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18.如图所示,已知$AB// CD$,且AE平分$∠ BAD$,DF平分$∠ ADC$,请说明$AE// DF$的理由.
答案
18. 解:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAD = ∠ CDA$.
$\because ∠ 1 =\frac{1}{2}∠ BAD,∠ 2 =\frac{1}{2}∠ ADC,\therefore ∠ 1 = ∠ 2$,
$\therefore AE// DF$.
$\because ∠ 1 =\frac{1}{2}∠ BAD,∠ 2 =\frac{1}{2}∠ ADC,\therefore ∠ 1 = ∠ 2$,
$\therefore AE// DF$.
解析
【分析】
要证明$AE// DF$，可通过判定内错角$∠ 1=∠ 2$实现。首先根据已知$AB// CD$，利用平行线的性质得到$∠ BAD=∠ CDA$；再结合$AE$平分$∠ BAD$、$DF$平分$∠ ADC$的条件，根据角平分线定义可得$∠ 1$是$∠ BAD$的一半，$∠ 2$是$∠ ADC$的一半，通过等量代换得到$∠ 1=∠ 2$，最后根据内错角相等、两直线平行的判定定理，即可证明$AE// DF$。
【解析】
$\because AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠ BAD=∠ CDA$。
$\because AE$平分$∠ BAD$，$DF$平分$∠ ADC$，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ 1=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ ADC$，
通过等量代换可得$∠ 1=∠ 2$，
根据内错角相等，两直线平行，
$\therefore AE// DF$。
【答案】
$\because AB// CD,\therefore ∠ BAD = ∠ CDA$。
$\because ∠ 1 =\frac{1}{2}∠ BAD,∠ 2 =\frac{1}{2}∠ ADC,\therefore ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore AE// DF$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，解题的核心是结合角平分线的定义找到相等的内错角，熟练掌握平行线的相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明$AE// DF$，可通过判定内错角$∠ 1=∠ 2$实现。首先根据已知$AB// CD$，利用平行线的性质得到$∠ BAD=∠ CDA$；再结合$AE$平分$∠ BAD$、$DF$平分$∠ ADC$的条件，根据角平分线定义可得$∠ 1$是$∠ BAD$的一半，$∠ 2$是$∠ ADC$的一半，通过等量代换得到$∠ 1=∠ 2$，最后根据内错角相等、两直线平行的判定定理，即可证明$AE// DF$。
【解析】
$\because AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠ BAD=∠ CDA$。
$\because AE$平分$∠ BAD$，$DF$平分$∠ ADC$，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ 1=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ ADC$，
通过等量代换可得$∠ 1=∠ 2$，
根据内错角相等，两直线平行，
$\therefore AE// DF$。
【答案】
$\because AB// CD,\therefore ∠ BAD = ∠ CDA$。
$\because ∠ 1 =\frac{1}{2}∠ BAD,∠ 2 =\frac{1}{2}∠ ADC,\therefore ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore AE// DF$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，解题的核心是结合角平分线的定义找到相等的内错角，熟练掌握平行线的相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
19. 如图所示,AD是△ABC中BC边上的中线,已知AB=5 cm,AC=3 cm.
(1)求△ABD与△ACD的周长之差;
(2)若AB边上的高为2 cm,求AC边上的高.
(1)求△ABD与△ACD的周长之差;
(2)若AB边上的高为2 cm,求AC边上的高.
答案
19. 解: (1) $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BD = CD$.
$\therefore △ ABD$与$△ ACD$ 的周长之差为$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB + BD + AD - AC - CD - AD = AB - AC =5 -3 =2(\mathrm{cm})$.
(2) 设 $AC$ 边上的高为 $h$ cm,则$S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB· 2 =\frac{1}{2}AC· h,\therefore h =\frac{10}{3}\mathrm{cm}$.
$\therefore △ ABD$与$△ ACD$ 的周长之差为$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB + BD + AD - AC - CD - AD = AB - AC =5 -3 =2(\mathrm{cm})$.
