7. 如图,在梯形ABCD中,如果点A沿AD所在的直线向右移动,与点D重合后停止移动,这个图形的变化过程是().

A.梯形→平行四边形→梯形→三角形
B.梯形→平行四边形→三角形→梯形
C.梯形→三角形→平行四边形→三角形
D.梯形→三角形→平行四边形→梯形

7. A 【点拨】本题考查三角形、梯形、平行四边形的定义.【解析】如果点A沿AD所在的直线向右移动,与点D重合后停止移动,这个图形的变化过程是梯形→平行四边形→梯形→三角形.故选A.

【分析】
要判断图形的变化过程，需结合梯形、平行四边形、三角形的定义，分析点A沿AD向右移动时，图形各边的平行关系变化：初始状态下，AD与BC平行，AB和CD不平行，图形为梯形；当点A向右移动至AB与CD平行时，AD与BC平行且相等，图形变为平行四边形；继续移动，AB与CD不再平行，图形再次变为梯形；当点A移动至与D重合时，图形最终变为三角形。
【解析】
1. 初始阶段：AD//BC，AB与CD不平行，符合梯形定义，图形为梯形；
2. 移动过程中，当AB//CD时，AD与BC平行且相等，符合平行四边形定义，图形变为平行四边形；
3. 继续移动，AB与CD不再平行，图形重新变为梯形；
4. 当点A与D重合时，图形由三条线段BC、CD、DB围成，符合三角形定义，图形变为三角形。
因此图形的变化过程是梯形→平行四边形→梯形→三角形，对应选项A。
【答案】A
【知识点】梯形、平行四边形、三角形的定义
【点评】本题考查基本平面图形的识别，核心是分析点移动过程中边的平行关系变化，明确不同图形的特征即可解题，属于基础题。
【难度系数】0.5

8. 如图,在矩形ABCD中,E是CD的中点,点F在BD上,BF = 3DF,若AB = 4,BC = 3,则EF的长为().

A.1
B.$\dfrac{5}{4}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{5}{2}$

8. B 【点拨】本题考查矩形的性质,三角形中位线的性质.【解析】如题图,连接AC交BD于点O.$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ ABC = 90°, AC = BD, CO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = BO = OD$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.又$\because BF = 3DF$,$\therefore OF = DF$.又$\because E$是DC的中点,$\therefore DE = CE$,$\therefore EF$是$△ DOC$的中位线,$\therefore EF = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{4}AC = \frac{5}{4}$.故选B.

【分析】
要计算EF的长度，需结合矩形性质与三角形中位线定理求解：首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，求出对角线长度；再根据BF=3DF确定点F在BD上的位置，结合E是CD中点，构造三角形中位线，进而计算EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，AC=BD，且OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，即OC=OD。
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，由勾股定理得：
AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5，
∴ BD=AC=5，OD=½BD=5/2。
又
∵ BF=3DF，BD=DF+BF=DF+3DF=4DF，
∴ DF=BD/4=5/4，
∴ OF=OD - DF=5/2 -5/4=5/4，即F为OD的中点。
∵ E是CD的中点，
∴ 在△DOC中，EF是中位线，
∴ EF=½OC。
又
∵ OC=½AC=5/2，
∴ EF=½×(5/2)=5/4。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题通过矩形对角线的性质确定中点，结合线段比例找到F点位置，利用三角形中位线定理计算线段长度，辅助线构造是解题关键，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

9. 根据市生态环境局发布的数据,2023年上半年,全市环境空气质量优良天数所占比率为80.77%.要调查市区环境空气质量状况,适合的调查方式是.(填“普查”或“抽样调查”)

9. 抽样调查 【点拨】本题考查普查与抽样调查.【解析】根据题意,调查市区环境空气质量状况适合的调查方式是抽样调查.故答案为抽样调查.

【分析】要确定调查方式，需先明确普查和抽样调查的特点：普查是对所有考察对象进行调查，结果精确，但工作量大、成本高；抽样调查是抽取部分样本调查，适合范围广、难以全面调查的场景。本题调查市区环境空气质量，市区范围大，无法对所有区域的空气质量逐一检测，因此适合抽样调查。
【解析】市区环境空气质量的调查范围较广，若采用普查，需要检测所有区域的空气质量，工作量极大且难以实现，因此根据调查方式的适用条件，应选择抽样调查。
【答案】抽样调查
【知识点】抽样调查、普查
【点评】本题考查统计中调查方式的选择，属于基础知识点，需准确区分两种调查方式的适用场景，是统计部分的常见基础考题。
【难度系数】0.8

10. 学校举办了“中国古诗词大赛”,七年级、八年级、九年级进入决赛的学生占比如图所示,则表示七年级学生占比的扇形圆心角度数为°.

