1. 如图,长方体的长为 3,宽为 2,高为 4,一只蚂蚁从点 A 出发,沿长方体表面到点 B 处吃食物,那么它爬行的最短路程是 （）

A.$\sqrt{29}$
B.$\sqrt{41}$
C.$\sqrt{45}$
D.$\sqrt{53}$

1. B 提示:将长方体表面展开,分情况讨论:
①如图1,$AB^2=(2+3)^2+4^2=41$;②如图2,$AB^2=3^2+(4+2)^2=45$;③如图3,$AB^2=2^2+(4+3)^2=53$.综上所述,蚂蚁爬行的最短路程是$\sqrt{41}$.

2. 如图,点$E$在等边三角形$ABC$的边$BC$上,$BE=4$,射线$CD ⊥ BC$,垂足为$C$,$P$是射线$CD$上一动点,$F$是线段$AB$上一动点. 当$EP+FP$的值最小时,$BF=5$,则$EP+FP$的最小值是（）

A.9
B.10
C.$\sqrt{75}$
D.$\sqrt{45}$

2. C 提示:作点E关于CD的对称点E',所以$PE'=PE$,所以$EP+FP=P'E+FP≥ E'F$.当E',P,F三点共线,且$E'F⊥ AB$时,$EP+FP$的值最小,最小值为$E'F$的长,如图所示.因为$△ ABC$是等边三角形,所以$∠ B=60°$.因为$E'F⊥ AB$,所以$∠ FE'B=30°$,所以$BE'=2BF$.因为$BF=5$,$BE=4$,所以$BE'=10$.在$\mathrm{Rt}△ BFE'$中,由勾股定理,可得$E'F=\sqrt{BE'^2-BF^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}$,所以$EP+FP$的最小值为$\sqrt{75}$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$BA=BC=10,AC=$12,$D$为$AC$的中点,$E$为边$AB$上一点,将$△ ADE$沿$DE$翻折,点$A$的对应点为$A'$,当点$A'$落在$△ ABC$内部(不包括边上)时,$AE$长的取值范围是 （）

A.$\dfrac{18}{5}＜ AE＜ 5$
B.$\dfrac{16}{5}＜ AE＜ \dfrac{24}{5}$
C.$3＜ AE＜ 4$
D.$\dfrac{12}{5}＜ AE＜ 5$

3. A 提示:由题可知,$DA=DA'=DC$.所以点$A'$在以点D为圆心,DA长为半径的半圆上运动.连接BD.如图1,当点$A'$落在边AB上时,$DE⊥ AB$.因为$BA=BC$,D是AC的中点,所以$BD⊥ AC$,$AD=CD=\frac{1}{2}AC=6$,所以$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=8$.由等积法,得$\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DE$,所以$DE=\frac{24}{5}$,所以$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\frac{18}{5}$.如图2,当点$A'$落在边BC上时,连接$AA'$.因为$DA=DA'=DC$,所以$∠ DAA'=∠ DA'A$,$∠ DA'C=∠ DCA'$.由三角形内角和定理可知,$∠ DAA'+∠ DA'A+∠ DA'C+∠ DCA'=180°$,所以$∠ AA'C=∠ DA'A+∠ DA'C=90°$,所以$AA'⊥ BC$.因为点A,$A'$关于DE对称,所以$AA'⊥ DE$,所以$DE// BC$.所以$∠ EDA=∠ C$.因为$BA=BC$,所以$∠ BAC=∠ C$,所以$∠ BAD=∠ EDA$,所以$AE=DE$.因为$∠ BAD+∠ EBD=90°$,$∠ EDA+∠ EDB=90°$,所以$∠ EBD=∠ EDB$.所以$DE=BE=AE=\frac{1}{2}AB=5$.综上所述,当点$A'$落在$△ ABC$内部(不包括边上)时,$AE$长的取值范围是$\frac{18}{5}＜AE＜5$.

4. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC = 2\sqrt{3}$,
$∠ BAC=120°,D$ 为线段 $BC$ 上的动点, 以$BD$ 为边向上作等边三角形 $BED$, 连接$CE,AD$, 则 $AD+CE$ 的最小值为（）

A.$4\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}+6$
C.$\sqrt{3}+3$
D.$6\sqrt{3}$

4. A 提示:如图,以AB为边,在AB的左侧作等边三角形ABF,连接EF.因为$△ BED$和$△ ABF$都是等边三角形,所以$∠ ABF=∠ EBD=60°=∠ FAB$,$BE=BD$,$BF=AB=AF$,所以$∠ FBE=∠ ABD$,所以$△ FBE≌△ ABD(\mathrm{SAS})$,所以$FE=AD$.因为$∠ FAB=60°$,$∠ BAC=120°$,所以$∠ FAB+∠ BAC=180°$,所以点F,A,C在同一条直线上.因为$FE=AD$,所以$AD+CE=FE+CE≥ CF$,当点C,E,F在同一条直线上时,$AD+CE$取最小值,最小值为CF的长.因为$AB=AC=2\sqrt{3}$,$AB=AF$,所以$AF=2\sqrt{3}$,所以$CF=4\sqrt{3}$,即$AD+CE$的最小值为$4\sqrt{3}$.

