9. 如图,一根长10米的木棒AB,斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,这时AO长8米,当木棒A端沿墙下滑至点A'时,B端沿地面向右滑行至点B',若$AA'=2$米,则$BB'$的长为().

A.1米
B.1.5米
C.3米
D.2米

【点拨】本题考查勾股定理的应用.
【解析】$\because AB=10$米,$AO=8$米,$\therefore BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=6$米.$\because AA'=2$米,$\therefore OA'=OA-AA'=6$米,$\therefore OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=8$米,$\therefore BB'= OB'-OB=8-6=2$(米). 故选 D.

【分析】
本题是利用勾股定理解决直角三角形边长变化的实际问题，核心是木棒AB的长度始终不变。解题思路为：先在初始的直角三角形AOB中，结合已知的斜边AB和直角边AO，用勾股定理算出OB的长度；再根据A端下滑的距离AA'，求出新直角三角形A'OB'的直角边OA'，最后再次用勾股定理算出OB'，通过OB'与OB的差得到B端滑行的距离BB'。
【解析】
1. 初始直角三角形计算：在$Rt△ AOB$中，已知$AB=10$米，$AO=8$米，根据勾股定理：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$（米）。
2. 下滑后直角边计算：因为$AA'=2$米，所以$OA'=OA - AA'=8 - 2=6$（米）。
3. 新直角三角形计算：木棒长度不变，故$A'B'=AB=10$米，在$Rt△ A'OB'$中，由勾股定理得：
$OB'=\sqrt{A'B'^2 - OA'^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$（米）。
4. 求BB'的长度：$BB'=OB' - OB=8 - 6=2$（米）。
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【点评】本题是勾股定理在实际场景的基础应用，关键在于抓住木棒长度不变的隐含条件，两次运用勾股定理计算边长，步骤清晰，侧重考查学生对勾股定理的基本应用能力。
【难度系数】0.6

10. 如图,在底面周长约为6米的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),刻有雕龙的部分的柱身高约16米,则雕刻在石柱上的巨龙至少为().

A.30米
B.25米
C.20米
D.15米

【点拨】本题考查勾股定理的应用.
【解析】如图,由题意可知,底面周长约为6米,柱身高约16米,$\therefore AF=6$米,$AB=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×16=8$(米),$\therefore BF=\sqrt{AF^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$(米),$\therefore$ 雕刻在石柱上的巨龙至少为$2×10=20$(米). 故选 C.

【分析】要计算盘绕石柱的雕龙长度，需将圆柱侧面展开为平面图形，把曲线路径转化为平面内的线段长度。由于雕龙盘绕2圈，展开后对应2个相同的矩形，每个矩形的长等于圆柱底面周长，高为柱高的一半（B是AC中点，AC为柱高）。利用勾股定理算出每一圈的路径长度，再乘以2即可得到总长度。
【解析】将石柱的侧面展开，因雕龙盘绕2圈，故展开后对应2个矩形。已知底面周长为6米，柱高AC=16米，B为AC中点，因此AB=16÷2=8米。每一圈的路径在展开图中是直角三角形的斜边，直角边分别为底面周长6米和AB=8米，根据勾股定理，每圈路径长度为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$米。盘绕2圈的总长度为$2×10=20$米。
【答案】C
【知识点】勾股定理、圆柱侧面展开图
【点评】本题通过将立体的圆柱侧面展开为平面，把曲线路径转化为直线距离，运用勾股定理解决实际问题，体现了转化的数学思想，是勾股定理应用的典型题型，需掌握圆柱侧面展开的方法。
【难度系数】0.5

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11. 若$\sqrt{m - 3}$有意义,写出一个满足条件的整数:$\underline{\hspace{5em}}$.

【点拨】本题考查二次根式有意义的条件. 要使$\sqrt{a}$有意义,必须满足$a≥0$,由此计算即可.
【解析】$\because \sqrt{m-3}$有意义,$\therefore m-3≥0$,$\therefore m≥3$,可取$m=4$. 故答案为4(答案不唯一).

【分析】要解决这个问题，需先明确二次根式有意义的条件，再据此确定m的取值范围，最后在范围内选取一个整数即可。
【解析】因为$\sqrt{m - 3}$有意义，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，所以$m - 3 ≥ 0$，解不等式得$m ≥ 3$，在$m ≥ 3$的范围内任取一个整数，例如4，即可满足条件。
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式有意义的基础知识点，解题思路直接，属于基础题型，能帮助学生巩固二次根式的核心概念。
【难度系数】0.9

12. 在直角三角形中,两条直角边长分别为2和3,则斜边长为.

