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1. 下面四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
C
).答案
1. C 【点拨】本题考查轴对称图形,中心对称图形.【解析】A是轴对称图形,不是中心对称图形;B是中心对称图形,不是轴对称图形;C是轴对称图形,也是中心对称图形;D是中心对称图形,不是轴对称图形.故选C.
解析
【分析】要判断图形是否既是轴对称图形又是中心对称图形，需先明确两个核心概念：①轴对称图形：存在一条直线，图形沿该直线对折后，直线两旁的部分能完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能与原图形完全重合。接下来逐一分析四个选项：
选项A：沿竖直中线对折后两边完全重合，是轴对称图形；旋转180°后，图形结构与原图不同，不是中心对称图形。
选项B：绕中心旋转180°后与原图重合，是中心对称图形；找不到一条直线使对折后两边重合，不是轴对称图形。
选项C：沿两条互相垂直的中线对折后都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，也是中心对称图形。
选项D：绕中心旋转180°后与原图重合，是中心对称图形；找不到一条直线使对折后两边重合，不是轴对称图形。
综上，符合条件的是选项C。
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各选项逐一判定：
1. 选项A：是轴对称图形，不是中心对称图形；
2. 选项B：是中心对称图形，不是轴对称图形；
3. 选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形；
4. 选项D：是中心对称图形，不是轴对称图形。
因此答案为C。
【答案】C
【知识点】轴对称图形、中心对称图形
【点评】本题考查轴对称图形与中心对称图形的基本概念，属于基础题型，只需准确掌握两种对称图形的判定方法，逐一分析选项即可得出结果。
【难度系数】0.7
选项A：沿竖直中线对折后两边完全重合，是轴对称图形；旋转180°后，图形结构与原图不同，不是中心对称图形。
选项B：绕中心旋转180°后与原图重合，是中心对称图形；找不到一条直线使对折后两边重合，不是轴对称图形。
选项C：沿两条互相垂直的中线对折后都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，也是中心对称图形。
选项D：绕中心旋转180°后与原图重合，是中心对称图形；找不到一条直线使对折后两边重合，不是轴对称图形。
综上，符合条件的是选项C。
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各选项逐一判定：
1. 选项A：是轴对称图形，不是中心对称图形；
2. 选项B：是中心对称图形，不是轴对称图形；
3. 选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形；
4. 选项D：是中心对称图形，不是轴对称图形。
因此答案为C。
【答案】C
【知识点】轴对称图形、中心对称图形
【点评】本题考查轴对称图形与中心对称图形的基本概念，属于基础题型，只需准确掌握两种对称图形的判定方法，逐一分析选项即可得出结果。
【难度系数】0.7
2. 从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球,该球是红球,这个事件是(
A.必然事件
B.随机事件
C.不可能事件
D.都有可能
B
).A.必然事件
B.随机事件
C.不可能事件
D.都有可能
答案
2. B 【点拨】本题考查必然事件,随机事件,不可能事件的概念.【解析】从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球,该球是红球,是随机事件.故选B.
解析
【分析】首先明确必然事件、随机事件、不可能事件的定义：必然事件是一定发生的事件；不可能事件是一定不会发生的事件；随机事件是可能发生也可能不发生的事件。题目中袋子装有红球、白球、黑球，任意摸一个球，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，据此判断事件类型。
【解析】根据事件分类的定义：必然事件是在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是在一定条件下必然不发生的事件；随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。本题中袋子有三种颜色的球，摸出红球这件事可能发生也可能不发生，属于随机事件，因此选B。
【答案】B
【知识点】随机事件；事件的分类
【点评】本题考查概率部分的基础概念，属于概念识记类题目，难度低，只要准确掌握三种事件的定义就能快速解答，是初中数学的基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】根据事件分类的定义：必然事件是在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是在一定条件下必然不发生的事件；随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。本题中袋子有三种颜色的球，摸出红球这件事可能发生也可能不发生，属于随机事件，因此选B。
