7. 如图①是传统手工磨豆的设备，根据它的原理设计了如图②所示的机械设备，磨盘半径 $ OM = 20 \, \mathrm{cm} $，把手 $ MQ = 15 \, \mathrm{cm} $，$ O, M, Q $ 三点在同一条直线上，用长为135 cm的连杆将点 $ Q $ 与动力装置 $ P $ 相连（$ ∠ PQM $ 的度数可变），点 $ P $ 在轨道 $ AB $ 上来回滑动并带动磨盘绕点 $ O $ 转动，$ OA ⊥ AB $，$ OA = 80 \, \mathrm{cm} $。若磨盘转动一周，则点 $ P $ 在轨道 $ AB $ 上滑过的路径长为 （）


A.90 cm
B.150 cm
C.180 cm
D.$ 70π \, \mathrm{cm} $

7. C 解析:连接 $ OP $. 由题意,得 $∠ A=90°$,$OQ=OM+MQ=35\ \mathrm{cm}$,$PQ=135\ \mathrm{cm}$. 又 $PQ-OQ≤ OP≤ OQ+PQ$,所以当点 $ O $ 在线段 $ PQ $ 上时, $ OP $ 的长取最小值,且最小值为 $ PQ-OQ=100\ \mathrm{cm}$;当点 $ Q $ 在线段 $ OP $ 上时, $ OP $ 的长取最大值,且最大值为 $ OQ+PQ=170\ \mathrm{cm}$. 分类讨论如下:① 当 $ OP=100\ \mathrm{cm} $ 时,在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中, $ OA=80\ \mathrm{cm} $, 所以 $ AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=60\ \mathrm{cm}$;② 当 $ OP=170\ \mathrm{cm} $ 时,在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中, $ OA=80\ \mathrm{cm} $, 所以 $ AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=150\ \mathrm{cm}$. 不妨假设磨盘从 $ OP $ 的长最小时开始转动,则磨盘每转动一周, $ AP $ 的长从最小值到最大值再到最小值. 所以磨盘每转动一周,点 $ P $ 在轨道 $ AB $ 上滑过的路径长为 $(150-60)×2=180(\mathrm{cm})$.

8. (2026·江苏苏州月考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=3$,$BC=8$,$D$为$BC$的中点,将$△ ABD$沿$AD$折叠,使点$B$落在点$E$处,连接$CE$,则$CE$的长为 ()


A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{32}{5}$

8. D 解析:连接 $ BE $ 交 $ AD $ 于点 $ O $. 由折叠的性质,得 $ AD⊥ BE $,$OB=OE$,$BD=DE$. 因为 $ BC=8 $,$D $ 为 $ BC $ 的中点,所以 $ BD=CD=\frac{1}{2}BC=4 $, 即 $ DE=BD=CD $. 所以 $ ∠ DEC=∠ DCE $,$ ∠ DBE=∠ DEB $. 又 $ ∠ DBE+∠ DEB+∠ DEC+∠ DCE=180° $. 所以 $ ∠ DEB+∠ DEC=90° $, 即 $ ∠ BEC=90° $. 又 $ AB=3 $,$ ∠ ABD=90° $, 所以 $ AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=5 $. 因为 $ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}OB · AD = \frac{1}{2}AB · BD $, 所以 $ OB=\frac{AB · BD}{AD}=\frac{12}{5} $. 所以 $ BE=2OB=\frac{24}{5} $. 所以 $ CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\frac{32}{5} $.

9. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，过点$B$的直线把$△ ABC$分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积为。

9. 3.6或4.32或4.8 解析:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$,$AB=3$,$BC=4$, 由勾股定理,得 $AC^2=AB^2+BC^2=5^2$, 所以 $AC=5$. 设边 $AC$ 上的高为 $BD$, 则 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} BC · AB = \frac{1}{2} AC · BD $. 所以 $BD=\frac{BC · AB}{AC}=2.4$. 当过点 $B$ 的直线将 $△ ABC$ 分割成两个三角形, 且其中只有一个是等腰三角形时, 分类讨论如下:① 如图①, 若 $AP=AB=3$, 则 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AP · BD=3.6$;② 如图②, 若 $BP=AB=3$, 则 $AP=2AD$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $AD^2=AB^2-BD^2=1.8^2$, 所以 $AD=1.8$. 所以 $AP=2AD=3.6$. 所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AP · BD=4.32$;③ 如图③, 若 $CP=BC=4$, 则 $S_{△ BCP}=\frac{1}{2}CP · BD=4.8$. 综上, 这个等腰三角形的面积为 3.6 或 4.32 或 4.8.

