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1. 下列各根式中,不能与$\sqrt{2}$合并的是(
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{12}$
D.$3\sqrt{2}$
C
).A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{12}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
【点拨】本题考查同类二次根式的概念,根据同类二次根式的概念作出判断.
【解析】A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,与$\sqrt{2}$能合并;B.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,与$\sqrt{2}$能合并;C.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,与$\sqrt{2}$不能合并;D.$3\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$能合并. 故选 C.
【解析】A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,与$\sqrt{2}$能合并;B.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,与$\sqrt{2}$能合并;C.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,与$\sqrt{2}$不能合并;D.$3\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$能合并. 故选 C.
解析
【分析】要判断哪个根式不能与$\sqrt{2}$合并，需先将各选项中的根式化为最简二次根式，再依据“被开方数相同的最简二次根式（同类二次根式）才能合并”的规则，对比各根式的被开方数是否与$\sqrt{2}$的被开方数（2）一致，即可得出答案。
【解析】
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，最简二次根式的被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，能合并；
B选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简二次根式的被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，能合并；
C选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，最简二次根式的被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不能合并；
D选项：$3\sqrt{2}$已是最简二次根式，被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，能合并。
综上，不能与$\sqrt{2}$合并的是C选项。
【答案】C
【知识点】同类二次根式、最简二次根式
【点评】本题考查同类二次根式的基础判断，核心是掌握最简二次根式的化简方法及同类二次根式的定义，属于初中数学根式部分的基础题，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8
【解析】
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，最简二次根式的被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，能合并；
B选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简二次根式的被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，能合并；
C选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，最简二次根式的被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不能合并；
D选项：$3\sqrt{2}$已是最简二次根式，被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，能合并。
综上，不能与$\sqrt{2}$合并的是C选项。
【答案】C
【知识点】同类二次根式、最简二次根式
【点评】本题考查同类二次根式的基础判断，核心是掌握最简二次根式的化简方法及同类二次根式的定义，属于初中数学根式部分的基础题，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8
2. 下列运算正确的是(
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{(-2)^2} = -2$
D.$3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$
B
).A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{(-2)^2} = -2$
D.$3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$
答案
【点拨】本题考查二次根式的运算,熟练掌握二次根式的运算方法是关键.
【解析】A.$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并,故此选项错误;B.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2}=\sqrt{3}$,故此选项正确;C.$\sqrt{(-2)^2}=2$,故此选项错误;D.$3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,故此选项错误. 故选 B.
【解析】A.$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并,故此选项错误;B.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2}=\sqrt{3}$,故此选项正确;C.$\sqrt{(-2)^2}=2$,故此选项错误;D.$3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,故此选项错误. 故选 B.
解析
【分析】本题是判断二次根式运算是否正确的题目，需掌握二次根式的核心运算规则：①只有同类二次根式才能合并；②二次根式除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）；③二次根式性质：$\sqrt{a^2}=|a|$；④同类二次根式相加减时，仅系数相加减，根式部分不变。我们逐一分析每个选项，判断对错即可。
【解析】
A选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，因此A选项错误；
B选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$，计算正确，因此B选项正确；
C选项：根据二次根式性质，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=|-2|=2$，结果应为2而非-2，因此C选项错误；
D选项：$3\sqrt{3}$与$\sqrt{3}$是同类二次根式，相减时系数相减，即$3\sqrt{3}-\sqrt{3}=(3-1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，结果不是3，因此D选项错误；
综上，运算正确的是B选项。
【答案】B
【知识点】二次根式的运算、二次根式的性质
【点评】本题考查二次根式的基础运算，属于常规题型，只要牢记相关规则即可正确解答，需特别注意$\sqrt{a^2}$的化简结果为绝对值，而非原数本身，避免概念混淆出错。
【难度系数】0.7
【解析】
A选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，因此A选项错误；
B选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$，计算正确，因此B选项正确；
C选项：根据二次根式性质，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=|-2|=2$，结果应为2而非-2，因此C选项错误；
D选项：$3\sqrt{3}$与$\sqrt{3}$是同类二次根式，相减时系数相减，即$3\sqrt{3}-\sqrt{3}=(3-1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，结果不是3，因此D选项错误；
综上，运算正确的是B选项。
【答案】B
【知识点】二次根式的运算、二次根式的性质
【点评】本题考查二次根式的基础运算，属于常规题型，只要牢记相关规则即可正确解答，需特别注意$\sqrt{a^2}$的化简结果为绝对值，而非原数本身，避免概念混淆出错。
【难度系数】0.7
3. 实数 $a,b$ 在数轴上对应点的位置如图所示,则化简 $|a| - \sqrt{(b - a)^2}$ 的结果是(
A.$b$
B.$-2a + b$
C.$-b$
D.$2a - b$
A
).A.$b$
B.$-2a + b$
C.$-b$
D.$2a - b$
答案
【点拨】本题考查实数与数轴,绝对值、二次根式的性质与化简,正确得出算式中各项的符号是解题的关键.
