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1. 已知直角三角形的面积为 $6\ \mathrm{cm}^{2}$，两直角边的差为1 cm，则它的斜边长为
5
cm.答案
设两直角边长分别为 a cm,b cm(a＞b＞0)，
∵直角三角形的面积为 6 cm²，
∴$\dfrac{1}{2}ab=6$,即 $ab=12$.
又两直角边的差为 1 cm,
∴$a-b=1$,
∴$a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=1+24=25$,
∴它的斜边长为 5 cm.
∵直角三角形的面积为 6 cm²，
∴$\dfrac{1}{2}ab=6$,即 $ab=12$.
又两直角边的差为 1 cm,
∴$a-b=1$,
∴$a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=1+24=25$,
∴它的斜边长为 5 cm.
2. 新情境 荡秋千 如图,秋千静止时,踏板离地的垂直高度 $BE=1\ \mathrm{m}$,将它往前推6 m至C处时(即水平距离 $CD=6\ \mathrm{m}$),踏板离地的垂直高度 $CF=4\ \mathrm{m}$,它的绳索始终拉直,则绳索$AC$的长是(
A.$\dfrac{21}{2}\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{15}{2}\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{9}{2}\ \mathrm{m}$
B
).A.$\dfrac{21}{2}\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{15}{2}\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{9}{2}\ \mathrm{m}$
答案
设绳长为 $x$ m，
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)\ \mathrm{m}$,
$DC=6\ \mathrm{m},AC=x\ \mathrm{m},\therefore AD^{2}+DC^{2}=AC^{2}$,
根据题意可得 $x^{2}=(x-3)^{2}+6^{2}$,解得 $x=\dfrac{15}{2}$,
$\therefore$ 绳索 $AC$ 的长是 $\dfrac{15}{2}\ \mathrm{m}$. 故选 B.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)\ \mathrm{m}$,
$DC=6\ \mathrm{m},AC=x\ \mathrm{m},\therefore AD^{2}+DC^{2}=AC^{2}$,
根据题意可得 $x^{2}=(x-3)^{2}+6^{2}$,解得 $x=\dfrac{15}{2}$,
$\therefore$ 绳索 $AC$ 的长是 $\dfrac{15}{2}\ \mathrm{m}$. 故选 B.
3. 传统文化 《数书九章》 （2025·无锡期末）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何?”问题大意：如图，在$△ ABC$中，$AB=13$里，$BC=14$里，$AC=15$里，则$△ ABC$的面积是(
A.80平方里
B.82平方里
C.84平方里
D.86平方里
C
).A.80平方里
B.82平方里
C.84平方里
D.86平方里
答案
如图
,过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$ 于点 $D$,设 $BD=x$ 里,则 $CD=(14-x)$ 里,
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD^{2}+x^{2}=13^{2}$,
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AD^{2}=15^{2}-(14-x)^{2}$,
$\therefore 13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14-x)^{2}$,解得 $x=5$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AD=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$(里),
$\therefore△ ABC$ 的面积 $=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}×14×12=84$(平方里).故选 C.
4. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，$CM ⊥ MB$，经测量得到如下数据：$AM = 4\ \mathrm{m}$，$AB = 4\ \mathrm{m}$，$∠ MAD = 45°$，$CM:CB = 3:5$，则警示牌的高$CD$为
2
m.答案
4. 2
5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=$$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，$AC=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，点$P$在线段$BC$上，当$AP=BP$时，$AP$的长度为
$\dfrac{3}{2}$
cm.答案
5. $\dfrac{3}{2}$
6. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, AC=4, BC=$
8,动点 $P$ 在射线 $BC$ 上移动, 连接 $AP$. 如果
$∠ APC=2∠ B$, 则线段 $BP$ 的长为
8,动点 $P$ 在射线 $BC$ 上移动, 连接 $AP$. 如果
$∠ APC=2∠ B$, 则线段 $BP$ 的长为
5或11
.答案
6. 5或11
7. 如图,四边形$ABCD$是边长为9的正方形纸片,将其沿$MN$折叠,使点$B$落在$CD$边上的$B'$处,点$A$的对应点为$A'$,且$B'C=3$,则$AM$的长是
2
.答案
设 $AM=x$,连接 $BM,MB'$,
由题意知,$MB=MB'$,则有 $AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}=B'M^{2}=MD^{2}+DB'^{2}$,
即 $9^{2}+x^{2}=(9-x)^{2}+(9-3)^{2}$,解得 $x=2$,即 $AM=2$.
由题意知,$MB=MB'$,则有 $AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}=B'M^{2}=MD^{2}+DB'^{2}$,
即 $9^{2}+x^{2}=(9-x)^{2}+(9-3)^{2}$,解得 $x=2$,即 $AM=2$.
8. (2025·河北石家庄裕华区期中)如图,一架无人机旋停在空中点A处,点A与地面上点B之间的距离$AB=20$米,点A与地面上点C(点B,C处于同一水平面上)的距离$AC=25$米,且$BC=15$米.
(1)求$∠ ABC$的度数;
(2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处,若点D恰好在边AC的垂直平分线上,连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的长).
(1)求$∠ ABC$的度数;
(2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处,若点D恰好在边AC的垂直平分线上,连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的长).
答案
(1)$\because AB^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625,AC^{2}=25^{2}=625$,
$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$,
$\therefore△ ABC$ 是直角三角形,$∠ ABC=90°$.
(2)设 $AD=x$ 米,若点 $D$ 恰好在边 $AC$ 的垂直平分线上,
则 $CD=AD=x$ 米,$BD=(20-x)$ 米,
在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$DC^{2}=BD^{2}+BC^{2}$,
$\therefore x^{2}=(20-x)^{2}+15^{2}$,解得 $x=\dfrac{125}{8}$. 故这架无人机向下飞行的距离($AD$ 的长)为 $\dfrac{125}{8}$ 米.
$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$,
$\therefore△ ABC$ 是直角三角形,$∠ ABC=90°$.
(2)设 $AD=x$ 米,若点 $D$ 恰好在边 $AC$ 的垂直平分线上,
则 $CD=AD=x$ 米,$BD=(20-x)$ 米,
在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$DC^{2}=BD^{2}+BC^{2}$,
$\therefore x^{2}=(20-x)^{2}+15^{2}$,解得 $x=\dfrac{125}{8}$. 故这架无人机向下飞行的距离($AD$ 的长)为 $\dfrac{125}{8}$ 米.
