍为$4× a=4a$；
4. 题目说明两个数相等，因此列出等式为$3a+5=4a$。
【答案】
$3a+5=4a$
【知识点】
用字母表示数；列等量关系式
【点评】
本题属于基础题型，核心是将文字描述的数量关系转化为数学表达式，掌握这类题的解法能为后续学习列方程解应用题打好基础。
【难度系数】
0.9

8.若代数式$2(3x+4)$的值比$5(2x-7)$的值大3，则$x$的值为.

8.10 [解析] 由题意,得$2(3x+4)-5(2x-7)=3$,解得$x=10$.

【分析】
首先明确题目中的等量关系：代数式$2(3x+4)$比$5(2x-7)$大3，也就是$2(3x+4)$减去$5(2x-7)$的差等于3。我们先根据这个等量关系列出一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，就能求出x的值。
【解析】
根据题意列方程：
$2(3x+4) - 5(2x-7) = 3$
第一步去括号，注意括号前是减号时去括号要变号：
$6x + 8 - 10x + 35 = 3$
第二步合并同类项：
$-4x + 43 = 3$
第三步移项，将常数项移到等号右侧：
$-4x = 3 - 43$
计算等号右侧得：
$-4x = -40$
第四步系数化为1，等号两边同时除以$-4$：
$x = 10$
【答案】
10
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；整式去括号
【点评】
本题是基础的一元一次方程应用题型，解题关键是准确捕捉题目中的大小关系列出正确的方程，计算时要格外注意去括号的符号规则，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8

9.解方程$\frac{x}{12} - \frac{2x -1}{6} = \frac{3x +4}{8} -1$，去分母时，方程两边乘，得，去分母的依据是。

9.24 $2x-4(2x-1)=3(3x+4)-24$ 等式的性质2

【分析】
解决这道题我们可以按三步思考：首先，去分母的目的是消去方程里所有的分数，所以要先找到所有分母的最小公倍数，这样乘完后每一项的分母都能被约掉；其次，找出分母12、6、8的最小公倍数，通过列举三个数的倍数就能找到共同的最小数值是24；最后给方程左右两边的每一项都乘24，注意不能漏乘没有分母的常数项“-1”，去分母的依据是等式的基本性质，即等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
1. 求分母的最小公倍数：方程的分母分别为12、6、8，列举三个数的倍数可得，12的倍数有12、24、36……，6的倍数有6、12、18、24……，8的倍数有8、16、24、32……，因此三个数的最小公倍数是24，去分母时方程两边要乘24。
2. 方程每一项都乘24计算：
左边：$\frac{x}{12}×24 - \frac{2x-1}{6}×24 = 2x - 4(2x-1)$
右边：$\frac{3x+4}{8}×24 - 1×24 = 3(3x+4) - 24$
因此去分母后得到的方程为$2x - 4(2x-1) = 3(3x+4) - 24$。
3. 去分母的依据是等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
24；$2x-4(2x-1)=3(3x+4)-24$；等式的性质2
【知识点】
最小公倍数；等式的性质；去分母
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查去分母的操作规范，需注意两个易错点：一是要准确求出所有分母的最小公倍数，二是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，熟练掌握该知识点能为后续解复杂一元一次方程打好基础。
【难度系数】
0.7

10.有下列条件:①未知数的系数是－3;②方程的解是2;③求方程的解时,一定要有移项这步运算.写出一个满足上述条件的关于x的一元一次方程:.

10.$-3x-4=-10$(答案不唯一)

