1. 如图，正方体盒子的棱长为 2，M 为 BC 的中点，则一只蚂蚁从 M 点沿盒子的表面爬行到A 点的最短距离为().

A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{14}$
D.$\sqrt{17}$

如图，蚂蚁沿路线 AM 爬行路程最短，

∵BC=2,M 为 BC 的中点,
∴MD=3,AD=2,
∴AM=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$. 故选 B.

2. 如图是一块长、宽、高分别是 6 cm,4 cm 和3 cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处,沿着长方体的表面到长方体上和顶点 A 相对的顶点 B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是().

A.$(3+\sqrt{52})\ \mathrm{cm}$
B.$\sqrt{97}\ \mathrm{cm}$
C.$\sqrt{85}\ \mathrm{cm}$
D.$\sqrt{109}\ \mathrm{cm}$

2.C

3. 如图,动点$P$从点$A$出发,沿着圆柱的侧面移动到$BC$的中点$S$,若$BC=6$,点$P$移动的最短距离为5,求圆柱的底面周长.

如图,连接 AS,

在圆柱的侧面展开图 ABCD 中,BC=6,BC⊥AB,
∵点 P 移动的最短距离为 5,
∴AS=5.
∵点 S 是 BC 的中点,
∴BS=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3,
∴AB=$\sqrt{AS^2-BS^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴圆柱的底面周长为 2AB=2×4=8.

4. 如图,某国道通过 A,B 两个村庄,而 C 村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C 村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道,已知 C村到 A,B 两村的距离分别为 6 km,8 km,A,B两村的距离为 10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少？

如图,过点 C 作$CD ⊥ AB$,垂足为 D,则这条水泥路的最短距离为 CD 的长度,

在$△ ABC$中,$AC=6\ \mathrm{km},BC=8\ \mathrm{km},AB=10\ \mathrm{km}$,
则$6^2+8^2=10^2$,即$AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore △ ABC$为直角三角形.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CD=\frac{1}{2}AC · BC$,$\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{6 × 8}{10}=4.8(\mathrm{km})$,
$\therefore$ 这条水泥路的最短距离为 4.8 km.

5. 如图,河 $CD$ 的同侧有 $A,B$ 两个村,且 $AB=$$\sqrt{52}\ \mathrm{km},A,B$ 两村到河的距离分别为 $AC=$$2\ \mathrm{km},BD=6\ \mathrm{km}$. 现要在河边 $CD$ 上建一水厂分别向 $A,B$ 两村输送自来水,铺设水管的工程费每千米需2000元. 请你在河岸 $CD$ 上选择水厂位置 $O$,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用.

如图,作点 A 关于 CD 的对称点 A',连接 BA'交 CD 于 O,
点 O 即为水厂的位置,AO=A'O,AO+OB=A'O+OB=A'B.
过点 A'作$A'E // CD$交 BD 的延长线于点 E,过点 A 作AF$⊥$BD 于点 F,

则 AF=A'E,DF=AC=2 km,DE=A'C=2 km.
$\therefore BF=BD-FD=6-2=4(\mathrm{km})$.
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AF^2=AB^2-BF^2=(\sqrt{52})^2-4^2=36$,
$\therefore AF=6\ \mathrm{km}$,$\therefore A'E=6\ \mathrm{km}$.
在$\mathrm{Rt}△ A'BE$中,$BE=BD+DE=8\ \mathrm{km}$,
由勾股定理得$A'B=\sqrt{A'E^2+BE^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{km})$.
$\therefore$ 铺设水管总费用为$2\ 000 × 10=20\ 000$(元). 故铺设水管的总费用为 20 000 元.