登录
三、解答题
15. 把下列各式分解因式:
(1) $-x^4 +16$;
(2) $(a+b)^2 -4c^2$.
15. 把下列各式分解因式:
(1) $-x^4 +16$;
(2) $(a+b)^2 -4c^2$.
答案
15. (1) $(x^2 + 4)(2 - x)(2 + x)$
(2) $(a + b + 2c)(a + b - 2c)$
(2) $(a + b + 2c)(a + b - 2c)$
解析
【分析】
解决因式分解问题，首先观察式子是否有公因式，若没有则判断是否符合公式的结构特征：
(1) 式子$-x^4+16$可变形为$16-x^4$，是两项、符号相反且均为平方的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，先套用一次平方差公式，再检查分解后的因式是否还能继续分解，发现$4-x^2$仍符合平方差特征，需二次分解直至不能再分解为止；
(2) 式子$(a+b)^2-4c^2$是两项、符号相反且均为平方的形式，将$(a+b)$看作整体、$4c^2$变形为$(2c)^2$，直接套用平方差公式即可完成分解。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}-x^4 + 16 &= 16 - x^4 \\&= 4^2 - (x^2)^2 \\&= (4 + x^2)(4 - x^2) \\&= (x^2 + 4)(2^2 - x^2) \\&= (x^2 + 4)(2 + x)(2 - x)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(a+b)^2 - 4c^2 &= (a+b)^2 - (2c)^2 \\&= [(a+b) + 2c][(a+b) - 2c] \\&= (a + b + 2c)(a + b - 2c)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x^2 + 4)(2 - x)(2 + x)$
(2) $(a + b + 2c)(a + b - 2c)$
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解的彻底性，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要注意先判断式子结构，对于可看作整体的多项式要整体代入公式，最后务必检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.75
解决因式分解问题，首先观察式子是否有公因式，若没有则判断是否符合公式的结构特征：
(1) 式子$-x^4+16$可变形为$16-x^4$，是两项、符号相反且均为平方的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，先套用一次平方差公式，再检查分解后的因式是否还能继续分解，发现$4-x^2$仍符合平方差特征，需二次分解直至不能再分解为止；
(2) 式子$(a+b)^2-4c^2$是两项、符号相反且均为平方的形式，将$(a+b)$看作整体、$4c^2$变形为$(2c)^2$，直接套用平方差公式即可完成分解。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}-x^4 + 16 &= 16 - x^4 \\&= 4^2 - (x^2)^2 \\&= (4 + x^2)(4 - x^2) \\&= (x^2 + 4)(2^2 - x^2) \\&= (x^2 + 4)(2 + x)(2 - x)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(a+b)^2 - 4c^2 &= (a+b)^2 - (2c)^2 \\&= [(a+b) + 2c][(a+b) - 2c] \\&= (a + b + 2c)(a + b - 2c)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x^2 + 4)(2 - x)(2 + x)$
(2) $(a + b + 2c)(a + b - 2c)$
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解的彻底性，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要注意先判断式子结构，对于可看作整体的多项式要整体代入公式，最后务必检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.75
16. 解下列方程组:
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 11, \\ y - 2x = 1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x}{3} + 1 = y, \\ 2(x + 1) - y = 6.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 11, \\ y - 2x = 1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x}{3} + 1 = y, \\ 2(x + 1) - y = 6.\end{cases}$
答案
16. (1) $\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$
解析
【分析】
本题为二元一次方程组求解问题，核心思路是通过消元将二元方程转化为一元方程求解。
(1) 观察方程组系数，两个方程中x的系数分别为2和-2，互为相反数，可优先选择加减消元法，两式相加直接消去x，先求出y的值，再代入任意方程求解x；也可将第二个方程变形为y=2x+1，用代入消元法求解。
(2) 第一个方程直接给出了y关于x的表达式，优先选择代入消元法，将y的表达式代入第二个方程消去y，得到关于x的一元一次方程，求解x后的值代回原式即可求出y。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 11&① \\ y - 2x = 1&② \end{cases}$
将①+②，得：$4y=12$，解得$y=3$
把$y=3$代入②，得：$3-2x=1$，解得$x=1$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
(2) 记方程组为$\begin{cases}\dfrac{x}{3} + 1 = y&① \\ 2(x + 1) - y = 6&② \end{cases}$
把①代入②，得：$2(x+1)-(\dfrac{x}{3}+1)=6$
