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21.（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”. 又到了放风筝的最佳时节，某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的垂直高度$ CE $，他们进行了如下操作：①测得水平距离$ BD $的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$ BC $的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
(1)求风筝的垂直高度$ CE $；
(2)如果小明想使风筝沿$ CD $方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
(1)求风筝的垂直高度$ CE $；
(2)如果小明想使风筝沿$ CD $方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
答案
【点拨】本题考查勾股定理的应用,熟知勾股定理,能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键.
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ CDB$中,由勾股定理,得$CD =\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$(米),$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6$(米).
答:风筝的垂直高度$CE$为21.6米.
(2)如图,由题意得$CM=12$米,
$\therefore DM=20-12=8$(米),
$\therefore BM=\sqrt{BD^2+DM^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$(米),
$\therefore BC-BM=25-17=8$(米).
答:小明应该往回收线8米.
解析
【分析】
要解决这道题，需将实际问题转化为直角三角形的边长计算：第(1)问中，风筝线、水平距离、垂直高度构成直角三角形，用勾股定理算出垂直部分长度后，加上小明的身高得到风筝总垂直高度；第(2)问中，风筝下降后形成新的直角三角形，再次用勾股定理算出新的风筝线长度，与原风筝线长度的差即为回收的线长。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，根据勾股定理：
$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = 20$（米）
已知小明身高$DE = 1.6$米，因此风筝的垂直高度$CE = CD + DE = 20 + 1.6 = 21.6$（米）。
(2) 由题意，风筝沿$CD$方向下降12米，即$CM = 12$米，所以$DM = CD - CM = 20 - 12 = 8$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，根据勾股定理：
$BM = \sqrt{BD^2 + DM^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$（米）
原来的风筝线长为25米，因此回收的线长为$BC - BM = 25 - 17 = 8$（米）。
【答案】
(1) 风筝的垂直高度$CE$为21.6米；(2) 他应该往回收线8米。
【知识点】
勾股定理应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算，步骤清晰，难度适中，需要准确识别直角三角形并正确运用勾股定理。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需将实际问题转化为直角三角形的边长计算：第(1)问中，风筝线、水平距离、垂直高度构成直角三角形，用勾股定理算出垂直部分长度后，加上小明的身高得到风筝总垂直高度；第(2)问中，风筝下降后形成新的直角三角形，再次用勾股定理算出新的风筝线长度，与原风筝线长度的差即为回收的线长。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，根据勾股定理：
$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = 20$（米）
已知小明身高$DE = 1.6$米，因此风筝的垂直高度$CE = CD + DE = 20 + 1.6 = 21.6$（米）。
(2) 由题意，风筝沿$CD$方向下降12米，即$CM = 12$米，所以$DM = CD - CM = 20 - 12 = 8$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，根据勾股定理：
$BM = \sqrt{BD^2 + DM^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$（米）
原来的风筝线长为25米，因此回收的线长为$BC - BM = 25 - 17 = 8$（米）。
【答案】
(1) 风筝的垂直高度$CE$为21.6米；(2) 他应该往回收线8米。
【知识点】
勾股定理应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算，步骤清晰，难度适中，需要准确识别直角三角形并正确运用勾股定理。
【难度系数】
0.6
答案
当前提供的图像为全空白内容，无任何可识别的有效数学题目信息，无法完成对应解题，请补充上传清晰完整的题目内容后再进行求解。
解析
【分析】
当前提供的图像为全空白内容，无任何可识别的有效题目信息，无法明确具体题目要求，无法开展解题工作，需补充清晰完整的题目内容后再进行求解。
【解析】
因无有效题目信息，无法进行解题步骤的推导与解答，无法得出对应结果。
【答案】
当前提供的图像为全空白内容，无任何可识别的有效数学题目信息，无法完成对应解题，请补充上传清晰完整的题目内容后再进行求解。
【知识点】
无
【点评】
题目内容缺失，无法完成解答，需补充完整的题目信息。
【难度系数】
0.0
当前提供的图像为全空白内容，无任何可识别的有效题目信息，无法明确具体题目要求，无法开展解题工作，需补充清晰完整的题目内容后再进行求解。
【解析】
因无有效题目信息，无法进行解题步骤的推导与解答，无法得出对应结果。
【答案】
当前提供的图像为全空白内容，无任何可识别的有效数学题目信息，无法完成对应解题，请补充上传清晰完整的题目内容后再进行求解。
【知识点】
无
【点评】
题目内容缺失，无法完成解答，需补充完整的题目信息。
【难度系数】
0.0
22. (8分)如图1是著名的赵爽弦图,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c,由此推导出直角三角形的三边关系:如果直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,则$a^2 + b^2 = c^2$.
