登录
15.本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学解题过程的第一步：
解方程：$\frac{2x - 0.3}{0.5} - \frac{x + 0.4}{0.3} = 1$。
解：原方程可化为$\frac{20x - 3}{5} - \frac{10x + 4}{3} = 1$。①
(1)小明第①步的依据是
(填“等式的性质”或“分数的性质”)
(2)请你写出完整的解题过程。
解方程：$\frac{2x - 0.3}{0.5} - \frac{x + 0.4}{0.3} = 1$。
解：原方程可化为$\frac{20x - 3}{5} - \frac{10x + 4}{3} = 1$。①
(1)小明第①步的依据是
分数的性质
；(填“等式的性质”或“分数的性质”)
(2)请你写出完整的解题过程。
答案
15.解:(1)分数的性质
(2)原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$.
去分母,得$3(20x-3)-5(10x+4)=15$.
去括号,得$60x-9-50x-20=15$.
移项,得$60x-50x=15+9+20$.
合并同类项,得$10x=44$.
系数化为1,得$x=4.4$.
(2)原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$.
去分母,得$3(20x-3)-5(10x+4)=15$.
去括号,得$60x-9-50x-20=15$.
移项,得$60x-50x=15+9+20$.
合并同类项,得$10x=44$.
系数化为1,得$x=4.4$.
解析
【分析】
(1) 要判断第①步的依据，首先明确两个性质的区别：分数的性质是分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变；等式的性质是对等式的左右两边同时做相同运算，等式仍然成立。小明的第①步是将每个分数的分子、分母同时乘10，把小数转化为整数，仅改变了分数的分子分母的形式，没有改动等式两边的其他部分，所以依据是分数的性质。
(2) 解这个一元一次方程按步骤进行即可：首先已经完成了分母化整，接下来先去分母，找分母5和3的最小公倍数15，等式两边同时乘15，注意右边的常数1也要乘15，不能漏乘；然后去括号，括号前是负号时，括号内每一项都要变号；再移项，把含x的项移到等式左边，常数项移到右边，移项要变号；之后合并同类项，最后将x的系数化为1就能得到方程的解。
【解析】
(1) 第①步是对每个分数的分子分母同乘10，分数值不变，依据为分数的性质。
(2) 完整解题过程：
原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$，
去分母，两边同时乘15，得$3(20x-3)-5(10x+4)=15$，
去括号，得$60x-9-50x-20=15$，
移项，得$60x-50x=15+9+20$，
合并同类项，得$10x=44$，
系数化为1，得$x=4.4$。
【答案】
(1) 分数的性质
(2) $x=4.4$
【知识点】
分数的基本性质、解一元一次方程、去括号法则
【点评】
本题属于一元一次方程的基础考察题，既考查了分数性质和等式性质的区分，也考查了解一元一次方程的常规步骤，解题时需要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时注意符号变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断第①步的依据，首先明确两个性质的区别：分数的性质是分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变；等式的性质是对等式的左右两边同时做相同运算，等式仍然成立。小明的第①步是将每个分数的分子、分母同时乘10，把小数转化为整数，仅改变了分数的分子分母的形式，没有改动等式两边的其他部分，所以依据是分数的性质。
(2) 解这个一元一次方程按步骤进行即可：首先已经完成了分母化整，接下来先去分母，找分母5和3的最小公倍数15，等式两边同时乘15，注意右边的常数1也要乘15，不能漏乘；然后去括号，括号前是负号时，括号内每一项都要变号；再移项，把含x的项移到等式左边，常数项移到右边，移项要变号；之后合并同类项，最后将x的系数化为1就能得到方程的解。
【解析】
(1) 第①步是对每个分数的分子分母同乘10，分数值不变，依据为分数的性质。
(2) 完整解题过程：
原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$，
去分母，两边同时乘15，得$3(20x-3)-5(10x+4)=15$，
去括号，得$60x-9-50x-20=15$，
移项，得$60x-50x=15+9+20$，
合并同类项，得$10x=44$，
系数化为1，得$x=4.4$。
【答案】
(1) 分数的性质
(2) $x=4.4$
【知识点】
分数的基本性质、解一元一次方程、去括号法则
【点评】
本题属于一元一次方程的基础考察题，既考查了分数性质和等式性质的区分，也考查了解一元一次方程的常规步骤，解题时需要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时注意符号变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8
16.一个筐内有梨、苹果若干个，且梨和苹果的数量之比为$4:3$，拿出12个苹果后，筐内苹果的个数正好是梨的个数的一半，求这个筐内原有梨和苹果各多少个.
