登录
10. (2025·江苏扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：① 3,4,5；② 5,12,13；③ 7,24,25；④ 9,40,41……根据上述规律，第⑤组勾股数为
11,60,61
.答案
10. 11,60,61 解析:因为第①组勾股数分别为 $2×1+1=3,2×1^2+2×1=4,2×1^2+2×1+1=5$;第②组勾股数分别为 $2×2+1=5,2×2^2+2×2=12,2×2^2+2×2+1=13$;第③组勾股数分别为 $2×3+1=7,2×3^2+2×3=24,2×3^2+2×3+1=25$;第④组勾股数为 $2×4+1=9,2×4^2+2×4=40,2×4^2+2×4+1=41$,所以第⑤组勾股数为 $2×5+1=11,2×5^2+2×5=60,2×5^2+2×5+1=61$.
11. (2025·江苏扬州二模)已知$△ ABC$的三边长分别是$a,b,c$，且$a = n^2 -1$，$b=2n$，$c =n^2+1$($n$为大于1的正整数).
(1) 判断$△ ABC$的形状；
(2) 若以$b$为直径的半圆面积为$2π$，求$△ ABC$的面积；
(3) 若以$a,b$为直径的半圆面积分别为$p$，$q$，求以$c$为直径的半圆面积(用含$p,q$的代数式表示).
(1) 判断$△ ABC$的形状；
(2) 若以$b$为直径的半圆面积为$2π$，求$△ ABC$的面积；
(3) 若以$a,b$为直径的半圆面积分别为$p$，$q$，求以$c$为直径的半圆面积(用含$p,q$的代数式表示).
答案
11. (1) $△ABC$ 是直角三角形. 理由如下: 因为 $△ABC$ 的三边长分别是 $a,b,c$, 且 $a = n^2 -1,b=2n,c =n^2+1$, 所以 $a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$,$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,即 $a^2+b^2=c^2$. 所以 $△ABC$ 是直角三角形, 且 $∠C=90°$.
(2) 因为以 $b$ 为直径的半圆面积为 $2π$,所以 $\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=2π$,解得 $b=4$. 又 $b=2n$, 所以 $2n=4$, 解得 $n=2$. 又 $a=n^2-1$, 所以 $a=3$. 由(1),得 $∠C=90°$,所以 $△ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3) 因为以 $a,b$ 为直径的半圆面积分别为 $p,q$,所以 $p=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{8}$,$q=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{8}$. 由(1),得 $a^2+b^2=c^2$,所以以 $c$ 为直径的半圆面积为 $\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{πc^2}{8}=\frac{π}{8}(a^2+b^2)=\frac{πa^2}{8}+\frac{πb^2}{8}=p+q$.
(2) 因为以 $b$ 为直径的半圆面积为 $2π$,所以 $\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=2π$,解得 $b=4$. 又 $b=2n$, 所以 $2n=4$, 解得 $n=2$. 又 $a=n^2-1$, 所以 $a=3$. 由(1),得 $∠C=90°$,所以 $△ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3) 因为以 $a,b$ 为直径的半圆面积分别为 $p,q$,所以 $p=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{8}$,$q=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{8}$. 由(1),得 $a^2+b^2=c^2$,所以以 $c$ 为直径的半圆面积为 $\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{πc^2}{8}=\frac{π}{8}(a^2+b^2)=\frac{πa^2}{8}+\frac{πb^2}{8}=p+q$.
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$P$是$△ ABC$内部一点，且$PB=1$，$PC=2$，$PA=3$，则$∠ BPC$的度数为 （
A.$135°$
B.$145°$
C.$155°$
D.$165°$
A
）A.$135°$
B.$145°$
C.$155°$
D.$165°$
答案
12. A 解析: 因为 $AC=BC,∠ACB=90°$, 所以将 $△ACP$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $90°$, 得到 $△BCD$(如图),连接 $PD$. 由旋转的性质,得 $DC=PC,DB=PA,∠PCD=∠ACB=90°$. 所以 $△PCD$ 是等腰直角三角形, 即 $∠CPD=45°$. 又 $PC=2,PA=3$, 所以 $DC=2,DB=3$. 所以 $PD^2=PC^2+DC^2=8$. 又 $PB=1$, 所以 $PB^2+PD^2=9=DB^2$, 即 $△PBD$ 是直角三角形, 且 $∠DPB=90°$. 所以 $∠BPC=∠DPB+∠CPD=135°$.