10. 36 【点拨】本题考查扇形统计图.【解析】七年级进入决赛的学生占比为$1 - 60\% - 30\% = 10\%$,$10\% × 360° = 36°$.故答案为36.

【分析】首先明确扇形统计图的特点：整个圆的圆心角为360°，各部分占总体的百分比之和为100%。要计算七年级学生占比对应的扇形圆心角度数，需先求出七年级的占比，再用该占比乘以360°即可得到结果。
【解析】
1. 计算七年级学生的占比：因为各年级占比总和为100%，所以七年级占比 = 1 - 九年级占比 - 八年级占比 = 1 - 60% - 30% = 10%。
2. 计算七年级对应的扇形圆心角度数：扇形圆心角度数 = 该部分占比 × 360°，即10% × 360° = 36°。
【答案】36
【知识点】扇形统计图、圆心角计算
【点评】本题考查扇形统计图的基础应用，核心是掌握“部分占比×360°=对应扇形圆心角度数”的关系，属于简单的基础题型，学生易掌握。
【难度系数】0.8

11. 因式分解:$6x - 9xy =$.

11. $3x(2 - 3y)$ 【点拨】本题考查用提公因式法进行因式分解.【解析】由题意,知$6x - 9xy = 3x(2 - 3y)$.故答案为$3x(2 - 3y)$.

【分析】
要对式子$6x - 9xy$因式分解，首先观察各项，确定公因式：系数部分$6$和$9$的最大公约数是$3$，字母部分都含有$x$且$x$的最低次幂为$1$次，因此公因式为$3x$；再提取公因式，将原式转化为公因式与剩余部分乘积的形式，即可得到结果。
【解析】
解：对$6x - 9xy$提取公因式$3x$，得：
$6x - 9xy = 3x · 2 - 3x · 3y = 3x(2 - 3y)$
【答案】
$3x(2 - 3y)$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，属于巩固因式分解基础的常规题目。
【难度系数】
0.9

12. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点,所形成的四边形是.

12. 菱形 【点拨】本题考查三角形中位线的性质,菱形的判定.【解析】在四边形ABCD中,$AC = BD$,$E$,$F$,$G$,$H$分别是$AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,$\therefore EF$,$GH$分别是$△ ABC$与$△ ADC$的中位线,$\therefore EF = \frac{1}{2}AC = GH$.同理$EH = FG = \frac{1}{2}BD$.又$\because AC = BD$,$\therefore EF = GH = EH = FG$,$\therefore$ 四边形EFGH是菱形.故答案为菱形.

【分析】要判断顺次连接对角线相等的四边形各边中点形成的四边形形状，需利用三角形中位线的性质。首先设原四边形为ABCD，其对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点；接着根据三角形中位线定理，推导各中点连线与原四边形对角线的数量关系；最后结合已知AC=BD的条件，得出新四边形的四边相等，进而判定其形状。
【解析】在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，因此EF是△ABC的中位线，故EF=½AC；GH是△ADC的中位线，故GH=½AC，所以EF=GH=½AC。同理，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，因此EH=½BD，FG=½BD，即EH=FG=½BD。由于AC=BD，所以EF=GH=EH=FG，根据“四边相等的四边形是菱形”，可判定四边形EFGH是菱形。
【答案】菱形
【知识点】三角形中位线性质、菱形的判定
【点评】本题考查三角形中位线定理和菱形的判定，核心是利用中位线将原四边形对角线的关系转化为新四边形边的关系，属于基础几何题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5

13. 如图，CD是$△ ABC$边AB上的高，且$AB=AC=4$，$∠ ABC=15°$，则$△ ABC$的面积为________.

13. 4 【点拨】本题考查直角三角形的性质和三角形外角的性质.【解析】$\because AB = AC = 4$,$∠ ABC = 15°$,$\therefore ∠ ACB = ∠ ABC = 15°$,$\therefore ∠ DAC = ∠ ACB + ∠ ABC = 30°$.$\because CD$是$△ ABC$边AB上的高,$\therefore ∠ D = 90°$,$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 2$,则$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$.故答案为4.

