1. 新素养运算能力 如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm

1. A

2.（教材P99练习2变式）如图，鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC的长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长为8 m，则B，B'两点之间的距离为（）

A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m

2. B

3. 新趋势传统文化 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中$AB=AB'$，$AB ⊥ B'C$于点$C$，$BC=0.5$尺，$B'C=2$尺。若$AC$的长为$x$尺，则可列方程为。

3. $x^2+2^2=(x+0.5)^2$

4. 在一张长为11 cm、宽为5 cm的长方形纸片上，放置一个正三棱柱的纸盒（如图），它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面是边长为1 cm的等边三角形，则一只蚂蚁从点A处爬到点C处的最短路程是 cm.

4. 13 解析:如图,将纸盒两侧面展开,连接AC,此时AB的长为11+1+1-1=12(cm),BC=5 cm.因为∠B=90°,所以AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=13 cm,即这只蚂蚁从点A处爬到点C处的最短路程是13 cm.

5. 如图,点A是网红打卡地诗博园,市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往,且$AB=BC$.因市政建设,点C到点A段现暂时封闭施工,为方便出行,在湖边的H处修建了一临时车站(点H在线段BC上),由点H处亦可直达点A处,且$AC=1\ \mathrm{km},AH=0.8\ \mathrm{km},CH=0.6\ \mathrm{km}$.
(1) 判断$△ ACH$的形状,并说明理由;
(2) 求路线AB的长.

5. (1) $△ ACH$ 是直角三角形.理由如下:因为 $CH=0.6\ \mathrm{km},AH=0.8\ \mathrm{km},AC=1\ \mathrm{km}$,所以 $CH^2+AH^2=AC^2$.所以 $∠ AHC=90°$,$△ ACH$ 是直角三角形.
(2) 设 $AB=BC=x\ \mathrm{km}$. 又 $CH=0.6\ \mathrm{km}$,则 $BH=(x-0.6)\mathrm{km}$. 由(1),得 $∠ AHC=90°$,且 $∠ AHC+∠ AHB=180°$,所以 $∠ AHB=180°-∠ AHC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ AHB$ 中, $AH=0.8\ \mathrm{km}$, 所以 $BH^2+AH^2=AB^2$. 所以 $(x-0.6)^2+0.8^2=x^2$, 解得 $x=\frac{5}{6}$. 则路线 $AB$ 的长为 $\frac{5}{6}\ \mathrm{km}$.

6. 如图，将一根长为24 cm的筷子置于底面圆直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围为（）

A.$12≤ h≤19$
B.$12≤ h≤13$
C.$11≤ h≤12$
D.$5≤ h≤12$

6. C 解析:当筷子与杯底垂直时,h最大,此时 $h=24-12=12(\mathrm{cm})$;当杯中筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时,h最小.此时,杯中筷子的长为 $\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$,所以 $h=24-13=11(\mathrm{cm})$. 则 $h$ 的取值范围为 $11≤ h≤12$.
·易错警示·
解决这类问题的关键是找出最值的情况,根据题目条件构造直角三角形,并运用勾股定理解决问题.