【答案】B
【知识点】随机事件；事件的分类
【点评】本题考查概率部分的基础概念，属于概念识记类题目，难度低，只要准确掌握三种事件的定义就能快速解答，是初中数学的基础题型。
【难度系数】0.9
3. 若分式$\dfrac{x+2}{2x+1}$有意义,则$x$的取值范围是(
A.$x ＞ -2$
B.$x ＞ -\dfrac{1}{2}$
C.$x ≠ -2$
D.$x ≠ -\dfrac{1}{2}$
D
).A.$x ＞ -2$
B.$x ＞ -\dfrac{1}{2}$
C.$x ≠ -2$
D.$x ≠ -\dfrac{1}{2}$
答案
3. D 【点拨】本题考查分式有意义的条件.【解析】$\because$ 分式$\frac{x+2}{2x+1}$有意义,$\therefore 2x+1≠0$,解得$x≠ -\frac{1}{2}$.故选D.
解析
【分析】要确定分式有意义时x的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此只需让题目中分式的分母不等于0，解出对应的x值，再匹配选项即可得出答案。
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{x+2}{2x+1}$，其分母为$2x+1$，故需满足$2x+1≠0$。解该不等式：移项得$2x≠-1$，两边同时除以2，得$x≠-\dfrac{1}{2}$，对应选项为D。
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本条件，属于概念类基础题，难度较低，只要牢记分式分母不为0的知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{x+2}{2x+1}$，其分母为$2x+1$，故需满足$2x+1≠0$。解该不等式：移项得$2x≠-1$，两边同时除以2，得$x≠-\dfrac{1}{2}$，对应选项为D。
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本条件，属于概念类基础题，难度较低，只要牢记分式分母不为0的知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
4. 国际奥委会于2001年7月13日在莫斯科举行会议,通过投票确定2008年奥运会举办城市.在第二轮投票中,北京获得总计105张选票中的56票,得票率超过50% ,获得了2008年奥运会举办权.在第二轮投票中,北京得票的频数是(
A.50%
B.$\dfrac{56}{105}$
C.56
D.105
C
).A.50%
B.$\dfrac{56}{105}$
C.56
D.105
答案
4. C 【点拨】本题考查频数的概念.【解析】在总计105张选票中,北京得56票,$\therefore$ 北京得票的频数是56.故选C.
解析
【分析】首先明确频数的定义：频数是指某个统计对象出现的次数。本题需区分频数、频率、总票数的概念：A选项50%是得票率（频率相关），B选项$\dfrac{56}{105}$是得票的频率，C选项56是北京得票的次数（即频数），D选项105是总票数，结合概念即可选出答案。
【解析】根据频数的定义，频数是某个对象出现的次数。本题中，北京在第二轮投票中得票的次数为56票，总票数为105张。分析各选项：A是得票率，B是得票频率，C是北京得票的频数，D是总票数，因此北京得票的频数是56，故选C。
【答案】C
【知识点】频数的概念
【点评】本题考查统计基础概念的辨析，准确掌握频数、频率、总票数的定义即可快速解题，属于基础概念题。
【难度系数】0.8
【解析】根据频数的定义，频数是某个对象出现的次数。本题中，北京在第二轮投票中得票的次数为56票，总票数为105张。分析各选项：A是得票率，B是得票频率，C是北京得票的频数，D是总票数，因此北京得票的频数是56，故选C。
【答案】C
【知识点】频数的概念
【点评】本题考查统计基础概念的辨析，准确掌握频数、频率、总票数的定义即可快速解题，属于基础概念题。
【难度系数】0.8
5. 下列各式的因式分解正确的是(
A.$ a^3 - a = a(a^2 - 1) $
B.$ a^2 - 4b^2 = (a + 4b)(a - 4b) $
C.$ a^2 - 2a - 8 = a(a - 2) - 8 $
D.$ a^2 - a + \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 $
D
).A.$ a^3 - a = a(a^2 - 1) $
B.$ a^2 - 4b^2 = (a + 4b)(a - 4b) $
C.$ a^2 - 2a - 8 = a(a - 2) - 8 $
D.$ a^2 - a + \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 $
答案
5. D 【点拨】本题考查因式分解,平方差公式和完全平方公式.【解析】$a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a + 1)(a - 1)$,A不正确;$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a + 2b)(a - 2b)$,B不正确;$a^2 - 2a - 8 = (a + 2)(a - 4)$,C不正确;$a^2 - a + \frac{1}{4} = a^2 - 2×\frac{1}{2}a + (\frac{1}{2})^2 = (a - \frac{1}{2})^2$,D正确.故选D.