答案
16.解:设这个筐内原有梨$4x$个,则有苹果$3x$个.
依题意,得$3x-12=\frac{1}{2}×4x$,
解得$x=12$,
所以$4x=48,3x=36$.
答:这个筐内原有梨48个,苹果36个.
依题意,得$3x-12=\frac{1}{2}×4x$,
解得$x=12$,
所以$4x=48,3x=36$.
答:这个筐内原有梨48个,苹果36个.
解析
【分析】
已知梨和苹果的数量比为4:3，我们可以采用份数法设未知数，设每份数量为x，则原有梨4x个、苹果3x个，能简化计算。接下来找准等量关系：拿出12个苹果后，剩余苹果的数量恰好是梨数量的一半，根据这个等量关系列方程求解，算出x的值后再分别乘对应份数，即可得到原有梨和苹果的数量。
【解析】
解：设这个筐内原有梨$4x$个，则原有苹果$3x$个。
依题意得：$3x - 12 = \frac{1}{2} × 4x$
化简得：$3x - 12 = 2x$
移项计算得：$x = 12$
则原有梨的数量：$4x = 4 × 12 = 48$（个）
原有苹果的数量：$3x = 3 × 12 = 36$（个）
答：这个筐内原有梨48个，苹果36个。
【答案】
原有梨48个，苹果36个。
【知识点】
比例应用，列方程解应用题，份数法应用
【点评】
这道题是典型的和差倍比类应用题，利用比例设份数的方法设未知数能降低列式难度，解题的关键是准确抓住数量变化前后的等量关系，熟练掌握该方法后可快速解决同类应用题。
【难度系数】
0.75
已知梨和苹果的数量比为4:3，我们可以采用份数法设未知数，设每份数量为x，则原有梨4x个、苹果3x个，能简化计算。接下来找准等量关系：拿出12个苹果后，剩余苹果的数量恰好是梨数量的一半，根据这个等量关系列方程求解，算出x的值后再分别乘对应份数，即可得到原有梨和苹果的数量。
【解析】
解：设这个筐内原有梨$4x$个，则原有苹果$3x$个。
依题意得：$3x - 12 = \frac{1}{2} × 4x$
化简得：$3x - 12 = 2x$
移项计算得：$x = 12$
则原有梨的数量：$4x = 4 × 12 = 48$（个）
原有苹果的数量：$3x = 3 × 12 = 36$（个）
答：这个筐内原有梨48个，苹果36个。
【答案】
原有梨48个，苹果36个。
【知识点】
比例应用，列方程解应用题，份数法应用
【点评】
这道题是典型的和差倍比类应用题，利用比例设份数的方法设未知数能降低列式难度，解题的关键是准确抓住数量变化前后的等量关系，熟练掌握该方法后可快速解决同类应用题。
【难度系数】
0.75
17.已知方程$2-3(x+1)=0$的解与关于$x$的方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解互为相反数，求$k$的值。
答案
17.解:解方程$2-3(x+1)=0$,得$x=-\frac{1}{3}$.
根据题意可知,关于$x$的方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解为$x=\frac{1}{3}$,
所以$\frac{k+\frac{1}{3}}{2}-3k-2=\frac{2}{3}$,解得$k=-1$.
根据题意可知,关于$x$的方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解为$x=\frac{1}{3}$,
所以$\frac{k+\frac{1}{3}}{2}-3k-2=\frac{2}{3}$,解得$k=-1$.