13. (2026·江苏常州期中)如图，A是射线BM外一点，连接AB，且$AB=5\ \mathrm{cm}$，点A到BM的距离为3 cm，动点P从点B出发沿射线BM以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，当$△ ABP$为直角三角形时，$t$的值为
2或$\frac{25}{8}$
.答案
13. 2或$\frac{25}{8}$ 解析: 过点 $A$ 作 $AH⊥BM$ 于点 $H$, 则 $∠AHB=∠AHM=90°$. 由题意, 得 $BP=2t$ cm, $AH=3$ cm. 因为 $AB=5$ cm, 所以 $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=4$ cm. 当 $∠APB=90°$ 时, 点 $P$ 与点 $H$ 重合, 则 $BP=BH=4$ cm. 所以 $2t=4$, 解得 $t=2$; 当 $∠BAP=90°$ 时, $HP=BP-BH=(2t-4)$ cm. 因为 $AP^2=BP^2-AB^2=(4t^2-25)$ cm², $AP^2=AH^2+HP^2=[9+(2t-4)^2]$ cm², 所以 $4t^2-25=9+(2t-4)^2$, 解得 $t=\frac{25}{8}$. 综上, $t$ 的值为 2 或 $\frac{25}{8}$.
14. 新趋势 推导探究 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB=90°,CD ⊥ AB$, 设 $AC=b,BC=a,AB=c,CD=h$.
(1) 求证: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$;
(2) 求证: $a+b＜c+h$;
(3) 判断以 $a+b,h,c+h$ 为三边长的三角形的形状,并说明理由.
(1) 求证: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$;
(2) 求证: $a+b＜c+h$;
(3) 判断以 $a+b,h,c+h$ 为三边长的三角形的形状,并说明理由.
答案
14. (1) 因为 $∠ACB=90°,CD⊥AB$, 所以 $AB^2=AC^2+BC^2$,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CD$. 因为 $AC=b,BC=a,AB=c,CD=h$, 所以 $c^2=a^2+b^2,ab=ch$, 即 $a^2b^2=c^2h^2$. 所以 $a^2b^2=(a^2+b^2)h^2$. 所以 $\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{h^2}$, 即 $\frac{a^2}{a^2b^2}+\frac{b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{h^2}$. 所以 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$.
(2) 由(1),得 $a^2+b^2=c^2,ab=ch$, 所以 $a^2+b^2＜c^2+h^2$. 所以 $a^2+b^2+2ab＜c^2+h^2+2ch$. 又 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,$(c+h)^2=c^2+h^2+2ch$, 所以 $(a+b)^2＜(c+h)^2$. 又 $a+b＞0,c+h＞0$, 所以 $a+b＜c+h$.
(3) 以 $a+b,h,c+h$ 为三边长的三角形是直角三角形. 理由如下: 由(1)(2),得 $a^2+b^2=c^2,ab=ch,a+b＜c+h$, 所以 $h^2+(a+b)^2=h^2+a^2+2ab+b^2=h^2+2ch+c^2$. 因为 $(c+h)^2=c^2+2ch+h^2$, 所以 $(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$. 所以以 $a+b,h,c+h$ 为三边长的三角形是直角三角形.
(2) 由(1),得 $a^2+b^2=c^2,ab=ch$, 所以 $a^2+b^2＜c^2+h^2$. 所以 $a^2+b^2+2ab＜c^2+h^2+2ch$. 又 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,$(c+h)^2=c^2+h^2+2ch$, 所以 $(a+b)^2＜(c+h)^2$. 又 $a+b＞0,c+h＞0$, 所以 $a+b＜c+h$.
(3) 以 $a+b,h,c+h$ 为三边长的三角形是直角三角形. 理由如下: 由(1)(2),得 $a^2+b^2=c^2,ab=ch,a+b＜c+h$, 所以 $h^2+(a+b)^2=h^2+a^2+2ab+b^2=h^2+2ch+c^2$. 因为 $(c+h)^2=c^2+2ch+h^2$, 所以 $(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$. 所以以 $a+b,h,c+h$ 为三边长的三角形是直角三角形.
