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26.（7分）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$的值与$x$的取值无关，求$a$的值”. 通常的解题方法是：把$x,y$看作字母，$a$看作系数合并同类项，因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为$0$，即原式$=(a + 3)x - 6y + 5$，所以$a + 3 = 0$，则$a = -3$.
(1)如果关于$x$的多项式$2m^2 + (3x - 2)m - x$的值与$x$的取值无关，那么$m$的值为
(2)已知$A = 3x^2 + nx + 2n$，$B = x^2 - 2nx + x$，且$A - 3B$的值与$x$的取值无关，求$n$的值；
(3)有7张如图1的小长方形，长为$a$，宽为$b$，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图2中阴影部分），设右上角的面积为$S_1$，左下角的面积为$S_2$，设$AB = x$，若$x$变化时，$5S_1 - 3S_2$的值始终保持不变，求$a$与$b$之间的数量关系.
(1)如果关于$x$的多项式$2m^2 + (3x - 2)m - x$的值与$x$的取值无关，那么$m$的值为
$\dfrac{1}{3}$
；(2)已知$A = 3x^2 + nx + 2n$，$B = x^2 - 2nx + x$，且$A - 3B$的值与$x$的取值无关，求$n$的值；
(3)有7张如图1的小长方形，长为$a$，宽为$b$，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图2中阴影部分），设右上角的面积为$S_1$，左下角的面积为$S_2$，设$AB = x$，若$x$变化时，$5S_1 - 3S_2$的值始终保持不变，求$a$与$b$之间的数量关系.
答案
26. 【点拨】本题考查整式加减运算和单项式乘多项式的应用.
【解析】(1)关于 x 的多项式 $2m^2 + (3x - 2)m - x = (3m - 1)x + 2m^2 - 2m$,
∵ 关于 x 的多项式 $2m^2 + (3x - 2)m - x$ 的值与 x 的取值无关,
∴ 3m - 1 = 0,即 m = $\dfrac{1}{3}$. 故答案为 $\dfrac{1}{3}$.
(2)
∵ A = 3x² + nx + 2n,B = x² - 2nx + x,
∴ A - 3B
= (3x² + nx + 2n) - 3(x² - 2nx + x)
= 3x² + nx + 2n - 3x² + 6nx - 3x
= (7n - 3)x + 2n.
∵ A - 3B 的值与 x 的取值无关,
∴ 7n - 3 = 0,即 n = $\dfrac{3}{7}$.
(3)由题意得,阴影部分的面积 S₁ = a(x - 3b),S₂ = 2b(x - 2a),
∴ 5S₁ - 3S₂ = 5a(x - 3b) - 3 × 2b(x - 2a)
= 5ax - 15ab - 6bx + 12ab
= (5a - 6b)x - 3ab.
∵ 当 x 变化时,5S₁ - 3S₂ 的值始终保持不变,
∴ 5a - 6b = 0,即 5a = 6b.
【解析】(1)关于 x 的多项式 $2m^2 + (3x - 2)m - x = (3m - 1)x + 2m^2 - 2m$,
∵ 关于 x 的多项式 $2m^2 + (3x - 2)m - x$ 的值与 x 的取值无关,
∴ 3m - 1 = 0,即 m = $\dfrac{1}{3}$. 故答案为 $\dfrac{1}{3}$.
(2)
∵ A = 3x² + nx + 2n,B = x² - 2nx + x,
∴ A - 3B
= (3x² + nx + 2n) - 3(x² - 2nx + x)
= 3x² + nx + 2n - 3x² + 6nx - 3x
= (7n - 3)x + 2n.
∵ A - 3B 的值与 x 的取值无关,
∴ 7n - 3 = 0,即 n = $\dfrac{3}{7}$.
(3)由题意得,阴影部分的面积 S₁ = a(x - 3b),S₂ = 2b(x - 2a),
∴ 5S₁ - 3S₂ = 5a(x - 3b) - 3 × 2b(x - 2a)
= 5ax - 15ab - 6bx + 12ab
= (5a - 6b)x - 3ab.
∵ 当 x 变化时,5S₁ - 3S₂ 的值始终保持不变,
∴ 5a - 6b = 0,即 5a = 6b.
