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1. (2025·苏州太仓期末)如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$BC=3$,$AB=5$,$∠ BCA=90°$,在$AC$上取一点$E$,连接$BE$,将$△ ABE$沿$BE$翻折得到$△ A'BE$,使得点$A'$落在直线$BC$上,则$AE$的长度为(
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
C
).A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
答案
1. C [解析]在$\mathrm{Rt}△ACB$中，
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
设$AE=x$，则$CE=4-x$，
由折叠的性质可得$A'B=AB=5$，$A'E=AE=x$，
$\therefore CA'=BA'-BC=5-3=2$。
$\because CA'^2+CE^2=A'E^2$，
$\therefore 2^2+(4-x)^2=x^2$，
$\therefore x=2.5$。故选C。
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
设$AE=x$，则$CE=4-x$，
由折叠的性质可得$A'B=AB=5$，$A'E=AE=x$，
$\therefore CA'=BA'-BC=5-3=2$。
$\because CA'^2+CE^2=A'E^2$，
$\therefore 2^2+(4-x)^2=x^2$，
$\therefore x=2.5$。故选C。
2. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$BC=6,CD=3$,将$△ BCD$ 沿对角线 $BD$ 翻折,点 $C$ 落在点 $C'$处,$BC'$ 交 $AD$ 于点 $E$,则线段 $DE$ 的长为(
A.3
B.$\dfrac{15}{4}$
C.5
D.$\dfrac{15}{2}$
B
).A.3
B.$\dfrac{15}{4}$
C.5
D.$\dfrac{15}{2}$
答案
2. B [解析]设$ED=x$，则$AE=6-x$。
$\because$ 四边形$ABCD$为长方形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ EDB=∠ DBC$。
由折叠的性质，得$∠ EBD=∠ DBC$，
$\therefore ∠ EDB=∠ EBD$，$\therefore EB=ED=x$。
在$\mathrm{Rt}△ BAE$中，由勾股定理，得$BE^2=AB^2+AE^2$，即$x^2=9+(6-x)^2$，解得$x=\dfrac{15}{4}$，$\therefore ED=\dfrac{15}{4}$。故选B.
$\because$ 四边形$ABCD$为长方形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ EDB=∠ DBC$。
由折叠的性质，得$∠ EBD=∠ DBC$，
$\therefore ∠ EDB=∠ EBD$，$\therefore EB=ED=x$。
在$\mathrm{Rt}△ BAE$中，由勾股定理，得$BE^2=AB^2+AE^2$，即$x^2=9+(6-x)^2$，解得$x=\dfrac{15}{4}$，$\therefore ED=\dfrac{15}{4}$。故选B.
3. 某班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.小莉同学制作手工作品的步骤是：
①如图，先裁下了一张长$BC=20\ \mathrm{cm}$，宽$AB=$$16\ \mathrm{cm}$的长方形纸片$ABCD$；
②将纸片沿着直线$AE$折叠，点$D$恰好落在边$BC$上的点$F$处.
请你根据①②步骤解答下列问题：计算$FC$，$EF$的长.
①如图，先裁下了一张长$BC=20\ \mathrm{cm}$，宽$AB=$$16\ \mathrm{cm}$的长方形纸片$ABCD$；
②将纸片沿着直线$AE$折叠，点$D$恰好落在边$BC$上的点$F$处.
请你根据①②步骤解答下列问题：计算$FC$，$EF$的长.
答案
3. 由折叠的性质，得$△ ADE≌△ AFE$，
所以$DE=FE$，$AD=AF$。
因为$BC=20\ \mathrm{cm}$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，
所以$CD=16\ \mathrm{cm}$，$AD=AF=20\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理，得$BF^2=AF^2-AB^2=20^2-16^2=144$，即$BF=12\ \mathrm{cm}$，所以$CF=BC-BF=20-12=8(\mathrm{cm})$。
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$∠ C=90°$。
设$EF=DE=x\ \mathrm{cm}$，则$CE=(16-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，由勾股定理，得$(16-x)^2+64=x^2$，解得$x=10$，所以$EF=10\ \mathrm{cm}$。
故$FC=8\ \mathrm{cm}$，$EF=10\ \mathrm{cm}$。
所以$DE=FE$，$AD=AF$。
因为$BC=20\ \mathrm{cm}$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，
所以$CD=16\ \mathrm{cm}$，$AD=AF=20\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理，得$BF^2=AF^2-AB^2=20^2-16^2=144$，即$BF=12\ \mathrm{cm}$，所以$CF=BC-BF=20-12=8(\mathrm{cm})$。
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$∠ C=90°$。
设$EF=DE=x\ \mathrm{cm}$，则$CE=(16-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，由勾股定理，得$(16-x)^2+64=x^2$，解得$x=10$，所以$EF=10\ \mathrm{cm}$。
故$FC=8\ \mathrm{cm}$，$EF=10\ \mathrm{cm}$。
4. (2025·无锡江阴期中)如图,长方体的底面边长分别为 3 cm 和 9 cm,高为 7 cm. 若一只蚂蚁从P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点,则蚂蚁爬行的最短路径长为(
A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.25 cm
D
).A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.25 cm
答案
4. D [解析]如图所示
。$\because$ 长方体的底面边长分别为9 cm和3 cm，高为7 cm，
$\therefore PA=9+9+3+3=24(\mathrm{cm})$，$QA=7\ \mathrm{cm}$。
$\therefore PQ=\sqrt{PA^2+AQ^2}=\sqrt{24^2+7^2}=25(\mathrm{cm})$。
$\therefore$ 蚂蚁爬行的最短路径长为25 cm。故选D。
5. 如图,圆柱形玻璃杯高为 12 cm,底面周长为 18 cm,在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
15
cm.答案
5. 15
6 新情境 用彩带装饰礼盒 一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒. 长方体高 6 cm,底面是边长为 4 cm 的正方形,从顶点 A 到顶点 $C'$ 如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少厘米？
精题详解
精题详解
答案
6. 如图
，把长方体的面$DCC'D'$沿棱$CD$展开至面$ABCD$上，构成长方形$ABC'D'$，则点$A$到点$C'$的最短距离为$AC'$的长度，连接$AC'$交$DC$于点$O$，易证$△ AOD≌△ C'OC$。$\therefore OD=OC$，即$O$为$DC$的中点。
在$\mathrm{Rt}△ AD'C'$中，由勾股定理，得$AC'^2=AD'^2+D'C'^2=8^2+6^2=100$，$\therefore AC'=10\ \mathrm{cm}$。即从顶点$A$沿直线到$DC$的中点$O$，再沿直线到顶点$C'$，所用的彩带最短，最短长度为10 cm。
