14. 如图, 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $∠ ABC=30°, AC=2$, 以 $BC$ 为边向左作等边三角形 $BCE$,$D$ 为 $AB$ 的中点, 连接$CD$,$P,Q$ 分别为 $CE,CD$ 上的动点.
(1) 求证: $△ ADC$ 为等边三角形.
(2) 求 $PD+PQ+QE$ 的最小值.

14. (1) 证明: 因为$∠ ACB=90°$,$∠ ABC=30°$,所以$∠ BAC=60°$,$AB=2AC$.因为D为AB的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AB=AC$,所以$△ ADC$为等边三角形.
(2) 解:如图,连接PA,QB.因为$△ BCE$和$△ ADC$都是等边三角形,所以$∠ BCE=60°$,$∠ ACD=60°$,所以$∠ ACE=∠ ACB-∠ BCE=30°=\frac{1}{2}∠ ACD$,所以CE垂直平分AD,所以$PA=PD$.同理可得CD垂直平分BE,所以$QB=QE$.所以$PD+PQ+QE=PA+PQ+QB≥ AB$.当点A,P,Q,B共线时,$PA+PQ+QB$取得最小值,最小值为AB的长.因为$AC=2$,$∠ ABC=30°$,$∠ ACB=90°$,所以$AB=2AC=4$,所以$PD+PQ+QE$的最小值为4.

15.【问题】我们已经学习了很多与直角三角形有关的结论,比如:直角三角形两锐角互余;勾股定理;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等.三位同学在继续研究直角三角形时,都对“在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于斜边的一半”尝试进行了证明.
已知:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=$$30°$,求证:$BC=\dfrac{1}{2}AB$.
小娟采用“截长法”(如图1)在$AB$上截取$BD=BC$,连接$CD······$
小丽采用“补短法”(如图2)延长$BC$至点$D$,使得$CD=BC$,连接$AD······$
小辉采用“中线法”(如图3)取$AB$的中点$D$,连接$CD······$
(1)请你任选一位同学的方法完成证明.
【应用】
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CA=$$CB=2$,$D$是平面内一点,满足$∠ CAD=30°$,$∠ ADC=90°$,连接$BD$,则$△ ABD$的面积为.
【延伸】
(3)如图4,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=30°$,$BC=\sqrt{3}$,$D$是边$AC$上一动点.则当$BD+\dfrac{1}{2}AD$的值最小时,$CD$的长为.

15. (1) 证明:
“截长法”:在AB上截取$BD=BC$,连接CD.因为$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,所以$∠ B=60°$,所以$△ BDC$是等边三角形,所以$∠ BCD=60°$,$BD=BC=DC$,所以$∠ ACD=30°=∠ A$,所以$AD=DC$,所以$AD=BD=BC$,所以$BC=\frac{1}{2}AB$.
“补短法”:延长BC至点D,使$CD=BC$,连接AD,则$BC=\frac{1}{2}BD$.因为$∠ ACB=90°$,所以AC垂直平分BD,所以$AD=AB$.因为$∠ BAC=30°$,所以$∠ B=60°$,所以$△ ABD$是等边三角形,所以$BD=AB$,所以$BC=\frac{1}{2}AB$.
“中线法”:取AB的中点D,连接CD.因为$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,所以$∠ B=60°$.因为D为AB的中点,所以$CD=BD=AD$,所以$△ BCD$为等边三角形,所以$BC=BD=AD$,所以$BC=\frac{1}{2}AB$.
(2) $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ 提示:如图1,当点D在$△ ABC$的内部时,过点D作$DE⊥ BC$于点E.因为$CA=CB=2$,$∠ CAD=30°$,$∠ ADC=90°$,所以$CD=\frac{1}{2}CA=1$,$∠ ACD=90°-∠ CAD=60°$,所以$AD=\sqrt{CA^2-CD^2}=\sqrt{3}$.因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ DCE=∠ ACB-∠ ACD=30°$,所以$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$,所以$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}-S_{△ DCB}=\frac{1}{2}CA· CB-\frac{1}{2}CD· AD-\frac{1}{2}CB· DE=2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.

如图2,当点D在$△ ABC$的外部时,过点D作$DF⊥ BC$,交BC的延长线于点F.同理$CD=\frac{1}{2}AC=1$,$DA=\sqrt{CA^2-CD^2}=\sqrt{3}$,$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$,所以$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}-S_{△ DCB}=\frac{1}{2}CA· CB+\frac{1}{2}CD· AD-\frac{1}{2}CB· DF=2+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
(3) 1 提示:在AC右侧作$∠ EAD=30°$,过点B作$BF⊥ AE$于点F.过点D作$DE⊥ AE$于点E,则$DE=\frac{1}{2}AD$.所以$BD+\frac{1}{2}AD=BD+DE≥ BF$,所以当点E与点F重合,且点B,D,F在同一条直线上时,$BD+DE$取得最小值,即$BD+\frac{1}{2}AD$取得最小值.此时$∠ BDC=∠ ADF=60°$,所以$∠ CBD=30°$,所以$BD=2CD$.在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BC^2+CD^2=BD^2$,即$(\sqrt{3})^2+CD^2=(2CD)^2$,解得$CD=1$(负值已舍).