27. (8 分)(1)如图 1,正方形 ABCD 的四个内角$∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠D$均为直角,边 AB 在直线EF 上,$∠DAF$的平分线 AQ 交正方形的边于点 P.$∠PAB$的度数为
(2)将正方形 ABCD 绕点 A 旋转至如图 2 所示的位置,此时$∠DAE=α,∠DAF$的平分线 AQ 交正方形的边 BC 于点 P,请探究:$∠PAB$与$∠DAE$之间的数量关系是否发生改变,并说明理由;
(3)将正方形 ABCD 绕点 A 旋转至如图 3 的位置,AQ 平分$∠DAF$,请探究$∠QAB$与$∠DAE$之间的数量关系.
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45°
;$∠PAB$与$∠DAE$之间的数量关系为$∠PAB=\dfrac{1}{2}∠DAE$
;(2)将正方形 ABCD 绕点 A 旋转至如图 2 所示的位置,此时$∠DAE=α,∠DAF$的平分线 AQ 交正方形的边 BC 于点 P,请探究:$∠PAB$与$∠DAE$之间的数量关系是否发生改变,并说明理由;
(3)将正方形 ABCD 绕点 A 旋转至如图 3 的位置,AQ 平分$∠DAF$,请探究$∠QAB$与$∠DAE$之间的数量关系.
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答案
27. 【点拨】本题考查角平分线的定义、平角的定义,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
【解析】(1)由题可知,∠DAB = 90°,∠PAB = 45°,
∴ ∠DAE = 90°,
∴ ∠PAB = $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
故答案为 45°,∠PAB = $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
(2)∠PAB 与 ∠DAE 之间的数量关系没有发生改变. 理由如下:
∵ ∠DAE = α,
∴ ∠DAF = 180° - α.
∵ ∠DAF 的平分线 AQ 交正方形的边 BC 于点 P,
∴ ∠DAQ = $\dfrac{1}{2}$∠DAF = $\dfrac{1}{2}$(180° - α) = 90° - $\dfrac{1}{2}$α,
∴ ∠PAB = ∠DAB - ∠DAQ = 90° - $(90° - \dfrac{1}{2}α)$ = $\dfrac{1}{2}$α,
∴ ∠PAB = $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
(3)
∵ AQ 平分 ∠DAF,
∴ ∠DAQ = $\dfrac{1}{2}$∠DAF,
∴ ∠QAB = 90° + ∠DAQ = 90° + $\dfrac{1}{2}$∠DAF.
∵ ∠DAE = 180° - ∠DAF,
∴ $\dfrac{1}{2}$∠DAE = 90° - $\dfrac{1}{2}$∠DAF,
∴ ∠QAB = 90° + $\dfrac{1}{2}$∠DAF = 90° + $(90° - \dfrac{1}{2}∠DAE)$ = 180° - $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
【解析】(1)由题可知,∠DAB = 90°,∠PAB = 45°,
∴ ∠DAE = 90°,
∴ ∠PAB = $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
故答案为 45°,∠PAB = $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
(2)∠PAB 与 ∠DAE 之间的数量关系没有发生改变. 理由如下:
∵ ∠DAE = α,
∴ ∠DAF = 180° - α.
∵ ∠DAF 的平分线 AQ 交正方形的边 BC 于点 P,
∴ ∠DAQ = $\dfrac{1}{2}$∠DAF = $\dfrac{1}{2}$(180° - α) = 90° - $\dfrac{1}{2}$α,
∴ ∠PAB = ∠DAB - ∠DAQ = 90° - $(90° - \dfrac{1}{2}α)$ = $\dfrac{1}{2}$α,
∴ ∠PAB = $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
(3)
∵ AQ 平分 ∠DAF,
∴ ∠DAQ = $\dfrac{1}{2}$∠DAF,
∴ ∠QAB = 90° + ∠DAQ = 90° + $\dfrac{1}{2}$∠DAF.
∵ ∠DAE = 180° - ∠DAF,
∴ $\dfrac{1}{2}$∠DAE = 90° - $\dfrac{1}{2}$∠DAF,
∴ ∠QAB = 90° + $\dfrac{1}{2}$∠DAF = 90° + $(90° - \dfrac{1}{2}∠DAE)$ = 180° - $\dfrac{1}{2}$∠DAE.