【解析】由数轴可得:$a＞0＞b$,$\therefore |a|-\sqrt{(b-a)^2}=a-[- (b-a)]=a +b -a =b$. 故选 A.
【解析】由数轴可得:$a＞0＞b$,$\therefore |a|-\sqrt{(b-a)^2}=a-[- (b-a)]=a +b -a =b$. 故选 A.
解析
【分析】要化简式子$|a| - \sqrt{(b - a)^2}$，首先根据数轴确定$a$、$b$的符号及大小关系：由数轴可知，$a$在原点右侧，故$a＞0$；$b$在原点左侧，故$b＜0$，且$b$到原点的距离比$a$到原点的距离大，因此$b ＜ a$，即$b - a ＜ 0$。接着利用绝对值和二次根式的性质分别化简$|a|$和$\sqrt{(b - a)^2}$，最后计算结果。
【解析】由数轴可得：$a＞0$，$b＜0$，且$b ＜ a$，所以$b - a ＜ 0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，因此$|a|=a$；
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，所以$\sqrt{(b - a)^2}=|b - a|$，又因为$b - a ＜ 0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|b - a|=-(b - a)=a - b$。
将上述结果代入原式：
$|a| - \sqrt{(b - a)^2} = a - (a - b) = a - a + b = b$。
【答案】A
【知识点】实数与数轴、绝对值化简、二次根式的性质
【点评】本题结合数轴考查绝对值与二次根式的化简，核心是根据数轴判断代数式的符号，再运用相关性质化简，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】由数轴可得：$a＞0$，$b＜0$，且$b ＜ a$，所以$b - a ＜ 0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，因此$|a|=a$；
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，所以$\sqrt{(b - a)^2}=|b - a|$，又因为$b - a ＜ 0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|b - a|=-(b - a)=a - b$。
将上述结果代入原式：
$|a| - \sqrt{(b - a)^2} = a - (a - b) = a - a + b = b$。
【答案】A
【知识点】实数与数轴、绝对值化简、二次根式的性质
【点评】本题结合数轴考查绝对值与二次根式的化简，核心是根据数轴判断代数式的符号，再运用相关性质化简，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
4. 已知$ a = \sqrt{3} + \sqrt{2}, b = \sqrt{3} - \sqrt{2} $，那么$ a $与$ b $的关系为(
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.$ a $是$ b $的平方根
B
).A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.$ a $是$ b $的平方根
答案
【点拨】本题考查二次根式的运算,相反数、倒数、平方根的定义.
【解析】$\because a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,$\therefore ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 -(\sqrt{2})^2=3-2=1$,$\therefore a,b$互为倒数. 故选 B.
【解析】$\because a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,$\therefore ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 -(\sqrt{2})^2=3-2=1$,$\therefore a,b$互为倒数. 故选 B.
解析
【分析】要判断a与b的关系，需先明确相反数（和为0）、倒数（乘积为1）、相等（数值相同）、平方根（若$x^2=a$则x是a的平方根）的定义，再通过计算a与b的乘积验证，利用平方差公式计算乘积更简便，据此判断选项。
【解析】已知$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，计算$ab$：
$ab = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，因此a与b互为倒数，故选B。
【答案】B
【知识点】二次根式运算、倒数的定义
【点评】本题考查二次根式的运算及倒数的定义，利用平方差公式计算乘积是解题核心，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】已知$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，计算$ab$：
$ab = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，因此a与b互为倒数，故选B。
【答案】B
【知识点】二次根式运算、倒数的定义
【点评】本题考查二次根式的运算及倒数的定义，利用平方差公式计算乘积是解题核心，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
5. 一个等腰三角形的两条边长分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{6}$，这个等腰三角形的周长为(
A.$\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{6}+\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$或$2\sqrt{6}+\sqrt{2}$
D
).A.$\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{6}+\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$或$2\sqrt{6}+\sqrt{2}$
答案
【点拨】本题考查等腰三角形的性质,三角形三边关系,二次根式的加减,熟练掌握三角形三边关系并能分类讨论是关键.