(2) 设 $AC$ 边上的高为 $h$ cm,则$S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB· 2 =\frac{1}{2}AC· h,\therefore h =\frac{10}{3}\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 要求△ABD与△ACD的周长之差，先写出两个三角形的周长表达式：△ABD周长=AB+BD+AD，△ACD周长=AC+CD+AD。已知AD是BC边上的中线，可得BD=CD，且两个三角形有公共边AD，因此两个周长的差实际就是AB与AC的差，代入数值计算即可。
(2) 求AC边上的高，可利用同一个三角形面积相等的原理：△ABC的面积既可以用AB为底、AB边上的高计算，也可以用AC为底、AC边上的高计算，列等式即可求出未知的高。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$，
则周长之差为：
$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC$
代入AB=5cm，AC=3cm，得$5-3=2(\mathrm{cm})$。
(2) 设AC边上的高为$h$ cm，
根据三角形面积公式$S_{△ABC} =\frac{1}{2}×底×高$，
可得$\frac{1}{2}×AB×2 =\frac{1}{2}×AC×h$，
代入AB=5cm，AC=3cm，得$\frac{1}{2}×5×2=\frac{1}{2}×3×h$，
解得$h=\frac{10}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $2\mathrm{cm}$；
(2) $\frac{10}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形中线的性质和面积法的应用，解题关键是找到两个三角形周长中相等的部分进行抵消，以及利用同一个三角形面积不变建立等量关系，是三角形部分的常考类型题。
【难度系数】
0.8
(1) 要求△ABD与△ACD的周长之差，先写出两个三角形的周长表达式：△ABD周长=AB+BD+AD，△ACD周长=AC+CD+AD。已知AD是BC边上的中线，可得BD=CD，且两个三角形有公共边AD，因此两个周长的差实际就是AB与AC的差，代入数值计算即可。
(2) 求AC边上的高，可利用同一个三角形面积相等的原理：△ABC的面积既可以用AB为底、AB边上的高计算，也可以用AC为底、AC边上的高计算，列等式即可求出未知的高。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$，
则周长之差为：
$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC$
代入AB=5cm，AC=3cm，得$5-3=2(\mathrm{cm})$。
(2) 设AC边上的高为$h$ cm，
根据三角形面积公式$S_{△ABC} =\frac{1}{2}×底×高$，
可得$\frac{1}{2}×AB×2 =\frac{1}{2}×AC×h$，
代入AB=5cm，AC=3cm，得$\frac{1}{2}×5×2=\frac{1}{2}×3×h$，
解得$h=\frac{10}{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $2\mathrm{cm}$；
(2) $\frac{10}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形中线的性质和面积法的应用，解题关键是找到两个三角形周长中相等的部分进行抵消，以及利用同一个三角形面积不变建立等量关系，是三角形部分的常考类型题。
【难度系数】
0.8
20. 某小区计划购进A,B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元.
(1)若购进A,B两种树苗刚好用去1 220元,问:购进A,B两种树苗各多少棵?
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
(1)若购进A,B两种树苗刚好用去1 220元,问:购进A,B两种树苗各多少棵?
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
答案
20. 解:(1) 设购进 $A$ 种树苗 $x$ 棵,则购进 $B$ 种树苗 $(17 - x)$ 棵,根据题意,得 $80x +60(17 - x) =1220$,解得 $x=10$,则 $17 - x =7$. 故购进 $A$ 种树苗 10 棵,$B$ 种树苗7棵.
(2) 设购进 $A$ 种树苗 $x$ 棵,则购进 $B$ 种树苗 $(17 - x)$ 棵,根据题意,得 $17 - x ＜ x$,解得 $x ＞8\frac{1}{2}$,购进 $A,B$ 两种树苗所需费用为 $80x +60(17 - x) =(20x +1020)$元,则费用最省需 $x$ 取最小整数 9,此时 $17 - x =8$,这时所需费用为 $20 ×9 +1020 =1200$(元). 故费用最省方案为:购进 $A$ 种树苗 9 棵,$B$ 种树苗 8 棵,这时所需费用为 1200 元.