【分析】
我们要构造满足三个条件的一元一次方程，解题思路可以分三步：第一步，先确定含未知数的项，要求未知数系数是-3，所以方程里必须有-3x这一项；第二步，要满足方程的解是x=2，也就是把x=2代入方程，等式左右两边相等；第三步，要保证解方程时有移项步骤，所以方程左右两边都要有常数项，不能只在某一侧有常数，避免出现直接系数化为1就能求解、不需要移项的情况。
【解析】
首先，先写出含未知数的项-3x，我们给左边加上常数项-4，得到左边的式子：-3x - 4。
因为方程的解是x=2，把x=2代入左边计算：-3×2 -4 = -6 -4 = -10，所以等号右边写-10，就得到方程：-3x -4 = -10。
我们验证是否满足所有条件：①未知数x的系数是-3，符合要求；②解方程时，先移项，将-4移到等号右边得-3x = -10 + 4，计算得-3x=-6，系数化为1得x=2，解为2，符合要求；③解方程过程用到了移项步骤，符合要求。
还可以构造其他形式的方程，只要同时满足三个要求即可。
【答案】
$-3x-4=-10$(答案不唯一)
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；解一元一次方程的步骤
【点评】
本题属于开放性基础题，需要结合一元一次方程的相关概念和解法要求来构造方程，解题时要注意逐一核对每个条件，避免漏看要求导致构造的方程不符合题意。
【难度系数】
0.7

11.某学校七年级举行了“数学知识应用能力竞赛”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分.若某考生的成绩为76分，则他答对了道题.

11.16 [解析] 设他答对了$x$道题,则他不答或答错了$(20-x)$道题.
根据题意,得$5x-(20-x)=76$,
解得$x=16$,即他答对了16道题.

【分析】
这是一道典型的得分计算应用题，我们可以通过列方程的方法求解。首先明确已知条件：总题数共20道，答对1题得5分，不答或答错1题扣1分，最终成绩为76分。解题核心是找准等量关系：最终总得分=答对题目获得的总分 - 不答或答错题目扣除的总分。我们先设答对的题数为未知数，再用总题数表示出不答或答错的题数，代入等量关系列出方程后求解即可。
【解析】
解：设他答对了$x$道题，则不答或答错的题数为$(20-x)$道。
根据题意的等量关系可列方程：
$5x-(20-x)=76$
去括号得：$5x-20+x=76$
合并同类项得：$6x-20=76$
计算得：$6x=96$
解得：$x=16$
【答案】
16
【知识点】
一元一次方程应用、得分类问题计算
【点评】
本题属于常规的实际应用类题目，主要考察学生构建等量关系、列方程解决实际问题的能力，解题关键是理清答对、不答/答错题数和总题数的关系，以及得分、扣分和最终成绩的运算逻辑，掌握基础解方程步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.75

12.已知关于x的方程$kx=7-x$有正整数解，则整数k的值为。

12.0或6 [解析] 解方程$kx=7-x$,得$x=\frac{7}{k+1}(k≠-1)$.
因为关于$x$的方程有正整数解,且$k$是整数,
所以$k+1=7$或$k+1=1$,
解得$k=6$或$k=0$.

【分析】
我们首先利用等式的性质对方程变形，将x用含有k的算式表示出来。已知方程的解x是正整数，且k为整数，因此7除以（k+1）的结果必须是正整数，说明k+1是7的正因数，只要找出7的所有正因数，就能对应求出符合要求的k值，注意除数不能为0哦。
【解析】
首先解方程$kx=7-x$：
1. 等式两边同时加$x$，得：$kx + x = 7$，整理为$(k+1)x=7$；
2. 若$k+1=0$，等式左边为0，右边为7，等式不成立，因此$k≠ -1$，等式两边同时除以$(k+1)$，得$x=\frac{7}{k+1}$；
3. 因为x是正整数，k是整数，所以$k+1$是7的正因数，7的正因数有1和7：
当$k+1=1$时，解得$k=0$，此时$x=7÷1=7$，是正整数，符合要求；
当$k+1=7$时，解得$k=6$，此时$x=7÷7=1$，是正整数，符合要求。
因此整数k的值为0或6。
【答案】
0或6
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程解法
3. 因数的应用
【点评】
本题是含参数的一元一次方程求参数的典型题型，解题核心是先将方程变形，用含参数的式子表示未知数，再结合解和参数的取值限制，通过分析正因数的可能取值求解，解题时注意不要遗漏k=0的情况。
【难度系数】
0.6

13.若关于$x$的一元一次方程$\frac{x}{2026}+3=2026x+m$的解为$x=2$，则关于$y$的一元一次方程$\frac{1-y}{2026}+2026(y-1)=m-3$的解为$y=$.

