登录
17.(6分)计算:$\sqrt{8}+(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})-\sqrt{\dfrac{1}{4}}$。
答案
17.原式=$2\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】本题是二次根式的混合运算，解题思路是：先分别化简式子中的每一项，第一项将$\sqrt{8}$化为最简二次根式，第二项利用平方差公式计算，第三项化简$\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，最后将各项结果合并计算即可。
【解析】解：原式$=\sqrt{4×2}+[(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2]-\sqrt{\dfrac{1}{2^2}}$
$=2\sqrt{2}+(6-5)-\dfrac{1}{2}$
$=2\sqrt{2}+1-\dfrac{1}{2}$
$=2\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$
【答案】$2\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$
【知识点】二次根式的化简、平方差公式
【点评】本题考查二次根式的混合运算，核心是掌握二次根式的化简方法和平方差公式的应用，计算时需注意运算顺序和公式的正确使用，属于基础运算题，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】解：原式$=\sqrt{4×2}+[(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2]-\sqrt{\dfrac{1}{2^2}}$
$=2\sqrt{2}+(6-5)-\dfrac{1}{2}$
$=2\sqrt{2}+1-\dfrac{1}{2}$
$=2\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$
【答案】$2\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$
【知识点】二次根式的化简、平方差公式
【点评】本题考查二次根式的混合运算，核心是掌握二次根式的化简方法和平方差公式的应用，计算时需注意运算顺序和公式的正确使用，属于基础运算题，难度不大。
【难度系数】0.6
18.(8分)解方程:
(1)$x^2 - 2x = 8$。
(2)$(3x - 4)^2 = (4x - 3)^2$。
(1)$x^2 - 2x = 8$。
(2)$(3x - 4)^2 = (4x - 3)^2$。
答案
18.(1)$x_1=4,x_2=-2$。(2)$x_1=1,x_2=-1$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，需根据方程的特点选择合适的方法：第(1)题可通过移项后用十字相乘法因式分解，或配方法求解；第(2)题利用平方差公式因式分解，或直接开平方求解，核心是将一元二次方程转化为一元一次方程。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 2x = 8$：
移项得：$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解（十字相乘法）：$(x - 4)(x + 2) = 0$，
则$x - 4 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
(2) 解方程$(3x - 4)^2 = (4x - 3)^2$：
移项得：$(3x - 4)^2 - (4x - 3)^2 = 0$，
利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$分解：
$[(3x - 4) - (4x - 3)][(3x - 4) + (4x - 3)] = 0$，
化简得：$(-x - 1)(7x - 7) = 0$，
则$-x - 1 = 0$或$7x - 7 = 0$，
解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 1$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$；(2)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、平方差公式
【点评】
本题为一元二次方程的基础题型，分别考察十字相乘法、平方差公式在解方程中的应用，是一元二次方程解法的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的解法，需根据方程的特点选择合适的方法：第(1)题可通过移项后用十字相乘法因式分解，或配方法求解；第(2)题利用平方差公式因式分解，或直接开平方求解，核心是将一元二次方程转化为一元一次方程。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 2x = 8$：
移项得：$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解（十字相乘法）：$(x - 4)(x + 2) = 0$，
则$x - 4 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
(2) 解方程$(3x - 4)^2 = (4x - 3)^2$：
移项得：$(3x - 4)^2 - (4x - 3)^2 = 0$，
利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$分解：