【解析】当腰长为$\sqrt{2}$时,$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＞\sqrt{6}$,能构成三角形,此时周长为$\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{6}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$;当腰长为$\sqrt{6}$时,$\sqrt{6}+\sqrt{2}＞\sqrt{6}$,能构成三角形,此时周长为$\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{2}=2\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 综上,这个等腰三角形的周长为$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$或$2\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 故选 D.
【解析】当腰长为$\sqrt{2}$时,$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＞\sqrt{6}$,能构成三角形,此时周长为$\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{6}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$;当腰长为$\sqrt{6}$时,$\sqrt{6}+\sqrt{2}＞\sqrt{6}$,能构成三角形,此时周长为$\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{2}=2\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 综上,这个等腰三角形的周长为$2\sqrt{2}+\sqrt{6}$或$2\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 故选 D.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用等腰三角形“两腰相等”的性质，结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）进行分类讨论：首先明确等腰三角形的腰长和底边长不确定，因此分两种情况：①腰长为$\sqrt{2}$，底边长为$\sqrt{6}$；②腰长为$\sqrt{6}$，底边长为$\sqrt{2}$。对每种情况先验证是否能构成三角形，再计算对应周长，最后确定答案。
【解析】
解：等腰三角形的腰长和底边长不确定，需分情况讨论：
1. 当腰长为$\sqrt{2}$，底边长为$\sqrt{6}$时：
两腰之和为$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，比较$2\sqrt{2}$与$\sqrt{6}$的大小：$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$，$\sqrt{8} ＞ \sqrt{6}$，满足三角形三边关系，能构成三角形。
此时周长为：$\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{6} = 2\sqrt{2} + \sqrt{6}$。
2. 当腰长为$\sqrt{6}$，底边长为$\sqrt{2}$时：
两腰之和为$\sqrt{6} + \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$，显然$2\sqrt{6} ＞ \sqrt{2}$，且$\sqrt{6} + \sqrt{2} ＞ \sqrt{6}$，满足三角形三边关系，能构成三角形。
此时周长为：$\sqrt{6} + \sqrt{6} + \sqrt{2} = 2\sqrt{6} + \sqrt{2}$。
综上，这个等腰三角形的周长为$2\sqrt{2} + \sqrt{6}$或$2\sqrt{6} + \sqrt{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，二次根式加减
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质与三角形三边关系，核心是分类讨论思想的应用，需注意两种情况均要验证三边是否满足“两边之和大于第三边”，避免因忽略验证而错解，是基础题型但易因细节失误丢分。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用等腰三角形“两腰相等”的性质，结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）进行分类讨论：首先明确等腰三角形的腰长和底边长不确定，因此分两种情况：①腰长为$\sqrt{2}$，底边长为$\sqrt{6}$；②腰长为$\sqrt{6}$，底边长为$\sqrt{2}$。对每种情况先验证是否能构成三角形，再计算对应周长，最后确定答案。
【解析】
解：等腰三角形的腰长和底边长不确定，需分情况讨论：
1. 当腰长为$\sqrt{2}$，底边长为$\sqrt{6}$时：
两腰之和为$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，比较$2\sqrt{2}$与$\sqrt{6}$的大小：$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$，$\sqrt{8} ＞ \sqrt{6}$，满足三角形三边关系，能构成三角形。
此时周长为：$\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{6} = 2\sqrt{2} + \sqrt{6}$。
2. 当腰长为$\sqrt{6}$，底边长为$\sqrt{2}$时：
两腰之和为$\sqrt{6} + \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$，显然$2\sqrt{6} ＞ \sqrt{2}$，且$\sqrt{6} + \sqrt{2} ＞ \sqrt{6}$，满足三角形三边关系，能构成三角形。
此时周长为：$\sqrt{6} + \sqrt{6} + \sqrt{2} = 2\sqrt{6} + \sqrt{2}$。
综上，这个等腰三角形的周长为$2\sqrt{2} + \sqrt{6}$或$2\sqrt{6} + \sqrt{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，二次根式加减
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质与三角形三边关系，核心是分类讨论思想的应用，需注意两种情况均要验证三边是否满足“两边之和大于第三边”，避免因忽略验证而错解，是基础题型但易因细节失误丢分。
【难度系数】
0.5
6. △ABC的三边分别为a,b,c,其对角分别为∠A,∠B,∠C.下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(
A.∠B = ∠A - ∠C
B.a:b:c = 5:12:13
C.$b^2 - a^2 = c^2$
D.∠A:∠B:∠C = 3:4:5
D
).A.∠B = ∠A - ∠C
B.a:b:c = 5:12:13
C.$b^2 - a^2 = c^2$
D.∠A:∠B:∠C = 3:4:5
答案
【点拨】本题考查直角三角形的判定,包括角度关系和边长关系的应用、勾股定理逆定理的应用.