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解不含参数的方程$2-3(x+1)=0$，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，求出第二个方程的解；第三步把第二个方程的解代入$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$，得到只含有$k$的一元一次方程，解这个方程就能得到$k$的值。
【解析】
1. 解方程$2-3(x+1)=0$：
移项得$3(x+1)=2$，
两边同时除以3得$x+1=\frac{2}{3}$，
解得$x=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解为$x=-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$。
3. 把$x=\frac{1}{3}$代入$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$得：
$\frac{k+\frac{1}{3}}{2}-3k-2=2×\frac{1}{3}$，
即$\frac{k+\frac{1}{3}}{2}-3k-2=\frac{2}{3}$，
两边同时乘2去分母得：$k+\frac{1}{3}-6k-4=\frac{4}{3}$，
合并同类项得：$-5k-\frac{11}{3}=\frac{4}{3}$，
移项得：$-5k=\frac{4}{3}+\frac{11}{3}=5$，
两边同时除以$-5$得：$k=-1$。
【答案】
$k=-1$
【知识点】
一元一次方程解法，相反数的性质，方程的解的定义
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，核心是先确定含参方程的解，再代入求参数，重点考察基础运算能力，是一元一次方程章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解不含参数的方程$2-3(x+1)=0$，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，求出第二个方程的解；第三步把第二个方程的解代入$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$，得到只含有$k$的一元一次方程，解这个方程就能得到$k$的值。
【解析】
1. 解方程$2-3(x+1)=0$：
移项得$3(x+1)=2$，
两边同时除以3得$x+1=\frac{2}{3}$，
解得$x=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解为$x=-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$。
3. 把$x=\frac{1}{3}$代入$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$得：
$\frac{k+\frac{1}{3}}{2}-3k-2=2×\frac{1}{3}$，
即$\frac{k+\frac{1}{3}}{2}-3k-2=\frac{2}{3}$，
两边同时乘2去分母得：$k+\frac{1}{3}-6k-4=\frac{4}{3}$，
合并同类项得：$-5k-\frac{11}{3}=\frac{4}{3}$，
移项得：$-5k=\frac{4}{3}+\frac{11}{3}=5$，
两边同时除以$-5$得：$k=-1$。
【答案】
$k=-1$
【知识点】
一元一次方程解法，相反数的性质，方程的解的定义
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，核心是先确定含参方程的解，再代入求参数，重点考察基础运算能力，是一元一次方程章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
18.星期天，小峰和爸爸进行了一次家庭卫生大扫除.这次大扫除的任务量，若由小峰单独完成，需4 h；若由爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，剩余的任务量由爸爸单独完成，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
答案 P19
答案 P19
答案
18.解:设这次小峰打扫了$x$ h,则爸爸打扫了$(3-x)$h.
根据题意,得$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得$x=2$.
答:这次小峰打扫了2 h.
根据题意,得$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得$x=2$.
答:这次小峰打扫了2 h.
解析
【分析】
这是典型的工程问题，我们先把大扫除的总任务量看作单位“1”，先计算两人的工作效率：小峰单独完成需4h，每小时完成总任务的$\frac{1}{4}$；爸爸单独完成需2h，每小时完成总任务的$\frac{1}{2}$。已知两人一共打扫了3h，我们设小峰打扫时长为$x$h，那么爸爸打扫时长就是$(3-x)$h，再根据“小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=总工作量1”的等量关系列方程，即可求解出小峰的打扫时间。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x$ h，则爸爸打扫了$(3-x)$h。
把总任务量看作单位“1”，根据题意列方程得：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
两边同时乘4去分母得：$x + 2×(3-x) = 4$
展开计算得：$x + 6 - 2x = 4$
移项合并同类项得：$-x = -2$
解得：$x=2$
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
2 h
【知识点】
工程问题、列方程解应用题
【点评】
本题是基础的工程类应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，理清工作效率、工作时间、工作量三者的关系，找准等量关系列方程即可解决，计算难度低。
【难度系数】
0.75
这是典型的工程问题，我们先把大扫除的总任务量看作单位“1”，先计算两人的工作效率：小峰单独完成需4h，每小时完成总任务的$\frac{1}{4}$；爸爸单独完成需2h，每小时完成总任务的$\frac{1}{2}$。已知两人一共打扫了3h，我们设小峰打扫时长为$x$h，那么爸爸打扫时长就是$(3-x)$h，再根据“小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=总工作量1”的等量关系列方程，即可求解出小峰的打扫时间。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x$ h，则爸爸打扫了$(3-x)$h。
把总任务量看作单位“1”，根据题意列方程得：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
两边同时乘4去分母得：$x + 2×(3-x) = 4$
展开计算得：$x + 6 - 2x = 4$
移项合并同类项得：$-x = -2$
解得：$x=2$
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
2 h
【知识点】
工程问题、列方程解应用题
【点评】
本题是基础的工程类应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，理清工作效率、工作时间、工作量三者的关系，找准等量关系列方程即可解决，计算难度低。
【难度系数】
0.75