5. 在平面直角坐标系中,点 $A(1,3),B(4,5),C(m,0),D(m+2,0)$, 当四边形$ABDC$ 的周长最小时,$m$ 的值为 （）

A.2
B.$\dfrac{5}{4}$
C.$\dfrac{11}{8}$
D.$\sqrt{2}$

5. C 提示:因为$CD=2$,$AB=\sqrt{(4-1)^2+(5-3)^2}=\sqrt{13}$,所以当四边形ABDC的周长最小时,$AC+BD$的值最小.将DB平移到CE,则$CE=DB$,$EB=CD=2$,所以点$E(2,5)$.作点A关于x轴的对称点$F(1,-3)$,连接FC,FE,则$AC=FC$.所以$AC+BD=FC+CE≥ FE$.当点E,C,F共线时取等号,如图所示.设直线EF的函数表达式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}2k+b=5,\\k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=8,\\b=-11.\end{cases}$所以直线EF的函数表达式为$y=8x-11$.当$y=0$时,$x=\frac{11}{8}$,即$m=\frac{11}{8}$.

6. 代数式$\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{x^{2}-8x+20}$的最小值为.

6. $\sqrt{41}$ 提示:如图,D是长方形ABCE的边EA延长线上的一点,且$AD=3$,$AB=4$,$BC=2$,P是AB上一动点,连接PD,PC,CD.设$AP=x$,则$BP=4-x$.由勾股定理,得$CD=\sqrt{DE^2+EC^2}=\sqrt{(3+2)^2+4^2}=\sqrt{41}$,$PD=\sqrt{x^2+3^2}=\sqrt{x^2+9}$,$PC=\sqrt{(4-x)^2+2^2}=\sqrt{x^2-8x+20}$.因为$PD+PC≥ CD$,当且仅当点D,P,C共线时取等号,所以$PD+PC≥\sqrt{41}$,即$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x^2-8x+20}$的最小值为$\sqrt{41}$.

7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$平分$∠ ACB$，点$E,F$分别在边$AC,BC$上，且$DE⊥ DF$。若$AC=6,BC=8$，则$EF$长的最小值是。

7. $\frac{24\sqrt{2}}{7}$ 提示:过点D分别作$DG⊥ BC$于点G,$DH⊥ AC$于点H,则$∠ DGF=∠ DGC=∠ DHE=90°$.因为CD平分$∠ ACB$,所以$DG=DH$.由四边形DGCH的内角和为$360°$,可推知$∠ GDH=90°$.所以$∠ FDG=∠ EDH$,可证$△ EDH≌△ FDG(\mathrm{ASA})$,所以$DE=DF$,所以$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$.当DE的值最小时,EF的值最小.易知当点E与点H重合时,DE的值最小,最小值为DH的长.因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}BC· DG+\frac{1}{2}AC· DH$,所以$DH=\frac{AC· BC}{BC+AC}=\frac{24}{7}$.所以EF长的最小值为$\frac{24\sqrt{2}}{7}$.

8. 如图,已知 $AB=4,C$ 是线段 $AB$ 的中点，以 $C$ 为直角顶点，作等腰直角三角形 $CDE$($C,D,E$ 三点按顺时针方向排列),且 $CD=\sqrt{3}$. 将等腰直角三角形 $CDE$绕点 $C$ 顺时针方向旋转,在旋转过程中，$|AD-BE|$ 的最大值为.

8. $\sqrt{6}$ 提示:过点C作$CH⊥ AB$,且$CH=CB$,连接EH,DH.因为$AB=4$,C是线段AB的中点,所以$CA=CB=CH=2$.因为$△ CDE$是等腰直角三角形,所以$CE=CD=\sqrt{3}$,$∠ DCE=∠ ACH=∠ BCH=90°$,所以$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{6}$,$∠ ACD=∠ HCE$,所以$△ ACD≌△ HCE(\mathrm{SAS})$,所以$AD=HE$.同理可得$HD=BE$.所以$|AD-BE|=|HE-HD|≤ DE$.如图,当H,D,E三点共线时,$|AD-BE|=DE$,此时$|AD-BE|$的值最大,最大值为$\sqrt{6}$.

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$AD$为边$BC$上的中线,且$AD=1$,$P$是边$BC$上一动点,连接$AP$,将线段$AP$绕点$A$逆时针旋转$120°$,得到线段$AQ$,连接$DQ$,则$DQ$长的最小值为.

9. $\frac{3}{2}$ 提示:取AB的中点E,连接DE,CQ.因为$AB=AC=2$,AD为边BC上的中线,所以$AD⊥ BC$,所以$∠ ADB=90°$.因为E是斜边AB的中点,所以$DE=AE=\frac{1}{2}AB=1$.因为$AD=1$,所以$DE=AE=AD$,所以$△ AED$是等边三角形,所以$∠ BAD=60°$,所以$∠ BAC=120°$,$∠ ABC=∠ ACB=30°$.因为$∠ PAQ=120°$,$∠ BAP=120°-∠ PAC=∠ CAQ$.又因为$AB=AC$,$AP=AQ$,$△ BAP≌△ CAQ(\mathrm{SAS})$,所以$∠ ACQ=∠ ABP=30°$.当$DQ⊥ CQ$时,DQ长取得最小值.可知此时$∠ QDC=30°$.又因为$AB=AC=2$,$AD=1$,所以$CD=BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3}$.因为$CQ=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$DQ=\sqrt{CD^2-CQ^2}=\frac{3}{2}$.