【解析】A.由$∠ B=∠ A-∠ C$,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$可得$∠ A=90°$,故$△ ABC$是直角三角形;B.由$5^2+12^2=13^2$可得$△ ABC$是直角三角形;C.由$b^2-a^2=c^2$可得$b^2=a^2+c^2$,故$△ ABC$是直角三角形;D.由$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$可得$∠ A=45°$,$∠ B=60°$,$∠ C=75°$,故$△ ABC$不是直角三角形. 故选 D.
【解析】A.由$∠ B=∠ A-∠ C$,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$可得$∠ A=90°$,故$△ ABC$是直角三角形;B.由$5^2+12^2=13^2$可得$△ ABC$是直角三角形;C.由$b^2-a^2=c^2$可得$b^2=a^2+c^2$,故$△ ABC$是直角三角形;D.由$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$可得$∠ A=45°$,$∠ B=60°$,$∠ C=75°$,故$△ ABC$不是直角三角形. 故选 D.
解析
【分析】判定三角形是否为直角三角形，可从角度关系或边长关系两方面入手：①角度方面，利用三角形内角和为180°，计算是否存在90°的内角；②边长方面，利用勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。接下来对每个选项逐一分析，找出不符合直角三角形判定条件的选项。
【解析】A. 由∠B=∠A-∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠B替换为∠A-∠C，得∠A + (∠A-∠C) + ∠C =180°，化简得2∠A=180°，即∠A=90°，故△ABC是直角三角形；B. 设三边为5k、12k、13k（k＞0），计算得(5k)² + (12k)²=25k²+144k²=169k²=(13k)²，满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形；C. 由b² -a² =c²，移项得b²=a² +c²，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形；D. 设三个角分别为3x、4x、5x，根据内角和得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，则三个角为45°、60°、75°，无90°角，故△ABC不是直角三角形。综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】直角三角形的判定、勾股定理逆定理、三角形内角和定理
【点评】本题考查直角三角形的核心判定方法，需熟练运用内角和计算角度、勾股定理逆定理判断边长关系，解题时要注意区分角的比例与边的比例的不同处理逻辑，避免混淆。
【难度系数】0.6
【解析】A. 由∠B=∠A-∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠B替换为∠A-∠C，得∠A + (∠A-∠C) + ∠C =180°，化简得2∠A=180°，即∠A=90°，故△ABC是直角三角形；B. 设三边为5k、12k、13k（k＞0），计算得(5k)² + (12k)²=25k²+144k²=169k²=(13k)²，满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形；C. 由b² -a² =c²，移项得b²=a² +c²，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形；D. 设三个角分别为3x、4x、5x，根据内角和得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，则三个角为45°、60°、75°，无90°角，故△ABC不是直角三角形。综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】直角三角形的判定、勾股定理逆定理、三角形内角和定理
【点评】本题考查直角三角形的核心判定方法，需熟练运用内角和计算角度、勾股定理逆定理判断边长关系，解题时要注意区分角的比例与边的比例的不同处理逻辑，避免混淆。
【难度系数】0.6
7. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,4,1,3,则最大的正方形E的面积是(
A.25
B.35
C.40
D.11
B
).A.25
B.35
C.40
D.11
答案
【点拨】本题考查勾股定理,解题的关键是掌握直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
【解析】
如图.$\because$ 正方形A,B,C,D的边长分别是3,4,1,3,$\therefore$ 正方形F的面积$=3^2+4^2=25$,正方形G的面积$=1^2+3^2=10$,$\therefore$ 正方形E的面积$=$正方形F的面积$+$正方形G的面积$=25 +10=35$. 故选 B.解析
【分析】
本题是勾股定理的典型应用，勾股树中，每个直角三角形对应的两条直角边的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。解题时，先利用正方形面积等于边长平方的性质，求出中间正方形F、G的面积，再根据“最大正方形E的面积等于F和G的面积之和”计算结果。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，结合正方形面积公式（面积=边长²）：
1. 计算正方形F的面积：$ S_F = S_A + S_B = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $；