【分析】
要计算△ABC的面积，已知AB=4，需先求出AB边上的高CD。首先由AB=AC确定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等得到∠ACB=∠ABC=15°；再根据三角形外角的性质，算出∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°；结合CD是AB边上的高，得到△ADC是直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出CD，最后用三角形面积公式计算结果。
【解析】
∵ AB = AC = 4，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ACB = ∠ABC = 15°，
根据三角形外角的性质，∠DAC = ∠ABC + ∠ACB = 15° + 15° = 30°，
∵ CD是△ABC边AB上的高，
∴ ∠ADC = 90°，即△ADC为直角三角形，
在Rt△ADC中，∠DAC=30°，
∴ CD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4 = 2，
根据三角形面积公式，$S_{△ABC} = \frac{1}{2}×AB×CD = \frac{1}{2}×4×2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合等腰三角形、直角三角形的性质及三角形外角的性质，通过角度推导求出三角形的高，进而计算面积，属于基础几何计算题，侧重考查对基本几何性质的应用。
【难度系数】
0.6

14. 如图, 在平行四边形 $ABCD$ 中, $E$ 是 $BC$ 的中点, 且 $BC = 2AB = 2$, 当 $∠ B = 60°$ 时, $DE$ 的长为$\underline{\hspace{3em}}$.

14. $\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理.【解析】$\because BC = 2AB = 2$,$E$是$BC$的中点,$\therefore AB = BE = EC = 1$.$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AB // CD$,$AB = CD = 1$,$AD = BC = 2$,$\therefore AB = BE = EC = CD = 1$.$\because ∠ B = 60°$,$AB // CD$,$\therefore ∠ BCD = 120°$.$\because AB = BE$,$∠ B = 60°$,$\therefore △ ABE$是等边三角形,$\therefore AE = AB = 1$,$∠ AEB = 60°$.又$\because CE = CD$,$\therefore ∠ CED = ∠ CDE = \frac{1}{2} × (180° - 120°) = 30°$,$\therefore ∠ AED = 180° - ∠ AEB - ∠ CED = 90°$,$\therefore DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.故答案为$\sqrt{3}$.

【分析】要计算DE的长度，需先结合已知条件推导各边、角的关系：由BC=2AB=2及E是BC中点，得AB=BE=EC=1；利用∠B=60°判定△ABE为等边三角形，得到AE的长度和∠AEB的度数；再根据平行四边形性质，得CD=AB=1、∠BCD=120°，进而判定△CDE为等腰三角形，算出∠CED的度数；最后确定△AED为直角三角形，用勾股定理计算DE。
【解析】
∵ BC = 2AB = 2，E是BC的中点，
∴ AB = 1，BE = EC = 1，即AB = BE = EC = 1。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD = 1，AD = BC = 2，
∴ CD = EC = 1，∠BCD = 180°−∠B = 180°−60°=120°。
∵ AB = BE，∠B = 60°，
∴ △ABE是等边三角形，
∴ AE = AB = 1，∠AEB = 60°。
在△CDE中，CD = EC = 1，∠BCD = 120°，
∴ ∠CED = ∠CDE = (180°−120°)÷2 = 30°。
∴ ∠AED = 180°−∠AEB−∠CED = 180°−60°−30°=90°，即△AED是直角三角形。
根据勾股定理，DE = √(AD²−AE²) = √(2²−1²)=√3。
【答案】√3
【知识点】平行四边形性质、等边三角形判定、勾股定理
【点评】本题综合运用平行四边形的性质、特殊三角形的判定与性质，解题核心是通过边和角的关系构造直角三角形，利用勾股定理求解，考查学生的逻辑推理能力，难度适中。
【难度系数】0.5

15. 如图,在四边形ABCD中,∠B = ∠D = 90°,AD = CD = 7,四边形ABCD的面积为36,则边AB的长为.

15. $6 - \sqrt{13}$ 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的判定.【解析】如题图,作$DE ⊥ BA$交BA的延长线于点E,$DF ⊥ BC$于点F,则$∠ E = ∠ CFD = ∠ BFD = 90°$.$\because ∠ B = ∠ ADC = 90°$,$AD = CD = 7$,$∠ EDF = 360° - ∠ E - ∠ B - ∠ BFD = 90°$,$\therefore ∠ ADE = ∠ CDF = 90° - ∠ ADF$.$\because ∠ E = ∠ B = ∠ BFD = 90°$,$\therefore$ 四边形BEDF是矩形.$\because ∠ ADE = ∠ CDF$,$∠ E = ∠ CFD$,$AD = CD$,$\therefore △ ADE ≌ △ CDF(\mathrm{AAS})$,$\therefore DE = DF$,$S_{△ ADE} = S_{△ CDF}$,$\therefore$ 四边形BEDF是正方形.$\because S_{\mathrm{四边形}ABCD} = 36$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABFD} + S_{△ CDF} = S_{\mathrm{四边形}ABFD} + S_{△ ADE} = 36$,即$DE^2 = 36$,$\therefore BE = DE = 6$,$\therefore AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{7^2 - 6^2} = \sqrt{13}$,$\therefore AB = BE - AE = 6 - \sqrt{13}$.故答案为$6 - \sqrt{13}$.