13.-1 [解析] 将$\frac{x}{2026}+3=2026x+m$移项,得$\frac{x}{2026}-2026x=m-3$①.
将$\frac{1-y}{2026}+2026(y-1)=m-3$整理,得$\frac{1-y}{2026}-2026(1-y)=m-3$②.
因为方程①的解为$x=2$,所以把$1-y$看作一个整体可得,$1-y=2$,解得$y=-1$.
【解题技巧】通过移项变形,建立两个方程之间的关系,把$1-y$看作一个整体.

【分析】
首先观察两个方程的结构，发现两个方程等号右侧都含$m-3$，我们可以先对第一个已知解的方程进行移项变形，让它的左边形式和第二个方程的左边结构对齐，再把第二个方程中重复出现的$1-y$看作一个整体，利用两个方程结构相同的特点，直接建立整体和已知解$x$的关系，不用计算$m$的具体值就能快速求解。
【解析】
第一步，对第一个方程进行移项：
已知方程$\frac{x}{2026}+3=2026x+m$，把含$x$的项留在左边，常数项移到右边，可得：
$\frac{x}{2026}-2026x=m-3$ ①
已知方程①的解是$x=2$。
第二步，对第二个关于$y$的方程变形：
方程$\frac{1-y}{2026}+2026(y-1)=m-3$，注意到$y-1=-(1-y)$，代入后整理得：
$\frac{1-y}{2026}-2026(1-y)=m-3$ ②
第三步，对比①和②的结构，两个方程等号右边都是$m-3$，左边都是「同一个数除以2026，再减去2026乘这个数」的形式，因此可得②中的$1-y$和①中的$x$相等，即：
$1-y=2$
解得$y=1-2=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元一次方程的解、整体代换思想、等式变形
【点评】
本题考查一元一次方程的灵活求解，解题关键是观察到两个方程的结构共性，运用整体代换的思想避开计算复杂的参数$m$，大幅简化计算过程，是方程类题型中典型的技巧性题目。
【难度系数】
0.6

14.解下列方程：
(1)$7 - 3(x - 1) = -x$；
(2)$3x - 2(x - 1) = 2 - 3(5 - 2x)$；
(3)$\frac{1 - 2x}{3} = \frac{3x + 1}{7} - 3$。

14.解:(1)去括号,得$7-3x+3=-x$.
移项,得$-3x+x=-7-3$.
合并同类项,得$-2x=-10$.
系数化为1,得$x=5$.
(2)去括号,得$3x-2x+2=2-15+6x$.
移项,得$3x-2x-6x=2-15-2$.
合并同类项,得$-5x=-15$.
系数化为1,得$x=3$.
(3)去分母,得$7(1-2x)=3(3x+1)-63$.
去括号,得$7-14x=9x+3-63$.
移项,得$-14x-9x=3-63-7$.
合并同类项,得$-23x=-67$.
系数化为1,得$x=\frac{67}{23}$.

【分析】
这三道题均为一元一次方程求解，可按照一元一次方程的标准步骤逐步计算：对于带括号的方程(1)(2)，先遵循去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内所有项都要变号；再将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项时要改变符号；随后合并同类项，最后将x的系数化为1得到结果。对于带分母的方程(3)，先利用等式的性质，两边同时乘两个分母的最小公倍数去掉分母，注意不要漏乘等号右侧的常数项-3，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可。
【解析】
(1)去括号,得$7-3x+3=-x$.
移项,得$-3x+x=-7-3$.
合并同类项,得$-2x=-10$.
系数化为1,得$x=5$.
(2)去括号,得$3x-2x+2=2-15+6x$.
移项,得$3x-2x-6x=2-15-2$.
合并同类项,得$-5x=-15$.
系数化为1,得$x=3$.
(3)去分母,得$7(1-2x)=3(3x+1)-63$.
去括号,得$7-14x=9x+3-63$.
移项,得$-14x-9x=3-63-7$.
合并同类项,得$-23x=-67$.
系数化为1,得$x=\frac{67}{23}$.
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=3$；(3)$x=\frac{67}{23}$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，重点考察一元一次方程的标准解题步骤，解题时要注意三个常见易错点：去括号时括号前为负号的情况下括号内各项需全部变号；去分母时不要漏乘不含分母的常数项；移项时要记得改变符号。
【难度系数】
0.75