2. 计算正方形G的面积：$ S_G = S_C + S_D = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 $；
3. 计算最大正方形E的面积：$ S_E = S_F + S_G = 25 + 10 = 35 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题通过勾股树的结构考查勾股定理的应用，核心是将直角三角形与对应正方形的面积关联，属于基础题型，需掌握勾股定理的基本应用逻辑。
【难度系数】
0.6
本题是勾股定理的典型应用，勾股树中，每个直角三角形对应的两条直角边的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。解题时，先利用正方形面积等于边长平方的性质，求出中间正方形F、G的面积，再根据“最大正方形E的面积等于F和G的面积之和”计算结果。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，结合正方形面积公式（面积=边长²）：
1. 计算正方形F的面积：$ S_F = S_A + S_B = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $；
2. 计算正方形G的面积：$ S_G = S_C + S_D = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 $；
3. 计算最大正方形E的面积：$ S_E = S_F + S_G = 25 + 10 = 35 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题通过勾股树的结构考查勾股定理的应用，核心是将直角三角形与对应正方形的面积关联，属于基础题型，需掌握勾股定理的基本应用逻辑。
【难度系数】
0.6
8. 如图，$△ ABC$ 的两个顶点 $A,C$ 均在数轴上，且 $∠ ACB = 90°$，$BC = \dfrac{1}{2}AC$，若点 $A$ 表示的数是 $-1$，点 $C$ 表示的数是 $1$，以点 $A$ 为圆心，$AB$ 的长为半径画弧交数轴于点 $D$，则点 $D$ 表示的数是（
A.$\sqrt{5} - 1$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} + 1$
D.$-\sqrt{5} + 1$
A
）.A.$\sqrt{5} - 1$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} + 1$
D.$-\sqrt{5} + 1$
答案
【点拨】本题考查勾股定理和数轴的综合应用,熟记勾股定理是关键.
【解析】$\because$ 点A表示的数是$-1$,点C表示的数是1,$\therefore AC=2$,$\therefore BC=\dfrac{1}{2}AC=1$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}$,$\therefore AD=AB=\sqrt{5}$,$\therefore$ 点D表示的数为$\sqrt{5}-1$. 故选 A.
【解析】$\because$ 点A表示的数是$-1$,点C表示的数是1,$\therefore AC=2$,$\therefore BC=\dfrac{1}{2}AC=1$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}$,$\therefore AD=AB=\sqrt{5}$,$\therefore$ 点D表示的数为$\sqrt{5}-1$. 故选 A.
解析
【分析】要确定点D表示的数，需先求出AB的长度：第一步根据A、C在数轴上的位置计算AC的长度；第二步利用BC与AC的关系求出BC；第三步在直角△ABC中用勾股定理算出AB；第四步由AD=AB，结合A点表示的数，计算出D点表示的数。
【解析】
∵点A表示的数是-1，点C表示的数是1，
∴AC的长度为1 - (-1) = 2，
又
∵BC = $\dfrac{1}{2}$AC，
∴BC = $\dfrac{1}{2}$×2 = 1，
∵∠ACB = 90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$ = $\sqrt{2^2 + 1^2}$ = $\sqrt{5}$，
∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，
∴AD = AB = $\sqrt{5}$，
∴点D表示的数为A点表示的数加上AD的长度，即-1 + $\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$ - 1。
【答案】A
【知识点】勾股定理、数轴上的点
【点评】本题将数轴与勾股定理结合，考查了数轴上两点距离的计算和勾股定理的应用，解题思路清晰，属于基础综合题，需要准确计算线段长度并结合数轴的性质求解。
【难度系数】0.6
【解析】
∵点A表示的数是-1，点C表示的数是1，
∴AC的长度为1 - (-1) = 2，
又
∵BC = $\dfrac{1}{2}$AC，
∴BC = $\dfrac{1}{2}$×2 = 1，
∵∠ACB = 90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$ = $\sqrt{2^2 + 1^2}$ = $\sqrt{5}$，
∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，
∴AD = AB = $\sqrt{5}$，
∴点D表示的数为A点表示的数加上AD的长度，即-1 + $\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$ - 1。
【答案】A
【知识点】勾股定理、数轴上的点
【点评】本题将数轴与勾股定理结合，考查了数轴上两点距离的计算和勾股定理的应用，解题思路清晰，属于基础综合题，需要准确计算线段长度并结合数轴的性质求解。
【难度系数】0.6
