23. (12 分)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,∠ ACB=45°$.
(1)如图1,求证:$AB=AC$;
(2)如图2,D是AC上一点,连接BD,过点C作$CE ⊥ BE$交BD的延长线于点E,连接AE,求$∠ AEB$的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,在BC上取点F,连接AF交BE于点G,连接EF交AC于点H.若$∠ BAF = ∠ FHC,AF + EF = 15$,求$\frac{1}{2}(BE + CE)^2$的值.

【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质,三角形内角和定理及外角的性质,勾股定理.
【解析】(1)证明:$\because ∠BAC=90°$,$∠ACB=45°$,
$\therefore ∠ABC=90°-45°=45°$,$\therefore ∠ABC=∠ACB$,$\therefore AB=AC$.
(2)如图1,在BE上截取$BF=CE$,连接AF.
$\because CE⊥BE$,$\therefore ∠BEC=∠BAC=90°$.
$\because ∠ADB=∠EDC$,$\therefore ∠ABD=∠ECD$,即$∠ABF=∠ACE$.
$\because AB=AC$,$BF=CE$,$\therefore △ABF≌△ACE(SAS)$,
$\therefore AF=AE$,$∠BAF=∠CAE$,
$\therefore ∠AEF=∠AFE$,$∠CAE+∠CAF=∠BAF+∠CAF=∠BAC=90°$,
$\therefore ∠EAF=90°$,$\therefore ∠AEB=45°$.

(3)$\because ∠BAF=∠FHC$,$∠ABC=∠ACB=45°$,$\therefore ∠AFB=∠HFC$.
如图2,延长AF至点$E_1$,使$FE_1=FE$,则$∠BFE_1=∠AFC=∠AFE+∠HFC$.
$\because ∠BFE=∠AFE+∠AFB$,$\therefore ∠BFE=∠BFE_1$.
$\because BF=BF$,$FE=FE_1$,$\therefore △BFE≌△BFE_1(SAS)$,
$\therefore ∠EBF=∠E_1BF$,$BE=BE_1$,即$∠EBC=∠E_1BC$.
$\because BC=BC$,$\therefore △BEC≌△BE_1C(SAS)$,
$\therefore ∠BEC=∠BE_1C=90°$,$∠BCE=∠BCE_1$,$CE=CE_1$.
延长$E_1B$到点K,使$KB=E_1C$,则$KB=CE$.
$\because ∠CBK=∠BE_1C+∠BCE_1=90°+∠BCE_1$,$∠ABC=45°$,
$\therefore ∠ABK=∠CBK-∠ABC=90°+∠BCE_1-45°=45°+∠BCE_1$.
$\because ∠ACE_1=∠ACB+∠BCE_1=45°+∠BCE_1$,$\therefore ∠ABK=∠ACE_1$.
$\because AB=AC$,$KB=E_1C$,$\therefore △AKB≌△AE_1C(SAS)$,
$\therefore AK=AE_1$,$∠KAB=∠E_1AC$,$\therefore ∠KAE_1=∠BAC=90°$.
$\because EF=E_1F$,$\therefore AF+EF=AF+E_1F=AE_1$.
$\because AF+EF=15$,$\therefore AE_1=AK=15$,$\therefore E_1K=\sqrt{2}AE_1=15\sqrt{2}$.
$\because BE+CE=BE_1+BK=E_1K$,$\therefore BE+CE=15\sqrt{2}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(BE+CE)^2=\dfrac{1}{2}×(15\sqrt{2})^2=225$.

【分析】
(1) 要证AB=AC，已知△ABC中∠BAC=90°，∠ACB=45°，根据三角形内角和算出∠ABC=45°，利用等角对等边即可得证；
(2) 求∠AEB时，观察到∠BAC和∠BEC均为直角，结合对顶角相等，通过截取BF=CE构造全等三角形，得到AF=AE，进而证明△AEF为等腰直角三角形，得出∠AEB=45°；
(3) 求$\frac{1}{2}(BE + CE)^2$的值，利用∠BAF=∠FHC的条件，通过延长AF构造全等三角形转化线段，将BE+CE转化为线段E₁K，结合AF+EF=15，利用等腰直角三角形性质算出E₁K长度，最终求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=180°-90°-45°=45°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2) 解：如图1，在BE上截取BF=CE，连接AF，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC=90°，
又
∵∠BAC=90°，
∴∠BEC=∠BAC，
∵∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠ECD，即∠ABF=∠ACE，
在△ABF和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠ABF=∠ACE\\BF=CE\end{array} $，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴AF=AE，∠BAF=∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠CAF+∠BAF=∠BAC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°；
(3) 解：
∵∠BAF=∠FHC，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠HFC，
如图2，延长AF至点E₁，使FE₁=FE，
∵∠BFE₁=∠AFC，∠BFE=∠AFE+∠AFB，∠AFC=∠AFE+∠HFC，且∠AFB=∠HFC，
∴∠BFE=∠BFE₁，
在△BFE和△BFE₁中，
$\{\begin{array}{l}BF=BF\\∠BFE=∠BFE₁\\FE=FE₁\end{array} $，
∴△BFE≌△BFE₁(SAS)，
∴BE=BE₁，∠EBF=∠E₁BF，
同理可证△BEC≌△BE₁C(SAS)，得CE=CE₁，∠BCE=∠BCE₁，
延长E₁B到点K，使KB=E₁C，
∵∠ABK=∠CBK - ∠ABC，∠CBK=∠BE₁C + ∠BCE₁=90°+∠BCE₁，∠ABC=45°，
∴∠ABK=90°+∠BCE₁ - 45°=45°+∠BCE₁，
又
∵∠ACE₁=∠ACB + ∠BCE₁=45°+∠BCE₁，
∴∠ABK=∠ACE₁，
在△AKB和△AE₁C中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠ABK=∠ACE₁\\KB=E₁C\end{array} $，
∴△AKB≌△AE₁C(SAS)，
∴AK=AE₁，∠KAB=∠E₁AC，
∴∠KAE₁=∠BAC=90°，
∵EF=E₁F，
∴AF+EF=AF+E₁F=AE₁，
∵AF+EF=15，
∴AE₁=15，
∴E₁K=√2 AE₁=15√2，
又
∵BE+CE=BE₁ + BK=E₁K=15√2，
∴$\frac{1}{2}(BE+CE)^2=\frac{1}{2}×(15√2)^2=225$；


【答案】
225；
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定，核心是通过截长补短构造全等三角形转化线段关系，对辅助线构造能力要求较高，需熟练运用几何定理推导角度和线段关系。
【难度系数】
0.3