解析
【分析】
本题考查因式分解的正确性判断，解题思路：首先明确因式分解的核心要求——结果需为几个整式的乘积形式，且要分解到每一个因式都无法再分解；再逐一分析每个选项，结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式的规则判断正误。
【解析】
对各选项逐一分析：
1. 选项A：$a^3 - a$，先提公因式得$a(a^2 -1)$，但$a^2 -1$可利用平方差公式继续分解为$(a+1)(a-1)$，分解不彻底，故A错误。
2. 选项B：$a^2 -4b^2$，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，其中$y=2b$，正确分解应为$(a+2b)(a-2b)$，而非$(a+4b)(a-4b)$，故B错误。
3. 选项C：$a^2 -2a -8$，因式分解结果必须是整式乘积形式，而该选项结果为$a(a-2)-8$，是差的形式，不符合要求，正确分解为$(a+2)(a-4)$，故C错误。
4. 选项D：$a^2 -a +\frac{1}{4}$，符合完全平方公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，其中$x=a$，$y=\frac{1}{2}$，$2xy=2×a×\frac{1}{2}=a$，分解为$(a-\frac{1}{2})^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是初中数学基础题型，需掌握因式分解的定义（结果为整式乘积、分解彻底），以及平方差、完全平方公式的正确应用，是整式运算的核心基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.3
本题考查因式分解的正确性判断，解题思路：首先明确因式分解的核心要求——结果需为几个整式的乘积形式，且要分解到每一个因式都无法再分解；再逐一分析每个选项，结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式的规则判断正误。
【解析】
对各选项逐一分析：
1. 选项A：$a^3 - a$，先提公因式得$a(a^2 -1)$，但$a^2 -1$可利用平方差公式继续分解为$(a+1)(a-1)$，分解不彻底，故A错误。
2. 选项B：$a^2 -4b^2$，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，其中$y=2b$，正确分解应为$(a+2b)(a-2b)$，而非$(a+4b)(a-4b)$，故B错误。
3. 选项C：$a^2 -2a -8$，因式分解结果必须是整式乘积形式，而该选项结果为$a(a-2)-8$，是差的形式，不符合要求，正确分解为$(a+2)(a-4)$，故C错误。
4. 选项D：$a^2 -a +\frac{1}{4}$，符合完全平方公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，其中$x=a$，$y=\frac{1}{2}$，$2xy=2×a×\frac{1}{2}=a$，分解为$(a-\frac{1}{2})^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是初中数学基础题型，需掌握因式分解的定义（结果为整式乘积、分解彻底），以及平方差、完全平方公式的正确应用，是整式运算的核心基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.3
6. “孔子周游列国”是流传很广的故事. 相传有一次他和学生到离他们住的驿站 30 里的书院参观,学生步行出发1小时后,孔子坐牛车出发,牛车的速度是步行的1.5倍,孔子和学生同时到达书院.设学生步行的速度为每小时 $ x $ 里,则可列方程为(
A.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x} + 1$
B.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x + 1}$
C.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x} - 1$
D.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x - 1}$
A
).A.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x} + 1$
B.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x + 1}$
C.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x} - 1$
D.$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x - 1}$
答案
6. A 【点拨】本题考查列分式方程解应用题.【解析】设学生步行的速度为每小时 $x$ 里,则牛车的速度是每小时 $1.5x$ 里,根据题意得$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x} + 1$.故选A.
解析
【分析】
本题是行程问题中的分式方程应用题，核心是找准时间的等量关系。首先，学生步行速度为$x$里/小时，路程30里，可求出学生步行到书院的时间；孔子坐牛车速度为$1.5x$里/小时，同路程30里，可求出牛车行驶时间。由于学生先出发1小时且两人同时到达，说明学生总时间比牛车行驶时间多1小时，据此建立等式即可列出方程。
【解析】
设学生步行的速度为每小时$x$里，则牛车的速度为每小时$1.5x$里。
根据“时间=路程÷速度”：
学生步行到书院的时间为$\frac{30}{x}$小时；
牛车行驶到书院的时间为$\frac{30}{1.5x}$小时。
因为学生先出发1小时，最终两人同时到达，所以学生步行的时间比牛车行驶的时间多1小时，据此列方程：
$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x} + 1$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题属于基础的行程类分式方程应用题，解题关键是理清两人的时间差关系，避免混淆时间的加减方向，是分式方程应用中的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是行程问题中的分式方程应用题，核心是找准时间的等量关系。首先，学生步行速度为$x$里/小时，路程30里，可求出学生步行到书院的时间；孔子坐牛车速度为$1.5x$里/小时，同路程30里，可求出牛车行驶时间。由于学生先出发1小时且两人同时到达，说明学生总时间比牛车行驶时间多1小时，据此建立等式即可列出方程。
【解析】
设学生步行的速度为每小时$x$里，则牛车的速度为每小时$1.5x$里。
根据“时间=路程÷速度”：
学生步行到书院的时间为$\frac{30}{x}$小时；
牛车行驶到书院的时间为$\frac{30}{1.5x}$小时。
因为学生先出发1小时，最终两人同时到达，所以学生步行的时间比牛车行驶的时间多1小时，据此列方程：
$\frac{30}{x} = \frac{30}{1.5x} + 1$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题属于基础的行程类分式方程应用题，解题关键是理清两人的时间差关系，避免混淆时间的加减方向，是分式方程应用中的典型题型。
【难度系数】
0.7
