10. 如图，一次函数
$y=kx+b$ 过点
$C\ (1,\ 0)$ 和点
$A(m,1)$，将线段
$AC$ 绕点 $C$ 顺时

针旋转 $90°,$ 得到线段 $BC,$ 连接 $AB,$ 点 $D$
在线段 $BC$ 上，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，且
$BD=AE,$ 当 $AD+CE$ 的最小值为$\sqrt{15}$
时，$k$ 的值为.

10. $\frac{1}{2}$ 提示:如图,过点A作$AF⊥ AC$,且$AF=AB$.连接EF,CF.由条件可知,$AC=BC$,$∠ BCA=90°$,所以$AF=AB=\sqrt{2}AC$,$∠ CAB=∠ B=45°$.因为$CA⊥ AF$,所以$∠ CAF=90°$,$CF=\sqrt{AC^2+(\sqrt{2}AC)^2}=\sqrt{3}AC$,所以$∠ EAF=∠ CAF-∠ CAB=45°=∠ CAB=∠ B$.又因为$BD=AE$,所以$△ ABD≌△ FAE(\mathrm{SAS})$,所以$AD=FE$,所以$AD+CE=FE+CE≥ CF$,当点E在线段CF上时,$AD+CE$的值最小,最小值为$\sqrt{15}=CF=\sqrt{3}AC$,所以$15=3AC^2$,所以$AC=\sqrt{5}$.因为点$C(1,0)$和点$A(m,1)$,所以$(m-1)^2+(1-0)^2=(\sqrt{5})^2$,解得$m=3$或$m=-1$.由图可知,点$A(m,1)$在第一象限,所以$m＞0$,所以$m=3$,所以点$A(3,1)$.把点$C(1,0)$,$A(3,1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}0=k+b,\\1=3k+b,\end{cases}$解得$k=\frac{1}{2}$.

11. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于点 $A,B$. 若$C$ 为 $x$ 轴上的一动点, 则 $2BC+AC$ 的最小值为.

11. 6 提示:易得点$A(3,0)$,$B(0,-\sqrt{3})$,所以$AO=3$,$BO=\sqrt{3}$,所以$AB^2=OA^2+DB^2=12$.如图,作点B关于OA的对称点$B'$,连接$AB'$,$B'C$,过点C作$CH⊥ AB$于点H,过点$B'$作$B'K⊥ AB$于点K.所以$OB'=OB=\sqrt{3}$,$AB'=AB$,$B'C=BC$,所以$BB'=2\sqrt{3}$,$BB'^2=(2\sqrt{3})^2=12=AB^2$,所以$AB=AB'=BB'$,所以$△ ABB'$是等边三角形,所以$∠ B'AB=60°$.因为$AO⊥ BB'$,所以$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ BAB'=30°$.因为$CH⊥ AB$,所以$CH=\frac{1}{2}AC$,所以$2BC+AC=2(BC+\frac{1}{2}AC)=2(B'C+CH)≥ 2B'K$,所以当$B'$,C,H三点共线,且$B'H⊥ AB$时,$B'C+CH$取得最小值,即$2BC+AC$取得最小值,最小值为$2B'K$的长.因为$B'K⊥ AB$,所以$B'K=\sqrt{BB'^2-(\frac{AB}{2})^2}=3$,$2B'K=6$,所以$2BC+AC$的最小值为6.

12. 已知点 $P$ 在 $∠ MON$ 内.
(1) 如图 1,点 $P$ 关于射线 $OM,ON$ 的对称点分别是 $G,H$,连接 $OG,OH$, $OP,GH$.
①若$∠ MON=30°$,则$△ OGH$ 是什么特殊三角形?为什么?
②若$∠ MON=90°$,试判断 $GH$ 与 $OP$ 的数量关系,并说明理由.
(2) 如图 2,若$∠ MON=30°$,$A,B$ 分别是射线 $OM,ON$ 上的点,$AB⊥ ON$ 于点 $B$,$P,Q$ 分别为线段 $OA,AB$ 上的两个定点,且 $QB=1.5$,$OP=AQ=2$,在线段 $OB$ 上有一动点 $E$,试求 $PE+QE$ 的最小值.

