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19. (6分)某市2024年口袋公园建设成效显著,推动完善“推窗见绿,出门进园”的绿化空间,提升了市民绿化感受度和获得感,在打造口袋公园的过程中,筛选出一块形状为长方形的空闲地块ABCD,如图,长AB为$8\sqrt{2}$米,宽BC为$5\sqrt{2}$米,现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地(图中阴影部分),每块长方形绿地的长为$(\sqrt{13}+1)$米,宽为$(\sqrt{13}-1)$米.
(1)求长方形空闲地块ABCD的周长;
(2)除去修建绿地的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元?
(1)求长方形空闲地块ABCD的周长;
(2)除去修建绿地的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元?
答案
【点拨】本题考查二次根式的混合运算.
【解析】(1)长方形空闲地块ABCD的周长为$2×(8\sqrt{2}+5\sqrt{2})=26\sqrt{2}$(米).
答:长方形空闲地块ABCD的周长为$26\sqrt{2}$米.
(2)通道的面积为$8\sqrt{2}×5\sqrt{2}-2×(\sqrt{13}+1)×(\sqrt{13}-1)=80 -24=56$(平方米),
购买地砖的费用为$56×50=2\ 800$(元).
答:购买地砖需花费2 800元.
【解析】(1)长方形空闲地块ABCD的周长为$2×(8\sqrt{2}+5\sqrt{2})=26\sqrt{2}$(米).
答:长方形空闲地块ABCD的周长为$26\sqrt{2}$米.
(2)通道的面积为$8\sqrt{2}×5\sqrt{2}-2×(\sqrt{13}+1)×(\sqrt{13}-1)=80 -24=56$(平方米),
购买地砖的费用为$56×50=2\ 800$(元).
答:购买地砖需花费2 800元.
解析
【分析】
要解决这道题，需掌握长方形的周长、面积公式及二次根式的运算规则：第(1)问直接用长方形周长公式，代入长和宽计算，注意合并同类二次根式；第(2)问通道面积等于地块总面积减去两块绿地的总面积，计算绿地面积时可利用平方差公式简化运算，最后用通道面积乘以地砖单价得到总花费。
【解析】
(1) 长方形周长公式为 $ C = 2×(长 + 宽) $，代入 $ AB = 8\sqrt{2} $ 米，$ BC = 5\sqrt{2} $ 米：
$ C = 2×(8\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) = 2×13\sqrt{2} = 26\sqrt{2} $（米）。
(2) 先计算长方形地块总面积：$ 8\sqrt{2}×5\sqrt{2} = 40×2 = 80 $（平方米）；
再计算两块绿地的总面积，利用平方差公式 $ (a+b)(a-b)=a²-b² $：
每块绿地面积为 $ (\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1) = (\sqrt{13})² - 1² = 13 - 1 = 12 $（平方米），
两块绿地总面积为 $ 2×12 = 24 $（平方米）；
通道面积 = 总面积 - 绿地总面积 = $ 80 - 24 = 56 $（平方米）；
购买地砖总花费 = $ 56×50 = 2800 $（元）。
【答案】
(1) $ 26\sqrt{2} $ 米；(2) 2800元
【知识点】
二次根式的混合运算、长方形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次根式在实际生活中的应用，难度适中，主要考查长方形周长和面积公式的运用，以及二次根式的运算，合理运用平方差公式可简化计算过程，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需掌握长方形的周长、面积公式及二次根式的运算规则：第(1)问直接用长方形周长公式，代入长和宽计算，注意合并同类二次根式；第(2)问通道面积等于地块总面积减去两块绿地的总面积，计算绿地面积时可利用平方差公式简化运算，最后用通道面积乘以地砖单价得到总花费。
【解析】
(1) 长方形周长公式为 $ C = 2×(长 + 宽) $，代入 $ AB = 8\sqrt{2} $ 米，$ BC = 5\sqrt{2} $ 米：
$ C = 2×(8\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) = 2×13\sqrt{2} = 26\sqrt{2} $（米）。
(2) 先计算长方形地块总面积：$ 8\sqrt{2}×5\sqrt{2} = 40×2 = 80 $（平方米）；
再计算两块绿地的总面积，利用平方差公式 $ (a+b)(a-b)=a²-b² $：
每块绿地面积为 $ (\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1) = (\sqrt{13})² - 1² = 13 - 1 = 12 $（平方米），
两块绿地总面积为 $ 2×12 = 24 $（平方米）；
通道面积 = 总面积 - 绿地总面积 = $ 80 - 24 = 56 $（平方米）；
购买地砖总花费 = $ 56×50 = 2800 $（元）。
【答案】
(1) $ 26\sqrt{2} $ 米；(2) 2800元
【知识点】
二次根式的混合运算、长方形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次根式在实际生活中的应用，难度适中，主要考查长方形周长和面积公式的运用，以及二次根式的运算，合理运用平方差公式可简化计算过程，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.6
20. (8分)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,BC=13,CD=12.