【点拨】本题考查勾股定理.
【解析】在直角三角形中,两条直角边长分别为2和3,$\therefore$ 斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$. 故答案为$\sqrt{13}$.

【分析】
本题是直角三角形求斜边长度的问题，核心思路是利用直角三角形的勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。只需将题目给出的两条直角边长度代入勾股定理公式，即可计算出斜边长。
【解析】
在直角三角形中，设两条直角边分别为$a=2$、$b=3$，斜边长为$c$。根据勾股定理$c^2=a^2+b^2$，代入数值计算：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，属于初中数学直角三角形章节的入门题目，直接考查勾股定理的基本公式运用，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9

13. 已知$ a,b $为实数，且$ b = \sqrt{a - 1} + \sqrt{1 - a} - 2 $，则$ (a + b)^{2025} $的值是________.

【点拨】本题考查二次根式有意义的条件.
【解析】$\because b=\sqrt{a-1}+\sqrt{1-a}-2$,$\therefore \begin{cases}a-1≥0,\\1-a≥0,\end{cases}$解得$a=1$,$\therefore b=-2$,$\therefore (a+b)^{2025}=(1-2)^{2025}=-1$. 故答案为$-1$.

【分析】
要解决这个问题，需先利用二次根式有意义的条件确定参数$a$的值，再代入求出$b$，最后计算代数式的值。二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于$a$的不等式组，解出$a$后即可求出$b$，进而计算$(a + b)^{2025}$。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足非负性，可得：
$\begin{cases}a - 1 ≥ 0 \\1 - a ≥ 0\end{cases}$
解不等式组，得$a ≥ 1$且$a ≤ 1$，因此$a = 1$。
将$a = 1$代入$b = \sqrt{a - 1} + \sqrt{1 - a} - 2$，得：
$b = \sqrt{0} + \sqrt{0} - 2 = -2$
则$(a + b)^{2025} = (1 - 2)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用二次根式被开方数非负的性质确定参数$a$的值，再代入计算，只要掌握二次根式的基本性质即可轻松解答，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8

14. 如图，$OA = OB$，$AC ⊥ OB$，$BC = 1$，$AC = 2$，则 $OA =$ 。

【点拨】本题考查勾股定理的应用.
【解析】设$OA=OB=x$,则$OC=x-1$.$\because AC⊥ OB$,$\therefore ∠ ACO=90°$,在$\mathrm{Rt}△ ACO$中,$OA^2=OC^2+AC^2$,即$x^2=(x-1)^2+2^2$,$\therefore x=\dfrac{5}{2}$,$\therefore OA =\dfrac{5}{2}$. 故答案为$\dfrac{5}{2}$.

【分析】首先，由AC⊥OB可知△ACO是直角三角形，结合OA=OB的条件，设OA的长度为未知数x，可表示出直角三角形ACO的两条直角边OC和斜边OA的长度，再利用勾股定理建立方程，解方程即可求出OA的长度。
【解析】设OA = OB = x，则OC = OB - BC = x - 1。因为AC⊥OB，所以∠ACO = 90°，在Rt△ACO中，根据勾股定理得：OA² = OC² + AC²，代入数值和表达式得：x² = (x - 1)² + 2²，展开并化简方程：x² = x² - 2x + 1 + 4，移项后解得2x = 5，即x = 5/2，所以OA = 5/2。
【答案】5/2
【知识点】勾股定理
【点评】本题属于勾股定理的基础应用，通过设未知数结合线段关系构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解，思路清晰，计算简单，是常见的几何计算题。
【难度系数】0.7

15. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 60°,∠BAD ＞ 90°,AC ⊥ BC,若AB = 2√2,AD = 2,则∠ACD的度数是,CD的长为.

【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,含$30°$角的直角三角形的性质,熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.
【解析】如图,过点A作$AE⊥ CD$,交CD于点E.$\because AC⊥ BC$,$\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because ∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ CAB=30°$,$\therefore BC=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{2}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6}$.$\because AE⊥ CD$,$∠ ADC =60°$,$\therefore ∠ DAE=30°$.$\because AD=2$,
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AD=1$,在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{3}$, 在$\mathrm{Rt}△ AEC$中,$EC=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{3}$,$\therefore AE=EC$,$\therefore △ AEC$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ACD=45°$,$CD=CE+DE=\sqrt{3}+1$. 故答案为$45°$,$\sqrt{3}+1$.

