20. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,如果$a,b,c$满足$3a+2b+c=0$,那么我们就称这个一元二次方程为“波浪方程”。
(1)判断方程$2x^2 - x - 4 = 0$是否为“波浪方程”。
(2)已知关于$x$的“波浪方程”$ax^2 - 2x + c = 0$的一个根是$-1$,求这个“波浪方程”。

20.(1)因为$a=2,b=-1,c=-4$,所以$3a+2b+c=3×2+2×(-1)+(-4)=0$。所以该方程是“波浪方程”。(2)由题意得$\begin{cases} 3a-4+c=0, \\ a+2+c=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=3, \\ c=-5, \end{cases}$所以这个“波浪方程”为$3x^2-2x-5=0$。

【分析】
本题的核心是理解“波浪方程”的定义：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，若满足$3a+2b+c=0$，则该方程为“波浪方程”。第(1)问只需将给定方程的$a、b、c$代入$3a+2b+c$，验证结果是否为0即可；第(2)问需结合“波浪方程”的条件和方程根的性质，列出关于$a、c$的方程组，求解后写出对应方程。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - x - 4 = 0$，其中$a=2$，$b=-1$，$c=-4$，代入$3a+2b+c$得：
$3×2 + 2×(-1) + (-4) = 6 - 2 - 4 = 0$，满足“波浪方程”的定义，因此该方程是“波浪方程”。
(2) 已知“波浪方程”为$ax^2 - 2x + c = 0$，根据“波浪方程”的定义，得：
$3a + 2×(-2) + c = 0$，即$3a + c = 4$；
又因为方程的一个根是$-1$，将$x=-1$代入方程得：
$a×(-1)^2 - 2×(-1) + c = 0$，即$a + c = -2$；
联立方程组：$\begin{cases}3a + c = 4 \\ a + c = -2\end{cases}$，
用第一个方程减第二个方程得：$2a = 6$，解得$a=3$，
将$a=3$代入$a + c = -2$，得$3 + c = -2$，解得$c=-5$；
因此这个“波浪方程”为$3x^2 - 2x - 5 = 0$。
【答案】
(1) 是；(2) $3x^2 - 2x - 5 = 0$
【知识点】
一元二次方程的根，新定义型问题
【点评】
本题属于新定义基础题，主要考查对新定义的理解与应用，以及一元二次方程根的性质，解题关键是准确把握“波浪方程”的定义，结合方程根的条件建立方程组求解，难度较低。
【难度系数】
0.6

21.(8分)如图1,CD是△ABC的角平分线,E,F分别是边BC,AC上的点,满足CE=CF,连结EF交CD于点G,且CG=GD,连结DE,DF。
(1)求证:四边形CEDF是菱形。
(2)如图2,若∠BAC=90°,∠B=60°,BC=√3+2,求菱形CEDF的边长。

21.(1)因为$CE=CF$,$CD$平分$∠ ACB$,所以$CD⊥ EF$,$GF=GE$。又因为$CG=GD$,所以四边形CEDF是平行四边形。又因为$CD⊥ EF$,所以平行四边形CEDF是菱形。(2)在菱形CEDF中,因为$CF// DE$,所以$∠ EDB=∠ BAC=90°$。因为$∠ B=60°$,所以$∠ BED=30°$。所以$BE=2BD$,$DE=\sqrt{3}BD$。设$BD=x$,$DE=\sqrt{3}x$,$BE=2x$。在菱形CEDF中,$CE=DE=\sqrt{3}x$,所以$\sqrt{3}x+2x=\sqrt{3}+2$,解得$x=1$。所以菱形CEDF的边长为$\sqrt{3}$。