(1)求BD的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)求BD的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
答案
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理,三角形的面积公式,解决本题的关键是判断出$△ BCD$是直角三角形.
【解析】(1)在$△ ABD$中,$∠ A=90°$,$AB=3$,$AD=4$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5$.
(2)在$△ BCD$中,$BC=13$,$CD=12$,$BD=5$,
$\therefore CD^2+BD^2=12^2+5^2=13^2=BC^2$,
$\therefore △ BCD$为直角三角形,且$∠ BDC=90°$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}AB· AD+\dfrac{1}{2}CD· BD=\dfrac{1}{2}×3×4 +\dfrac{1}{2}×12×5=36$.
【解析】(1)在$△ ABD$中,$∠ A=90°$,$AB=3$,$AD=4$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5$.
(2)在$△ BCD$中,$BC=13$,$CD=12$,$BD=5$,
$\therefore CD^2+BD^2=12^2+5^2=13^2=BC^2$,
$\therefore △ BCD$为直角三角形,且$∠ BDC=90°$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}AB· AD+\dfrac{1}{2}CD· BD=\dfrac{1}{2}×3×4 +\dfrac{1}{2}×12×5=36$.
解析
【分析】
本题分两步求解：第一步，在直角三角形ABD中，已知两条直角边，利用勾股定理可直接求出BD的长度；第二步，先通过勾股定理的逆定理判断三角形BCD为直角三角形，再分别计算两个直角三角形ABD和BCD的面积，两者相加即为四边形ABCD的面积。
【解析】
(1) 在$△ ABD$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AD=4$，根据勾股定理：
直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，因此：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
(2) 在$△ BCD$中，已知$BD=5$，$CD=12$，$BC=13$，计算三边的平方：
$CD^2+BD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$BC^2=13^2=169$，
因此$CD^2+BD^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
四边形ABCD的面积等于$△ ABD$与$△ BCD$的面积之和，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×3×4=6$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× BD=\frac{1}{2}×12×5=30$，
所以$S_{四边形ABCD}=6+30=36$。
【答案】
(1) $BD$的长为$5$；(2) 四边形$ABCD$的面积为$36$。
【知识点】
勾股定理、勾股逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，核心是利用勾股逆定理判断$△ BCD$为直角三角形，进而计算四边形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理和逆定理的使用，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
本题分两步求解：第一步，在直角三角形ABD中，已知两条直角边，利用勾股定理可直接求出BD的长度；第二步，先通过勾股定理的逆定理判断三角形BCD为直角三角形，再分别计算两个直角三角形ABD和BCD的面积，两者相加即为四边形ABCD的面积。
【解析】
(1) 在$△ ABD$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AD=4$，根据勾股定理：
直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，因此：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
(2) 在$△ BCD$中，已知$BD=5$，$CD=12$，$BC=13$，计算三边的平方：
$CD^2+BD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$BC^2=13^2=169$，
因此$CD^2+BD^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
四边形ABCD的面积等于$△ ABD$与$△ BCD$的面积之和，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×3×4=6$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× BD=\frac{1}{2}×12×5=30$，
所以$S_{四边形ABCD}=6+30=36$。
【答案】
(1) $BD$的长为$5$；(2) 四边形$ABCD$的面积为$36$。
【知识点】
勾股定理、勾股逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，核心是利用勾股逆定理判断$△ BCD$为直角三角形，进而计算四边形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理和逆定理的使用，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