【分析】要解决本题，需通过作辅助线构造全等三角形，将不规则四边形转化为规则的正方形，利用全等三角形的性质和正方形的面积公式求出边长，再结合勾股定理计算线段长度。具体思路：作两条高构造矩形，再证明三角形全等得到邻边相等，推出正方形，利用面积求边长，最后用勾股定理算出线段差得到AB的长。
【解析】如图，作$DE ⊥ BA$交BA的延长线于点E，$DF ⊥ BC$于点F，则$∠ E = ∠ CFD = ∠ BFD = 90°$。
因为$∠ B = ∠ ADC = 90°$，所以$∠ EDF = 360° - ∠ E - ∠ B - ∠ BFD = 90°$，进而$∠ ADE = ∠ CDF = 90° - ∠ ADF$。
又$∠ E = ∠ CFD = 90°$，$AD = CD = 7$，所以$△ ADE ≌ △ CDF$（AAS），得$DE = DF$，且$S_{△ ADE} = S_{△ CDF}$。
由此可知四边形BEDF是矩形，且邻边$DE = DF$，故四边形BEDF是正方形。
已知四边形ABCD的面积为36，而$S_{四边形ABCD} = S_{正方形BEDF} = 36$，因此正方形边长$BE = DE = 6$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{7^2 - 6^2} = \sqrt{13}$，所以$AB = BE - AE = 6 - \sqrt{13}$。
【答案】$6 - \sqrt{13}$
【知识点】全等三角形判定、正方形的判定、勾股定理
【点评】本题通过辅助线将不规则四边形转化为正方形，考查几何转化思想，需掌握全等三角形和正方形的性质，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.4

16. 如图,在矩形ABCD中,$DC=2,∠DAC=30°$,P是边AD上一个动点,过点P作$PG⊥AC$,垂足为G,连接BP,取BP的中点E,连接EG,则线段EG的最小值为.

16. $\frac{1}{2}$ 【点拨】本题考查三角形中位线的性质,矩形的性质,含30°角的直角三角形的性质.【解析】如图,延长PG,使$PG = GQ$,连接BQ,$\because PG ⊥ AC$,$AQ$,$G$为$PQ$的中点,$\therefore AQ = AP$,$\therefore △ APQ$是等腰三角形.又$\because G$为$PQ$的中点,$\therefore AG$平分$∠ PAQ$.$\because ∠ DAC = 30°$,$\therefore ∠ PAQ = 60°$,$\therefore ∠ BAQ = 30°$.$\because E$是$PB$的中点,$\therefore EG$是$△ PBQ$的中位线,$\therefore EG = \frac{1}{2}BQ$,当$BQ$最小时,$EG$有最小值,当$BQ ⊥ AQ$时,$BQ$最小,此时$BQ = \frac{1}{2}AB = 1$,$\therefore EG$的最小值为$\frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2}$.故答案为$\frac{1}{2}$.

【分析】要找到EG的最小值，可利用三角形中位线的性质转化线段关系：延长PG至Q使GQ=PG，此时G为PQ中点，结合E是BP中点，可得EG是△PBQ的中位线，即EG=½BQ，因此只需找到BQ的最小值即可。结合矩形性质和含30°角的直角三角形特征，当BQ⊥AQ时BQ最短，进而计算出EG的最小值。
【解析】在矩形ABCD中，DC=AB=2，∠ADC=90°，∠DAC=30°，故AC=2DC=4，AD=2√3。延长PG到Q，使GQ=PG，连接BQ。因为PG⊥AC，所以AG垂直平分PQ，得AQ=AP，∠PAQ=2∠DAC=60°，则∠BAQ=∠BAD - ∠PAQ=90°-60°=30°。又E是BP中点，G是PQ中点，所以EG是△PBQ的中位线，因此EG=½BQ。当BQ⊥AQ时，BQ最小，此时在Rt△ABQ中，∠BAQ=30°，AB=2，故BQ=½AB=1，所以EG的最小值为½×1=½。
【答案】$\frac{1}{2}$
【知识点】矩形的性质、三角形中位线、含30°角的直角三角形性质
【点评】本题通过构造中位线转化线段，将复杂的线段最小值问题简化为垂线段最短问题，考查几何转化思想，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】0.5