【分析】
第(1)问：要证明四边形CEDF是菱形，先利用角平分线和CE=CF的条件，结合等腰三角形三线合一得到CD垂直平分EF，再结合CG=GD，可证得四边形CEDF是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形完成证明；第(2)问：利用菱形对边平行的性质，结合直角三角形的角度关系，得到Rt△BDE中边的比例关系，设未知数后根据BC的长度建立方程，求解得到菱形的边长。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD是△ABC的角平分线，
∴ ∠FCD=∠ECD。
又
∵ CE=CF，CD为公共边，根据等腰三角形“三线合一”，CD⊥EF，且G为EF中点，即CG⊥EF，EG=GF。
已知CG=GD，
∴ 四边形CEDF的对角线EF和CD互相平分，因此四边形CEDF是平行四边形。
又
∵ CD⊥EF，
∴ 平行四边形CEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
∵ 四边形CEDF是菱形，
∴ CF//DE，CE=DE。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠EDB=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）。
在Rt△BDE中，∠B=60°，
∴ ∠BED=30°，根据直角三角形中30°角的性质，BE=2BD，DE=√3 BD。
设BD=x，则DE=√3 x，BE=2x，又菱形边长CE=DE=√3 x。
∵ BC=CE+BE，且BC=√3+2，
∴ √3 x + 2x = √3 + 2，
提取公因式得：x(√3+2)=√3+2，解得x=1。
∴ DE=√3×1=√3，即菱形CEDF的边长为√3。
【答案】
(1) 四边形CEDF是菱形，证明见解析；(2) 菱形CEDF的边长为√3。
【知识点】
菱形的判定、直角三角形性质、角平分线性质
【点评】
本题综合考查菱形的判定与性质，结合直角三角形的特殊角度关系求解边长，解题关键是利用菱形的性质转化角度和边的关系，建立方程求解，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5

22. (10分)某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个。商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具的销售额逐月增加，若6月份玩具的销售额为2880元。(销售额=销售单价×销售数量)
(1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率。
(2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的销售价格小于100元。求6月份每个玩具的销售价格。

22.(1)4月份玩具的销售额为$40×50=2000$(元)。设从4月份到6月份,玩具销售额的月平均增长率为$x$。由题意得$2000(1+x)^2=2880$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(负值舍去),所以从4月份到6月份,玩具销售额的月平均增长率为$20\%$。(2)设6月份每个玩具的销售价格比4月份增加$y$元,则6月份的销售量比4月份减少$\dfrac{1}{5}y$个。由题意得$(50+y)(40-\dfrac{1}{5}y)=2880$,解得$y_1=40$,$y_2=110$(不合题意,舍去),所以$50+y=90$。所以6月份每个玩具的销售价格是90元。

【分析】
首先解决第(1)问：先计算4月份的销售额，再设月平均增长率为x，利用“复利增长”关系（两个月后销售额=4月销售额×(1+增长率)²）建立方程，解一元二次方程后舍去负增长率（不符合销售额逐月增加的实际意义）；第(2)问：设6月份单价比4月份增加y元，根据“单价每增5元销量减1个”表示出6月份的单价和销售量，结合6月销售额建立方程，解方程后根据“6月单价小于100元”舍去不合理解，进而求出6月销售价格。
【解析】
(1) 4月份玩具销售额为：40×50=2000（元）。
设从4月份到6月份玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意得：
2000(1+x)²=2880
化简得：(1+x)²=1.44
开方得：1+x=±1.2
解得x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（负值不符合实际意义，舍去）。
(2) 设6月份每个玩具的销售价格比4月份增加y元，则6月份销售单价为(50+y)元，月销售量为(40 - y/5)个。
根据6月份销售额为2880元，得：
(50+y)(40 - y/5)=2880
整理方程：
2000 + 30y - y²/5 =2880
两边乘5得：y² -150y +4400=0
因式分解得：(y-40)(y-110)=0
解得y₁=40，y₂=110。
因为6月份销售价格小于100元，y=110时，50+110=160＞100，舍去；y=40时，50+40=90＜100，符合题意。
【答案】
(1) 20%；(2) 90元
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（销售问题）
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的典型应用，分为增长率和销售两类问题，解题关键是找准等量关系建立方程，需注意舍去不符合实际意义的解，考查学生的方程建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6