$[(3x - 4) - (4x - 3)][(3x - 4) + (4x - 3)] = 0$，
化简得：$(-x - 1)(7x - 7) = 0$，
则$-x - 1 = 0$或$7x - 7 = 0$，
解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 1$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$；(2)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、平方差公式
【点评】
本题为一元二次方程的基础题型，分别考察十字相乘法、平方差公式在解方程中的应用，是一元二次方程解法的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
19.(8分)某校为了解全校学生寒假期间参加体育锻炼的天数,随机抽取了部分学生进行调查,并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出),请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)本次调查中,体育锻炼天数的众数为
(2)请补全条形统计图。
(3)如果该校有1600名学生,请你估计有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天。
(1)本次调查中,体育锻炼天数的众数为
5
天,中位数为6
天。(2)请补全条形统计图。
(3)如果该校有1600名学生,请你估计有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天。
答案
19.(1)5 6 (2)如图
。(3)估计参加体育锻炼的天数不少于7天的学生有$1600×(1-20\%-40\%)=640$(名)。解析
【分析】
要解决本题，需先结合扇形统计图和条形统计图的信息求出调查总人数，再依次计算各锻炼天数的人数，进而解决众数、中位数、补全条形图和估计全校人数的问题：
1. 利用“锻炼5天的人数及对应占比”求出调查总人数；
2. 根据“出现次数最多的数是众数”确定众数；
3. 按从小到大排列锻炼天数，找到总人数中间位置的数确定中位数；
4. 计算8天的人数补全条形图；
5. 计算锻炼天数不少于7天的占比，用样本估计总体得到全校对应人数。
【解析】
1. 求调查总人数：
由扇形图知锻炼5天的占比为40%，条形图中锻炼5天的人数为240人，因此总人数为 $240 ÷ 40\% = 600$ 人。
2. 求众数：
锻炼5天的人数（240人）最多，因此众数为5天。
3. 求中位数：
计算各锻炼天数的人数：
6天：$600 × 20\% = 120$ 人；
7天：$600 × 25\% = 150$ 人；
8天：$600 × (1 - 40\% - 20\% - 25\% - 5\%) = 60$ 人；
9天及以上：$600 × 5\% = 30$ 人。
累计人数：5天共240人，6天累计 $240 + 120 = 360$ 人，总人数600，中位数为第300、301个数的平均数，均在6天范围内，故中位数为6天。
4. 补全条形图：
8天的人数为60人，对应条形图高度为60。
5. 估计全校人数：
锻炼天数不少于7天的占比为 $1 - 20\% - 40\% = 40\%$，因此全校对应人数为 $1600 × 40\% = 640$ 名。
【答案】
(1)5；6 (2)如图 (3)640名
【知识点】
扇形统计图、条形统计图、众数、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查两种统计图的应用及统计量的计算，需结合两类统计图的互补信息，掌握众数、中位数的定义和用样本估计总体的方法，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先结合扇形统计图和条形统计图的信息求出调查总人数，再依次计算各锻炼天数的人数，进而解决众数、中位数、补全条形图和估计全校人数的问题：
1. 利用“锻炼5天的人数及对应占比”求出调查总人数；
2. 根据“出现次数最多的数是众数”确定众数；
3. 按从小到大排列锻炼天数，找到总人数中间位置的数确定中位数；
4. 计算8天的人数补全条形图；
5. 计算锻炼天数不少于7天的占比，用样本估计总体得到全校对应人数。
【解析】
1. 求调查总人数：
由扇形图知锻炼5天的占比为40%，条形图中锻炼5天的人数为240人，因此总人数为 $240 ÷ 40\% = 600$ 人。
2. 求众数：
锻炼5天的人数（240人）最多，因此众数为5天。
3. 求中位数：
计算各锻炼天数的人数：
6天：$600 × 20\% = 120$ 人；
7天：$600 × 25\% = 150$ 人；
8天：$600 × (1 - 40\% - 20\% - 25\% - 5\%) = 60$ 人；
9天及以上：$600 × 5\% = 30$ 人。
累计人数：5天共240人，6天累计 $240 + 120 = 360$ 人，总人数600，中位数为第300、301个数的平均数，均在6天范围内，故中位数为6天。
4. 补全条形图：
8天的人数为60人，对应条形图高度为60。
5. 估计全校人数：
锻炼天数不少于7天的占比为 $1 - 20\% - 40\% = 40\%$，因此全校对应人数为 $1600 × 40\% = 640$ 名。
【答案】
(1)5；6 (2)如图
(3)640名【知识点】
扇形统计图、条形统计图、众数、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查两种统计图的应用及统计量的计算，需结合两类统计图的互补信息，掌握众数、中位数的定义和用样本估计总体的方法，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