(1)请你利用图2推导上面的关系式;
(2)如图3,在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中$AB = AC$,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,且$CH ⊥ AB$.测得$CH = 6$千米,$HB = 4$千米,求原路CA长多少千米.(利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答)
(1)请你利用图2推导上面的关系式;
(2)如图3,在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中$AB = AC$,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,且$CH ⊥ AB$.测得$CH = 6$千米,$HB = 4$千米,求原路CA长多少千米.(利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答)
答案
【点拨】本题考查勾股定理的应用.
【解析】(1)$\because AD⊥ AB$,$BC⊥ AB$,$DE⊥ CE$,
$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)$或$\dfrac{1}{2}c^2+ab$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}c^2+ab$,
$\therefore ab+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2=\dfrac{1}{2}c^2+ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)设$CA=x$千米,则$AH=(x-4)$千米,
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,$CA^2=CH^2+AH^2$,即$x^2=6^2+(x-4)^2$,
解得$x=6.5$,$\therefore CA=6.5$千米.
答:原路$CA$长6.5千米.
【解析】(1)$\because AD⊥ AB$,$BC⊥ AB$,$DE⊥ CE$,
$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)$或$\dfrac{1}{2}c^2+ab$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}c^2+ab$,
$\therefore ab+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2=\dfrac{1}{2}c^2+ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)设$CA=x$千米,则$AH=(x-4)$千米,
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,$CA^2=CH^2+AH^2$,即$x^2=6^2+(x-4)^2$,
解得$x=6.5$,$\therefore CA=6.5$千米.
答:原路$CA$长6.5千米.
解析
【分析】
(1) 推导直角三角形三边关系时，利用图2梯形面积的两种计算方式建立等式：一种是直接用梯形面积公式计算，另一种是将梯形拆分为三个直角三角形求和，通过等式化简得到勾股定理。
(2) 求CA长度时，因AB=AC，设CA为x千米，可表示出AH的长度；由CH⊥AB得△ACH为直角三角形，根据勾股定理列方程，解方程即可求出CA的长度。
【解析】
(1) 由图2可知，四边形ABCD为梯形，直角三角形直角边长为a、b，斜边长为c。
梯形面积计算：
方法一：梯形面积 = $\frac{1}{2}(上底+下底)×高 = \frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
方法二：梯形面积 = 三个直角三角形面积和 = $\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$；
联立等式：$\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$，
展开左边：$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$，
两边乘2化简：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，
得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 设CA = x千米，因AB=AC，故AB=x千米，
则AH = AB - HB = (x - 4)千米，
因CH⊥AB，△ACH为直角三角形，由勾股定理：
$CA^2 = CH^2 + AH^2$，
代入CH=6千米：$x^2 = 6^2 + (x - 4)^2$，
展开右边：$x^2 = 36 + x^2 - 8x + 16$，
消去$x^2$整理：$8x = 52$，
解得：$x = 6.5$。
【答案】
(1) 直角三角形三边关系为$a^2 + b^2 = c^2$；
(2) 原路CA长6.5千米。
【知识点】
勾股定理、梯形面积公式、一元一次方程
【点评】
本题通过面积法推导勾股定理，体现数形结合思想，第二问将勾股定理应用于实际问题，考查学生对勾股定理的理解与运算能力，是勾股定理相关的基础题型。
【难度系数】
0.6
(1) 推导直角三角形三边关系时，利用图2梯形面积的两种计算方式建立等式：一种是直接用梯形面积公式计算，另一种是将梯形拆分为三个直角三角形求和，通过等式化简得到勾股定理。
(2) 求CA长度时，因AB=AC，设CA为x千米，可表示出AH的长度；由CH⊥AB得△ACH为直角三角形，根据勾股定理列方程，解方程即可求出CA的长度。
【解析】
(1) 由图2可知，四边形ABCD为梯形，直角三角形直角边长为a、b，斜边长为c。
梯形面积计算：
方法一：梯形面积 = $\frac{1}{2}(上底+下底)×高 = \frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
方法二：梯形面积 = 三个直角三角形面积和 = $\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$；
联立等式：$\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$，
展开左边：$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$，
两边乘2化简：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，
得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 设CA = x千米，因AB=AC，故AB=x千米，
则AH = AB - HB = (x - 4)千米，
因CH⊥AB，△ACH为直角三角形，由勾股定理：
$CA^2 = CH^2 + AH^2$，
代入CH=6千米：$x^2 = 6^2 + (x - 4)^2$，
展开右边：$x^2 = 36 + x^2 - 8x + 16$，
消去$x^2$整理：$8x = 52$，
解得：$x = 6.5$。
【答案】
(1) 直角三角形三边关系为$a^2 + b^2 = c^2$；
(2) 原路CA长6.5千米。
【知识点】
勾股定理、梯形面积公式、一元一次方程
【点评】
本题通过面积法推导勾股定理，体现数形结合思想，第二问将勾股定理应用于实际问题，考查学生对勾股定理的理解与运算能力，是勾股定理相关的基础题型。
【难度系数】
0.6