(2) 设购进 $A$ 种树苗 $x$ 棵,则购进 $B$ 种树苗 $(17 - x)$ 棵,根据题意,得 $17 - x ＜ x$,解得 $x ＞8\frac{1}{2}$,购进 $A,B$ 两种树苗所需费用为 $80x +60(17 - x) =(20x +1020)$元,则费用最省需 $x$ 取最小整数 9,此时 $17 - x =8$,这时所需费用为 $20 ×9 +1020 =1200$(元). 故费用最省方案为:购进 $A$ 种树苗 9 棵,$B$ 种树苗 8 棵,这时所需费用为 1200 元.
解析
【分析】
（1）本题为一元一次方程实际应用问题，已知两种树苗总棵数，可设购进A种树苗x棵，那么B种树苗棵数可用总棵数减去x表示，再根据“总费用=A种树苗总费用+B种树苗总费用”的等量关系列方程，求解即可得到两种树苗的数量。
（2）首先根据“B种树苗数量少于A种树苗数量”的限制条件，列出不等式求出A种树苗数量的取值范围；再结合两种树苗的单价写出总费用关于A种树苗数量的表达式，由于A种树苗单价更高，要让总费用最省，需要让A种树苗的数量尽可能少，在取值范围内取最小的正整数，代入表达式即可算出最省费用，得到最优方案。
【解析】
(1) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17 - x)$棵，根据题意列方程：
$80x +60(17 - x) =1220$
展开得：$80x + 1020 - 60x = 1220$
合并同类项得：$20x = 200$
解得$x=10$，则B种树苗数量为$17 - 10 =7$棵。
(2) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17 - x)$棵，根据题意列不等式：
$17 - x ＜ x$
移项得：$17 ＜ 2x$
解得$x ＞8\frac{1}{2}$
购进两种树苗的总费用为：$80x +60(17 - x) =20x +1020$（元）
由于$x$为正整数，要使总费用最省，$x$应取满足条件的最小正整数9，此时B种树苗数量为$17 -9=8$棵，总费用为$20×9 +1020=1200$元。
【答案】
(1) 购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
(2) 费用最省的方案为购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，所需费用为1200元。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式应用；最优方案设计
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，正确列方程、不等式求解，第二问要注意树苗棵数为正整数，需结合取值范围和费用变化规律选取最优解，考查学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题为一元一次方程实际应用问题，已知两种树苗总棵数，可设购进A种树苗x棵，那么B种树苗棵数可用总棵数减去x表示，再根据“总费用=A种树苗总费用+B种树苗总费用”的等量关系列方程，求解即可得到两种树苗的数量。
（2）首先根据“B种树苗数量少于A种树苗数量”的限制条件，列出不等式求出A种树苗数量的取值范围；再结合两种树苗的单价写出总费用关于A种树苗数量的表达式，由于A种树苗单价更高，要让总费用最省，需要让A种树苗的数量尽可能少，在取值范围内取最小的正整数，代入表达式即可算出最省费用，得到最优方案。
【解析】
(1) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17 - x)$棵，根据题意列方程：
$80x +60(17 - x) =1220$
展开得：$80x + 1020 - 60x = 1220$
合并同类项得：$20x = 200$
解得$x=10$，则B种树苗数量为$17 - 10 =7$棵。
(2) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17 - x)$棵，根据题意列不等式：
$17 - x ＜ x$
移项得：$17 ＜ 2x$
解得$x ＞8\frac{1}{2}$
购进两种树苗的总费用为：$80x +60(17 - x) =20x +1020$（元）
由于$x$为正整数，要使总费用最省，$x$应取满足条件的最小正整数9，此时B种树苗数量为$17 -9=8$棵，总费用为$20×9 +1020=1200$元。
【答案】
(1) 购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
(2) 费用最省的方案为购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，所需费用为1200元。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式应用；最优方案设计
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，正确列方程、不等式求解，第二问要注意树苗棵数为正整数，需结合取值范围和费用变化规律选取最优解，考查学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