10. 亮点原创·如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF，且$∠ EDF = 45°$，将$△ DAE$绕点D逆时针旋转$90°$，得到$△ DCM$。若$BF=1.5$，则CM的长为。

10. 1 解析:因为四边形 $ABCD$ 是边长为 3 的正方形, 所以 $AB=BC=3$, $∠ A=∠ ADC=∠ ABC=∠ BCD=90°$. 因为 $∠ EDF=45°$, 所以 $∠ ADE+∠ FDC=45°$. 由题意, 得 $△ DCM≌△ DAE$, 所以 $∠ DCM=∠ A=90°$,$∠ CDM=∠ ADE$,$DM=DE$,$CM=AE$. 所以 $∠ DCM+∠ BCD=180°$, 即 $M,C,F,B$ 四点共线. 因为 $∠ MDF=∠ FDC+∠ CDM=∠ FDC+∠ ADE=45°$, 所以 $∠ EDF=∠ MDF$. 又 $DF=DF$, 所以 $△ EDF≌△ MDF(\mathrm{SAS})$. 所以 $EF=MF$. 设 $CM=x$, 则 $AE=x$. 所以 $BE=AB-AE=3-x$. 又 $BF=1.5$, 所以 $CF=BC-BF=1.5$, 即 $MF=CF+CM=1.5+x$. 所以 $EF=1.5+x$. 在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中, $EF^2=BE^2+BF^2$, 所以 $(1.5+x)^2=(3-x)^2+1.5^2$, 解得 $x=1$. 则 $CM$ 的长为 1.

11. 新素养 几何直观 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿折线$A\to C\to B\to A$运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$.
(1)若点$P$在$AC$上,且满足$PA=PB$,求此时$t$的值;
(2)若点$P$恰好在$∠ BAC$的平分线上,求此时$t$的值.

备用图

11. (1) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,$AB^2=AC^2+BC^2$, 即 $AC=4\ \mathrm{cm}$. 由题意, 得 $PB=PA=2t\ \mathrm{cm}$, 且 $t≤2$. 则 $PC=AC-PA=(4-2t)\mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ PCB$ 中, $PC^2+BC^2=PB^2$, 所以 $(4-2t)^2+3^2=(2t)^2$, 解得 $t=\frac{25}{16}$. 所以当 $t=\frac{25}{16}$ 时, 点 $P$ 在 $AC$ 上, 且 $PA=PB$.
(2) 当点 $P$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上时, 点 $P$ 必在边 $BC$ 上, 过点 $P$ 作 $PE⊥ AB$ 于点 $E$. 又 $∠ C=90°$, 所以 $AC⊥ PC$. 所以 $PE=PC$. 由(1), 得 $AC=4\ \mathrm{cm}$, 且 $S_{△ ABC} = S_{△ APC} + S_{△ APB}$, 所以 $\frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AC · PC + \frac{1}{2}AB · PE$, 即 $AC · BC = (AC+AB) · PC$. 所以 $PC=\frac{AC · BC}{AC+AB}=\frac{4}{3}\ \mathrm{cm}$. 又 $PC=(2t-4)\mathrm{cm}$, 且 $2≤ t≤\frac{7}{2}$, 所以 $2t-4=\frac{4}{3}$, 解得 $t=\frac{8}{3}$. 所以当 $t=\frac{8}{3}$ 时, 点 $P$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上.

12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC＞BC$，分别以$△ ABC$的三边为边向外作正方形$ABHL$、正方形$ACDE$和正方形$BCFG$.连接$DF$，过点$C$作$AB$的垂线$CJ$，垂足为$J$，分别交$DF$，$LH$于$I$，$K$两点.若$CI=5$，$CJ=4$，则长方形$AJKL$的面积是.

12. 80 解析:由题意,得 $AL=AB$,$AC=DC$,$BC=FC$,$∠ ACB=∠ ABH=∠ L=∠ AJK=∠ AJC=∠ BJC=∠ ACD=∠ BCF=90°$. 又 $∠ ACB+∠ ACD+∠ DCF+∠ BCF=360°$, 所以 $∠ DCF=90°$, 即 $∠ DCF=∠ ACB$, 且 $D,C,B$ 三点共线. 所以 $△ DCF≌△ ACB\ (\mathrm{SAS})$. 所以 $DF=AB$,$∠ CDF=∠ CAB$,$∠ CFD=∠ CBA$. 又 $∠ ACJ+∠ BCJ=90°$,$∠ ACJ+∠ CAB=90°$, 所以 $∠ BCJ=∠ CAB$, 即 $∠ BCJ=∠ CDF$. 又 $∠ BCJ=∠ DCI$, 所以 $∠ DCI=∠ CDF$, 即 $DI=CI$. 同理, 得 $IF=CI$. 所以 $DF=2CI$. 又 $CI=5$, 所以 $IF=5$,$DF=10$, 即 $AL=AB=DF=10$. 过点 $F$ 作 $FM⊥ CI$, 垂足为 $M$, 则 $∠ FMC=∠ FMI=90°$. 所以 $∠ MFC+∠ MCF=90°$. 又 $∠ MCF+∠ BCF+∠ JCB=180°$, 所以 $∠ MCF+∠ JCB=90°$, 即 $∠ MFC=∠ JCB$. 所以 $△ MFC≌△ JCB\ (\mathrm{AAS})$. 所以 $MF=JC$,$MC=JB$. 又 $JC=4$, 所以 $MF=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ IMF$ 中, $IM^2+MF^2=IF^2$, 所以 $IM^2+4^2=5^2$, 解得 $IM=3$, 即 $MC=CI-IM=2$. 所以 $JB=2$. 所以 $AJ=AB-JB=8$. 又四边形 $AJKL$ 是长方形, 所以四边形 $AJKL$ 的面积是 $AL · AJ=80$.