【分析】
要解决这道题，需通过构造直角三角形转化问题：首先，利用AC⊥BC和∠ABC=60°，在Rt△ABC中求出AC的长度；接着，过点A作AE⊥CD，将△ADC拆分为两个直角三角形，利用∠ADC=60°和AD=2，求出Rt△ADE的边DE和AE；最后，在Rt△ACE中，结合AC和AE求出CE，进而判断△ACE的形状得到∠ACD，再计算CD的长度。
【解析】
如图，过点A作$AE⊥ CD$，交CD于点E。
$\because AC⊥ BC$，$\therefore ∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=60°$，$\therefore ∠ CAB=30°$，
$\therefore BC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{8 - 2}=\sqrt{6}$。
$\because AE⊥ CD$，$\therefore ∠ AED=∠ AEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADC=60°$，$\therefore ∠ DAE=30°$，
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}×2=1$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：$EC=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{6 - 3}=\sqrt{3}$，
$\therefore AE=EC=\sqrt{3}$，且$∠ AEC=90°$，$\therefore △ AEC$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ ACD=45°$，
$\therefore CD=CE + DE=\sqrt{3} + 1$。
【答案】
$45°$，$\sqrt{3}+1$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定
【点评】
本题通过构造直角三角形将四边形问题转化为直角三角形问题，核心是利用含特殊角的直角三角形的性质和勾股定理求解，需要掌握辅助线的构造方法，考察学生对直角三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5

三、解答题(本大题共9小题,共75分.解答应写出过程)
16. (9分)计算:
(1)$\sqrt{6} × \sqrt{3} - \sqrt{10} ÷ \sqrt{5}$;
(2)$4\sqrt{2} × \frac{1}{2}\sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$;
(3)$\sqrt{18} + (2025 - \sqrt{5})^0 + \sqrt[3]{-27} - |1 - \sqrt{2}|$.

【点拨】本题考查二次根式的运算,熟知二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键.
【解析】(1) $\sqrt{6}×\sqrt{3}-\sqrt{10}÷\sqrt{5}$
$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}$.
(2) $4\sqrt{2}×\dfrac{1}{2}\sqrt{3}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$
$=2\sqrt{6}-(3+2\sqrt{6}+2)$
$=-5$.
(3) $\sqrt{18}+(2025-\sqrt{5})^0+\sqrt[3]{-27}-\vert1-\sqrt{2}\vert$
$=3\sqrt{2}+1+(-3)-(\sqrt{2}-1)$
$=2\sqrt{2}-1$.

【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题思路是：先明确运算顺序，先算乘除、乘方，再算加减；同时运用二次根式的乘除法则、完全平方公式，以及零指数幂、立方根、绝对值的相关性质进行化简，最后合并同类二次根式得出结果。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{6} × \sqrt{3} - \sqrt{10} ÷ \sqrt{5}$：
根据二次根式乘除法则，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，
则$\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{10}÷\sqrt{5}=\sqrt{2}$，
所以原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
(2) 计算$4\sqrt{2} × \frac{1}{2}\sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$：
先算二次根式乘法：$4\sqrt{2}×\frac{1}{2}\sqrt{3}=(4×\frac{1}{2})×\sqrt{2×3}=2\sqrt{6}$；
再根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，计算$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2=3 + 2\sqrt{6} + 2=5 + 2\sqrt{6}$；
所以原式$=2\sqrt{6} - (5 + 2\sqrt{6})=2\sqrt{6} -5 -2\sqrt{6}=-5$。
(3) 计算$\sqrt{18} + (2025 - \sqrt{5})^0 + \sqrt[3]{-27} - |1 - \sqrt{2}|$：
先化简各项：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；任何非零数的0次幂为1，故$(2025 - \sqrt{5})^0=1$；$\sqrt[3]{-27}=-3$；因为$\sqrt{2}≈1.414＞1$，所以$|1 - \sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
代入原式得：$3\sqrt{2} +1 + (-3) - (\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}+1-3-\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}-1$。
【答案】(1)$2\sqrt{2}$；(2)$-5$；(3)$2\sqrt{2}-1$
【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值的化简
【点评】本题是初中数学基础运算题，涵盖二次根式的核心运算法则及相关代数性质，运算顺序明确，步骤清晰，只要掌握基本公式和性质即可正确解答，属于常规得分题型。
【难度系数】0.8