13. (盐城市盐都区期末) 如图, 直线 $l_1:y=-x+2$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A,B$, 另一直线 $l_2:y=\dfrac{4}{3}x+b$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $C,D$, 连接 $AD$. 直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 交于点 $E(-3,m)$, 在 $x$ 轴上有一点 $P(a,0)$ $(a＜-3)$, 过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线, 分别与直线 $l_1,l_2$ 交于点 $M,N$.
(1) 求 $m$ 的值及 $△ ABD$ 的面积.
(2) 若 $MN=BD$, 求 $a$ 的值.
(3) 在 $y$ 轴上找点 $Q$, 使得 $△ DEQ$ 为等腰三角形, 求点 $Q$ 的坐标.

13. 解:(1) 将点 $E(-3,m)$ 代入 $y=-x+2$,得 $m=-(-3)+2=5$,即点 $E(-3,5)$. 将点 $E(-3,5)$ 代入 $y=\dfrac{4}{3}x+b$,得 $5=\dfrac{4}{3}×(-3)+b$,解得 $b=9$,所以直线 $l_2:y=\dfrac{4}{3}x+9$. 易得点 $A(2,0),B(0,2),D(0,9)$,所以 $BD=9-2=7$,所以 $S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}BD· x_A=\dfrac{1}{2}×7×2=7$.
(2) 因为点 $P(a,0)$,所以点 $M(a,-a+2)$,$N(a,\dfrac{4}{3}a+9)$. 因为 $MN=BD$,所以 $-a+2-(\dfrac{4}{3}a+9)=7$,所以 $a=-6$.
(3) 过点 $E$ 作 $EF⊥ y$ 轴于点 $F$. 因为点 $E(-3,5)$,所以 $OF=5,EF=3$. 因为点 $D(0,9)$,所以 $DF=9-5=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中,由勾股定理,得 $DE=\sqrt{EF^2+DF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 如图 1,若 $DE$ 为腰,则 $DQ_1=DQ_2=DE=5$,$FQ_3=DF=4$. 所以点 $Q_1(0,14)$,$Q_2(0,4)$,$Q_3(0,1)$;如图 2,若 $DE$ 为底,则 $DE$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $Q_4$,所以 $EQ_4=DQ_4$,设 $FQ_4=x$,则 $EQ_4=DQ_4=4-x$,在 $\mathrm{Rt}△ EFQ_4$ 中,由勾股定理,得 $3^2+x^2=(4-x)^2$,解得 $x=\dfrac{7}{8}$,所以 $OQ_4=OF+FQ_4=5+\dfrac{7}{8}=\dfrac{47}{8}$,所以点 $Q_4(0,\dfrac{47}{8})$. 综上所述,点 $Q$ 的坐标为 $(0,14)$ 或 $(0,4)$ 或 $(0,1)$ 或 $(0,\dfrac{47}{8})$.

14. 在长方形 $ABCD$ 中，$AD=6,E,F$ 分别是边$AD,AB$ 上的动点. 在长方形 $ABCD$ 的内部(包含边界), 以 $EF$ 为直角边作等腰直角三角形 $EFP$, 且 $∠ EFP=90°$. 过点 $P$ 作 $PQ ⊥ AB$, 垂足为 $Q$.
(1) 如图 1, 当 $AE=1$ 时, 设 $AQ=x,PQ=y$,求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.

(2) 当点 $E$ 的位置如图 2 所示时, 点 $F$ 在边 $AB$ 上运动, 用直尺和圆规在图 2中作出所有满足条件的点 $P$(保留作图痕迹,写出必要的文字说明).
(3) 当点 $E,F$ 分别在边 $AD,AB$ 上运动时,满足条件的点 $P$ 所形成区域的面积随着 $AB$ 的长度变化而变化,设点$P$ 所形成区域的面积为 $S,AB$ 的长度为 $n$. 请直接写出 $S$ 与 $n$ 的函数表达式及对应 $n$ 的取值范围.

14. 解:(1) 因为 $△ EFP$ 是等腰直角三角形,且 $∠ EFP=90°$,所以 $EF=FP$. 因为四边形 $ABCD$ 是长方形,$PQ⊥ AB$,所以 $∠ A=∠ PQF=90°$,所以 $∠ AFE=90°-∠ PFQ=∠ QPF$. 可证 $△ AEF≌△ QFP(\mathrm{AAS})$,所以 $FA=PQ=y$,$QF=AE=1$. 因为 $AQ=FA+QF$,所以 $x=y+1$,即 $y=x-1$.
(2) 原理:由(1)可知,点 $P$ 在以 $A$ 为原点,$AB,AD$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴的平面直角坐标系中的函数 $y=x-AE$ 的图象上运动,再根据两点确定一条直线即可作出满足条件的点 $P$.
作法:如图 1,在边 $AB$ 上取点 $N$,使得 $AN=AE$,在边 $AB$ 上任取一点 $F$,连接 $EF$,过点 $F$ 作 $PF⊥ EF$,$PF=EF$,连接 $NP$ 并延长,交 $DC$ 于点 $M$,则线段 $MN$ 即为所有满足条件的点 $P$ 的轨迹.

(3) $S=\begin{cases}\dfrac{1}{2}n^{2}(0＜ n≤ 6),\\-\dfrac{1}{2}n^{2}+12n-36(6＜ n＜ 12),\\36(n≥ 12).\end{cases}$
提示:①当 $0＜n≤6$ 时,如图 2,当点 $E$ 与点 $A$ 重合,点 $F$ 在边 $AB$ 上运动时,点 $P$ 的轨迹为线段 $AG$,且 $∠ BAG=45°$,当点 $F$ 与点 $A$ 重合,点 $E$ 在边 $AD$ 上运动时,点 $P$ 的轨迹为线段 $AB$,当点 $E,F$ 均运动时,点 $P$ 所形成的区域为等腰直角三角形 $ABG$,所以 $S=\dfrac{1}{2}n^2$;②当 $6＜n＜12$ 时,如图 3,同理可得,点 $P$ 所形成的区域为多边形 $ANPCM$,由(1),得 $PB=FA=AB-FB=AB-AD=n-6$,同理可得,$△ ADM$,$△ PBN$ 均是等腰直角三角形,所以 $S=6n-\dfrac{1}{2}×6^2-\dfrac{1}{2}(n-6)^2=-\dfrac{1}{2}n^2+12n-36$;③当 $n=12$ 时,如图 4,$PB=AD=6$,$AF=FB=6$,所以 $S=6×12-6×6=36$;④当 $n＞12$ 时,如图 5,易知四边形 $AFPM$ 为平行四边形,所以 $S=S_{\mathrm{四边形}AFPM}=6×6=36$. 综上所述,$S=\begin{cases}\dfrac{1}{2}n^{2}(0＜ n≤ 6),\\-\dfrac{1}{2}n^{2}+12n-36(6＜ n＜ 12),\\36(n≥ 12).\end{cases}$