9. 在$△ ABC$中,$AB=15$,$AC=13$,高$AD=12$,则$△ ABC$的周长为().

A.32
B.42
C.32 或 42
D.38 或 42

9. C

10. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°, AC=6, BC=8,$将它其中一个锐角沿着某条直线翻折,使该锐角顶点落在其对边的中点 $D$,折痕交另一个直角边于点 $E$,交斜边于 $F$,则 $DE$ 的长为.

10. $\dfrac{73}{16}$或$\dfrac{13}{3}$

11. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, AB = 5\ \mathrm{cm}, BC = 4\ \mathrm{cm}$, 若点 $P$ 从点 $A$ 出发, 以每秒 $2\ \mathrm{cm}$ 的速度沿折线 $A-B-C-A$ 运动, 设运动时间为 $t$ 秒$(t＞0)$.
(1)若点 $P$ 在 $BC$ 上, 且满足 $PA=PB$, 求此时 $t$ 的值.
(2)若点 $P$ 恰好在 $∠ ABC$ 的平分线上, 求此时 $t$ 的值.
(3)在点 $P$ 运动过程中, 当 $t$ 为何值时, $△ ACP$ 为等腰三角形?

(1)如图,设 $PB=PA=x$ cm,则 $PC=(4-x)$ cm,
$\because∠ ACB=90°,AB=5\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm},\therefore AC=3\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACP$ 中,$AC^{2}+PC^{2}=AP^{2}$,
$\therefore 3^{2}+(4-x)^{2}=x^{2}$,解得 $x=\dfrac{25}{8}$,
$\therefore BP=\dfrac{25}{8}\ \mathrm{cm},\therefore t=\dfrac{AB+BP}{2}=\dfrac{5+\dfrac{25}{8}}{2}=\dfrac{65}{16}$.
(2)如图,过点 $P$ 作 $PD⊥ AB$ 于点 $D$.
$\because BP$ 平分 $∠ ABC,∠ C=90°,\therefore PD=PC$.
$\because BP=BP,\therefore\mathrm{Rt}△ BPD≌\mathrm{Rt}△ BPC(\mathrm{HL})$,
$\therefore BC=BD=4\ \mathrm{cm},\therefore AD=5-4=1(\mathrm{cm})$.
设 $PD=PC=y$ cm,则 $AP=(3-y)$ cm,
在 $\mathrm{Rt}△ ADP$ 中,$AD^{2}+PD^{2}=AP^{2}$,
$\therefore 1^{2}+y^{2}=(3-y)^{2}$,解得 $y=\dfrac{4}{3},\therefore CP=\dfrac{4}{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore t=\dfrac{AB+BC+CP}{2}=\dfrac{5+4+\dfrac{4}{3}}{2}=\dfrac{31}{6}$;
当点 $P$ 与点 $B$ 重合时,点 $P$ 也在 $∠ ABC$ 的平分线上时,
此时,$t=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{5}{2}$. 综上所述,点 $P$ 恰好在 $∠ ABC$ 的平分线上时,$t$ 的值为 $\dfrac{31}{6}$ 或 $\dfrac{5}{2}$.
(3)分四种情况:
①如图,当 $P$ 在 $AB$ 上,且 $AP=CP$ 时,
$∠ A=∠ ACP$,而 $∠ A+∠ B=90°,∠ ACP+∠ BCP=90°,\therefore∠ B=∠ BCP,\therefore CP=BP$,
$\therefore P$ 是 $AB$ 的中点,即 $AP=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore t=\dfrac{AP}{2}=\dfrac{5}{4}$;
②如图,当 $P$ 在 $AB$ 上且 $AP=CA=3$ cm 时,
$t=\dfrac{AP}{2}=\dfrac{3}{2}$;
③如图,当 $P$ 在 $AB$ 上且 $AC=PC$ 时,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$,则 $CD=\dfrac{AC· BC}{AB}=\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AD=\dfrac{9}{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AP=2AD=\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm},\therefore t=\dfrac{AP}{2}=\dfrac{9}{5}$;
④如图,当 $P$ 在 $BC$ 上且 $AC=PC=3$ cm 时,$BP=4-3=1(\mathrm{cm}),\therefore t=\dfrac{AB+BP}{2}=\dfrac{6}{2}=3$.
综上所述,当 $t=\dfrac{5}{4}$ 或 $\dfrac{3}{2}$ 或 $\dfrac{9}{5}$ 或 3 时,$△ ACP$ 为等腰三角形.

12. 如图,在$△ ABC$中,$CE$平分$∠ ACB$,$CF$平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$,且$EF// BC$交$AC$于$M$,若$CM=4$,则$CE^2+CF^2$的值为().

A.8
B.16
C.32
D.64

12. D

13 (2025·南京金陵中学河西分校期中)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=2,BC=4$.分别以$AB$,$AC$,$BC$为边在$AB$的同侧作正方形$ABEF$,$ACPQ$,$BCMN$,四块阴影部分的面积分别为$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4$,则$S_1+S_2+S_3+S_4$等于().

A.12
B.14
C.16
D.18

13. A

14. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 $ABCD$，对角线 $AC,BD$ 交于点 $O$，若 $AD=3,BC=8$，则 $AB^2+CD^2=$.

$\because BD⊥ AC$,
$\therefore∠ COB=∠ AOB=∠ AOD=∠ COD=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ COB$ 和 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,根据勾股定理,得 $BO^{2}+CO^{2}=CB^{2},OD^{2}+OA^{2}=AD^{2}$,
$\therefore CB^{2}+AD^{2}=BO^{2}+CO^{2}+OD^{2}+OA^{2}=64+9=73$.
$\because AB^{2}=BO^{2}+AO^{2},CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}$,
$\therefore AB^{2}+CD^{2}=BO^{2}+AO^{2}+OC^{2}+OD^{2}=(BO^{2}+OC^{2})+(AO^{2}+OD^{2})=CB^{2}+AD^{2}=73$.

15. 如图,四边形 $ABCD$ 和四边形 $AEFG$ 都是正方形,点 $B$ 在 $EF$ 上, $S_1=140,S_2=124$,求$EB$ 的长.

设 $△ ABE$ 的面积为 $S$,
$\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=S+S_1=S+140,S_{\mathrm{正方形}AEFG}=S+S_2=S+124$,
而 $S_{\mathrm{正方形}ABCD}=AB^{2},S_{\mathrm{正方形}AEFG}=AE^{2}$,
$\therefore AB^{2}-AE^{2}=140-124=16$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$BE^{2}=AB^{2}-AE^{2}=16,\therefore BE=4$.