12. 解:(1) ①$△ OGH$是等边三角形.理由如下:
因为点P关于OM对称的点为G,所以$OP=OG$,$∠ POM=∠ GOM$,同理$OP=OH$,$∠ PON=∠ HON$,所以$OG=OH$.因为$∠ MON=30°$,所以$∠ GOH=60°$,所以$△ OGH$是等边三角形.
②$GH=2OP$.理由如下:
当$∠ MON=90°$时,$∠ GOH=180°$,所以点G,O,H在同一条直线上.同(1)可得$OP=OG=OH$.因为$GH=OG+OH=2OP$,所以$GH=2OP$.
(2) 作点Q关于ON的对称点$Q'$,连接$PQ'$,$Q'E$,所以$PE+QE=PE+Q'E≥ PQ'$.如图,当P,E,$Q'$三点共线时,$PE+QE$取得最小值,最小值为$PQ'$的长.因为$∠ MON=30°$,$∠ ABO=90°$,所以$∠ OAB=60°$.因为$AQ=OP=2$,$QB=1.5$,所以$AB=3.5$,所以$OA=2AB=7$,所以$AP=5$.因为点Q,$Q'$关于ON对称,所以$Q'B=QB=1.5$,所以$AQ'=5$,所以$△ APQ'$是等边三角形,所以$PQ'=5$,即$PE+QE$的最小值为5.

13. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点 $A,B$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴上. 若在第一象限存在点 $P$ 使得 $PA=PB$, 且点 $P$ 在直线 $AB$ 的右侧,则称 $P$ 是线段 $AB$ 的“等腰点”.已知 $P$ 是线段 $AB$ 的“等腰点”.
(1) 如图 1,已知点 $A(1,0),B(0,1)$, 则在坐标 $(1,1),(1,2),(2,1)$ 中, 能够是线段 $AB$ 的“等腰点”$P$ 的坐标是, 此时 $OP$ 的长为.
(2) 如图 2,已知点 $A(3,0),B(0,4)$, 且 $∠ APB=90°$, 求“等腰点”$P$ 的坐标.
(3) 如图 3,已知点 $A(m,0),B(0,n)$, 满足 $m^2+n^2=4$, 且 $∠ APB=60°$, 直接写出 $OP$ 长的最大值.

13. 解:(1) $(1,1)\quad\sqrt{2}$
(2) 如图1,过点P作$EF⊥ x$轴于点F,过点B作$BE⊥ EF$于点E,则$BE=OF$,$EF=OB$.因为点$A(3,0)$,$B(0,4)$,所以$EF=OB=4$,$OA=3$.因为P是线段AB的“等腰点”,所以$PA=BP$.因为$∠ APB=90°$,$EF⊥ x$轴,$BE⊥ EF$,所以$∠ BEP=∠ PFA=∠ APB=90°$,所以$∠ EPB+∠ EBP=∠ EPB+∠ FPA=90°$,所以$∠ EBP=∠ FPA$,所以$△ EBP≌△ FPA(\mathrm{AAS})$,所以$PF=BE=OF$,$AF=PE$.所以$EF=PF+PE=BE+AF=4$,$OA=OF-AF=BE-AF=3$,所以$BE=\frac{7}{2}$,所以$OF=PF=BE=\frac{7}{2}$,所以点$P(\frac{7}{2},\frac{7}{2})$.

(3) $1+\sqrt{3}$. 提示:因为P是线段AB的“等腰点”,所以$PA=PB$,又因为$∠ APB=60°$,所以$△ PAB$是等边三角形.如图2,取AB的中点D,连接OD,PD,OP,则$PD⊥ AB$.因为点$A(m,0)$,$B(0,n)$,所以$OA=m$,$OB=n$,所以$AB^2=OB^2+OA^2=n^2+m^2=4$,所以$PA=AB=2$.因为D为AB的中点,$∠ AOB=90°$,所以$OD=AD=\frac{1}{2}AB=1$.所以$PD=\sqrt{PA^2-AD^2}=\sqrt{3}$.因为$OP≤ OD+PD$,所以当P,D,O三点共线时,OP的长取得最大值,最大值为$1+\sqrt{3}$.