展开并整理得：$\dfrac{5x}{3}+1=6$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得：$y=\dfrac{3}{3}+1=2$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础计算类题目，解题时可根据方程组的系数特点选择更简便的消元方法，降低计算出错的概率，求解完成后可将结果代入原方程组检验是否满足两个方程，确保答案正确。
【难度系数】
0.8
本题为二元一次方程组求解问题，核心思路是通过消元将二元方程转化为一元方程求解。
(1) 观察方程组系数，两个方程中x的系数分别为2和-2，互为相反数，可优先选择加减消元法，两式相加直接消去x，先求出y的值，再代入任意方程求解x；也可将第二个方程变形为y=2x+1，用代入消元法求解。
(2) 第一个方程直接给出了y关于x的表达式，优先选择代入消元法，将y的表达式代入第二个方程消去y，得到关于x的一元一次方程，求解x后的值代回原式即可求出y。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 11&① \\ y - 2x = 1&② \end{cases}$
将①+②，得：$4y=12$，解得$y=3$
把$y=3$代入②，得：$3-2x=1$，解得$x=1$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
(2) 记方程组为$\begin{cases}\dfrac{x}{3} + 1 = y&① \\ 2(x + 1) - y = 6&② \end{cases}$
把①代入②，得：$2(x+1)-(\dfrac{x}{3}+1)=6$
展开并整理得：$\dfrac{5x}{3}+1=6$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得：$y=\dfrac{3}{3}+1=2$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础计算类题目，解题时可根据方程组的系数特点选择更简便的消元方法，降低计算出错的概率，求解完成后可将结果代入原方程组检验是否满足两个方程，确保答案正确。
【难度系数】
0.8
17. 先化简，再求值：
(1)$4(x-2)^2 - (2x+3)(2x-3)$，其中$x=1$；
(2)$-ab(a^2b^5 - ab^3 - b)$，其中$ab^2 = -6$。
(1)$4(x-2)^2 - (2x+3)(2x-3)$，其中$x=1$；
(2)$-ab(a^2b^5 - ab^3 - b)$，其中$ab^2 = -6$。
答案
17. 解:(1) 原式 $=4(x^2 -4x +4) - (4x^2 -9) =4x^2 -16x +16 -4x^2 +9 = -16x +25$. 当 $x=1$ 时,原式 $=-16 ×1 +25 =9$.
(2) 原式 $=-a^3b^6 +a^2b^4 +ab^2 = -(ab^2)^3 + (ab^2)^2 +ab^2 = -(-6)^3 + (-6)^2 + (-6) =246$.
(2) 原式 $=-a^3b^6 +a^2b^4 +ab^2 = -(ab^2)^3 + (ab^2)^2 +ab^2 = -(-6)^3 + (-6)^2 + (-6) =246$.
解析
【分析】
这两道题均为整式化简求值类题目。第(1)题解题思路：先分别利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，利用平方差公式计算$(2x+3)(2x-3)$，再去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$x=1$代入最简式计算即可。第(2)题解题思路：先根据单项式乘多项式的法则展开原式，观察展开后各项的次数，可将各项转化为以$ab^2$为整体的幂的形式，再将$ab^2=-6$整体代入计算，无需单独求解a、b的值，简化计算过程。
【解析】
(1) 利用完全平方公式和平方差公式展开：
原式$=4(x^2 -4x +4) - (4x^2 -9)$
去括号得：$4x^2 -16x +16 -4x^2 +9$
合并同类项得最简式：$-16x +25$
将$x=1$代入最简式：
原式$=-16 ×1 +25 =9$
(2) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式$=-a^3b^6 +a^2b^4 +ab^2$
逆用幂的乘方公式，将各项变形为含$ab^2$的形式：
原式$= -(ab^2)^3 + (ab^2)^2 +ab^2$
将$ab^2 = -6$整体代入：
原式$= -(-6)^3 + (-6)^2 + (-6) = 216 + 36 -6 =246$
【答案】
(1)9；(2)246
【知识点】
整式化简求值；乘法公式；整体代入求值
【点评】
本题侧重考察整式运算相关法则、公式的熟练运用，解题时要注意去括号的符号变化，第(2)题利用整体代入思想可大幅降低计算量，是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
这两道题均为整式化简求值类题目。第(1)题解题思路：先分别利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，利用平方差公式计算$(2x+3)(2x-3)$，再去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$x=1$代入最简式计算即可。第(2)题解题思路：先根据单项式乘多项式的法则展开原式，观察展开后各项的次数，可将各项转化为以$ab^2$为整体的幂的形式，再将$ab^2=-6$整体代入计算，无需单独求解a、b的值，简化计算过程。
【解析】
(1) 利用完全平方公式和平方差公式展开：
原式$=4(x^2 -4x +4) - (4x^2 -9)$
去括号得：$4x^2 -16x +16 -4x^2 +9$
合并同类项得最简式：$-16x +25$
将$x=1$代入最简式：
原式$=-16 ×1 +25 =9$
(2) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式$=-a^3b^6 +a^2b^4 +ab^2$
逆用幂的乘方公式，将各项变形为含$ab^2$的形式：
原式$= -(ab^2)^3 + (ab^2)^2 +ab^2$
将$ab^2 = -6$整体代入：
原式$= -(-6)^3 + (-6)^2 + (-6) = 216 + 36 -6 =246$
【答案】
(1)9；(2)246
【知识点】
整式化简求值；乘法公式；整体代入求值
【点评】
本题侧重考察整式运算相关法则、公式的熟练运用，解题时要注意去括号的符号变化，第(2)题利用整体代入思想可大幅降低计算量，是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
