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17. (6分)已知$x=2-\sqrt{3},y=2+\sqrt{3}$,求下列各代数式的值.
(1)$x^2 - y^2$;
(2)$x^2 + 3xy + y^2$.
(1)$x^2 - y^2$;
(2)$x^2 + 3xy + y^2$.
答案
【点拨】本题考查二次根式的化简求值,平方差公式和完全平方公式.
【解析】$\because x=2-\sqrt{3}$,$y=2+\sqrt{3}$,
$\therefore x+y=4$,$x-y=-2\sqrt{3}$,$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$.
(1)$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=4×(-2\sqrt{3})=-8\sqrt{3}$.
(2)$x^2+3xy+y^2=(x+y)^2+xy=4^2+1=17$.
【解析】$\because x=2-\sqrt{3}$,$y=2+\sqrt{3}$,
$\therefore x+y=4$,$x-y=-2\sqrt{3}$,$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$.
(1)$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=4×(-2\sqrt{3})=-8\sqrt{3}$.
(2)$x^2+3xy+y^2=(x+y)^2+xy=4^2+1=17$.
解析
【分析】
本题给出了$x$和$y$的具体值，若直接代入计算会较为繁琐，观察所求代数式的结构，可利用平方差公式和完全平方公式对代数式变形，先计算$x+y$、$x-y$、$xy$的值，再代入变形后的式子计算，以此简化运算过程，提升解题效率与正确率。
【解析】
已知$x=2-\sqrt{3}$，$y=2+\sqrt{3}$，先计算相关代数式的值：
$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$；
$x-y=(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})=-2\sqrt{3}$；
$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$。
(1) 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)=4×(-2\sqrt{3})=-8\sqrt{3}$。
(2) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对式子变形后计算：
$x^2 + 3xy + y^2=(x+y)^2 + xy=4^2 +1=16+1=17$。
【答案】
(1)$-8\sqrt{3}$；(2)$17$
【知识点】
二次根式化简求值、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，核心是运用乘法公式简化代数式，避免直接代入的复杂计算，是代数求值类的典型基础题型，重点考查公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
本题给出了$x$和$y$的具体值，若直接代入计算会较为繁琐，观察所求代数式的结构，可利用平方差公式和完全平方公式对代数式变形，先计算$x+y$、$x-y$、$xy$的值，再代入变形后的式子计算，以此简化运算过程，提升解题效率与正确率。
【解析】
已知$x=2-\sqrt{3}$，$y=2+\sqrt{3}$，先计算相关代数式的值：
$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$；
$x-y=(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})=-2\sqrt{3}$；
$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$。
(1) 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)=4×(-2\sqrt{3})=-8\sqrt{3}$。
(2) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对式子变形后计算：
$x^2 + 3xy + y^2=(x+y)^2 + xy=4^2 +1=16+1=17$。
【答案】
(1)$-8\sqrt{3}$；(2)$17$
【知识点】
二次根式化简求值、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，核心是运用乘法公式简化代数式，避免直接代入的复杂计算，是代数求值类的典型基础题型，重点考查公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
18. (6分)【阅读与思考】我们知道$\sqrt{7}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{7}$的小数部分我们不可能全部写出来，而因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，于是$\sqrt{7}$的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用$\sqrt{7}-2$来表示$\sqrt{7}$的小数部分。
结合以上材料，回答下列问题：
(1)$\sqrt{6}$的整数部分是________；$\sqrt{17}$的小数部分是________；
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{37}$的整数部分为$b$，求$a + b - \sqrt{5}$的值。
结合以上材料，回答下列问题：
(1)$\sqrt{6}$的整数部分是________；$\sqrt{17}$的小数部分是________；
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{37}$的整数部分为$b$，求$a + b - \sqrt{5}$的值。
答案
【点拨】本题考查无理数的估算,熟练掌握无理数的估算是解题的关键.
【解析】(1)$\because 2＜\sqrt{6}＜3$,
$\therefore \sqrt{6}$的整数部分为2.
$\because 4＜\sqrt{17}＜5$,
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分为4,小数部分为$\sqrt{17}-4$.
故答案为$2$,$\sqrt{17}-4$.
(2)$\because 2＜\sqrt{5}＜3$,$6＜\sqrt{37}＜7$,
$\therefore a=\sqrt{5}-2$,$b=6$,
$\therefore a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+6-\sqrt{5}=4$.
【解析】(1)$\because 2＜\sqrt{6}＜3$,
$\therefore \sqrt{6}$的整数部分为2.
$\because 4＜\sqrt{17}＜5$,
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分为4,小数部分为$\sqrt{17}-4$.
故答案为$2$,$\sqrt{17}-4$.
(2)$\because 2＜\sqrt{5}＜3$,$6＜\sqrt{37}＜7$,
$\therefore a=\sqrt{5}-2$,$b=6$,
$\therefore a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+6-\sqrt{5}=4$.
解析
【分析】
本题利用“夹逼法”估算无理数的范围，确定无理数的整数部分与小数部分，再代入计算。核心思路是找到相邻的完全平方数，确定无理数介于两平方根之间，从而得到整数部分，小数部分为无理数减去整数部分，最后按要求代入运算。
【解析】
(1) 估算$\sqrt{6}$的范围：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$，因此$\sqrt{6}$的整数部分是$2$。
估算$\sqrt{17}$的范围：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$，因此$\sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分为$\sqrt{17}-4$。
(2) 先确定$a$和$b$的值：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，则$\sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$；
$\because 6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$，
$\therefore 6＜\sqrt{37}＜7$，则$\sqrt{37}$的整数部分$b=6$。
代入计算$a+b-\sqrt{5}$：
$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}=4$。
【答案】
(1) $2$；$\sqrt{17}-4$；(2) $4$
【知识点】
无理数的估算，整数部分与小数部分的确定
【点评】
本题为基础题型，考查夹逼法估算无理数的大小，进而确定整数、小数部分，计算过程简单，只要掌握估算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.7
本题利用“夹逼法”估算无理数的范围，确定无理数的整数部分与小数部分，再代入计算。核心思路是找到相邻的完全平方数，确定无理数介于两平方根之间，从而得到整数部分，小数部分为无理数减去整数部分，最后按要求代入运算。
【解析】
(1) 估算$\sqrt{6}$的范围：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$，因此$\sqrt{6}$的整数部分是$2$。
估算$\sqrt{17}$的范围：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$，因此$\sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分为$\sqrt{17}-4$。
(2) 先确定$a$和$b$的值：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，则$\sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$；
$\because 6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$，
$\therefore 6＜\sqrt{37}＜7$，则$\sqrt{37}$的整数部分$b=6$。
代入计算$a+b-\sqrt{5}$：
$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}=4$。
【答案】
(1) $2$；$\sqrt{17}-4$；(2) $4$
【知识点】
无理数的估算，整数部分与小数部分的确定
【点评】
本题为基础题型，考查夹逼法估算无理数的大小，进而确定整数、小数部分，计算过程简单，只要掌握估算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.7
