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三、解答题(本大题共 11 小题,共 82 分.解答应写出过程)
17. (5 分)解分式方程:$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1.$
17. (5 分)解分式方程:$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1.$
答案
17. 【点拨】本题考查解分式方程.【解析】$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1$ 可化为$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{(x + 1)(x - 1)} = 1$,去分母,得$(x + 1)^2 + 4 = (x + 1)(x - 1)$,解得$x = -3$.经检验,$x = -3$是原方程的解.
解析
【分析】解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，关键步骤为：先确定最简公分母，通过去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程后，必须检验所得根是否使原分式方程的分母不为0，排除增根。本题先将分母$x^2-1$因式分解，找到最简公分母，再按步骤去分母、解方程、检验即可。
【解析】原方程$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1$，先对分母因式分解：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，原方程化为：
$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{(x + 1)(x - 1)} = 1$
两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（注意$x≠±1$），去分母得：
$(x + 1)^2 + 4 = (x + 1)(x - 1)$
展开并化简：
左边：$x^2 + 2x +1 +4 =x^2 +2x +5$
右边：$x^2 -1$
移项合并同类项：$2x +6=0$
解得：$x=-3$
检验：把$x=-3$代入原方程分母，$x-1=-4≠0$，$x^2 -1=8≠0$，故$x=-3$是原方程的解。
【答案】$x=-3$
【知识点】解分式方程，分式方程的增根检验
【点评】本题是初中数学基础题型，考查分式方程的标准解法，需注意去分母时常数项不能漏乘，以及必须检验根的合理性，是分式方程求解的常规考点，步骤清晰易掌握。
【难度系数】0.7
【解析】原方程$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{x^2 - 1} = 1$，先对分母因式分解：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，原方程化为：
$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{4}{(x + 1)(x - 1)} = 1$
两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（注意$x≠±1$），去分母得：
$(x + 1)^2 + 4 = (x + 1)(x - 1)$
展开并化简：
左边：$x^2 + 2x +1 +4 =x^2 +2x +5$
右边：$x^2 -1$
移项合并同类项：$2x +6=0$
解得：$x=-3$
检验：把$x=-3$代入原方程分母，$x-1=-4≠0$，$x^2 -1=8≠0$，故$x=-3$是原方程的解。
【答案】$x=-3$
【知识点】解分式方程，分式方程的增根检验
【点评】本题是初中数学基础题型，考查分式方程的标准解法，需注意去分母时常数项不能漏乘，以及必须检验根的合理性，是分式方程求解的常规考点，步骤清晰易掌握。
【难度系数】0.7
18. (5 分)因式分解: $-2ax^2 + 8axy - 8ay^2$.
答案
18. 【点拨】本题考查因式分解.【解析】
$\begin{aligned}-2ax^2 + 8axy - 8ay^2 &= -2a(x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= -2a(x - 2y)^2.\end{aligned}$
$\begin{aligned}-2ax^2 + 8axy - 8ay^2 &= -2a(x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= -2a(x - 2y)^2.\end{aligned}$
解析
【分析】本题是因式分解题，解题思路为：先观察多项式各项，提取公因式，再对提取公因式后剩余的多项式利用完全平方公式进一步分解，确保分解彻底。
【解析】$\begin{aligned}-2ax^2 + 8axy - 8ay^2 &= -2a(x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= -2a(x - 2y)^2.\end{aligned}$
【答案】$-2a(x - 2y)^2$
【知识点】因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】本题考查因式分解的基础方法，属于常规题型，解题时需先提取公因式，再运用完全平方公式分解，避免分解不彻底的问题。
【难度系数】0.8
【解析】$\begin{aligned}-2ax^2 + 8axy - 8ay^2 &= -2a(x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= -2a(x - 2y)^2.\end{aligned}$
【答案】$-2a(x - 2y)^2$
【知识点】因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】本题考查因式分解的基础方法，属于常规题型，解题时需先提取公因式，再运用完全平方公式分解，避免分解不彻底的问题。
【难度系数】0.8
19. (6 分)先化简:$\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x + 2} ÷ (1 - \dfrac{4}{x + 2})$，然后从 2,0,-2 中选一个合适的数代入求值.
答案
19. 【点拨】本题考查分式的化简、求值.【解析】
$\begin{aligned}\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 2} ÷ (1 - \frac{4}{x + 2}) &= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ÷ \frac{x - 2}{x + 2} \\&= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} × \frac{x + 2}{x - 2} \\&= x - 2.\end{aligned}$
$\because x + 2 ≠ 0$ 且 $\frac{x - 2}{x + 2} ≠ 0$,$\therefore x ≠ -2$ 且 $x ≠ 2$.
当$x = 0$时,原式$= 0 - 2 = -2$.
$\begin{aligned}\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 2} ÷ (1 - \frac{4}{x + 2}) &= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ÷ \frac{x - 2}{x + 2} \\&= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} × \frac{x + 2}{x - 2} \\&= x - 2.\end{aligned}$
$\because x + 2 ≠ 0$ 且 $\frac{x - 2}{x + 2} ≠ 0$,$\therefore x ≠ -2$ 且 $x ≠ 2$.
当$x = 0$时,原式$= 0 - 2 = -2$.
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先处理括号内的分式减法，将1转化为分母为$x+2$的分式，通分后合并分子；第二步，对原式中分子$x^2 -4x +4$进行因式分解，利用完全平方公式分解为$(x-2)^2$；第三步，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；第四步，对约分得到最简结果；最后，根据分式有意义的条件（分母不为0），从给定的数中选取合适的数代入计算。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 2} ÷ (1 - \frac{4}{x + 2}) &= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ÷ \frac{x + 2 - 4}{x + 2} \\&= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ÷ \frac{x - 2}{x + 2} \\&= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} × \frac{x + 2}{x - 2} \\&= x - 2.\end{aligned}$
因为分式有意义，所以$x + 2 ≠ 0$且$x - 2 ≠ 0$，即$x ≠ -2$且$x ≠ 2$，因此只能选$x = 0$代入，原式$= 0 - 2 = -2$。
【答案】
化简结果为$x - 2$，当$x = 0$时，值为$-2$
【知识点】
分式的化简、分式的求值
【点评】
本题考查分式的基本运算，核心是通分、因式分解和约分，解题关键是牢记分式有意义的条件，避免选取使分母为0的数值，属于基础运算题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先处理括号内的分式减法，将1转化为分母为$x+2$的分式，通分后合并分子；第二步，对原式中分子$x^2 -4x +4$进行因式分解，利用完全平方公式分解为$(x-2)^2$；第三步，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；第四步，对约分得到最简结果；最后，根据分式有意义的条件（分母不为0），从给定的数中选取合适的数代入计算。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 2} ÷ (1 - \frac{4}{x + 2}) &= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ÷ \frac{x + 2 - 4}{x + 2} \\&= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} ÷ \frac{x - 2}{x + 2} \\&= \frac{(x - 2)^2}{x + 2} × \frac{x + 2}{x - 2} \\&= x - 2.\end{aligned}$
因为分式有意义，所以$x + 2 ≠ 0$且$x - 2 ≠ 0$，即$x ≠ -2$且$x ≠ 2$，因此只能选$x = 0$代入，原式$= 0 - 2 = -2$。
【答案】
化简结果为$x - 2$，当$x = 0$时，值为$-2$
【知识点】
分式的化简、分式的求值
【点评】
本题考查分式的基本运算，核心是通分、因式分解和约分，解题关键是牢记分式有意义的条件，避免选取使分母为0的数值，属于基础运算题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
20. (6分)自18世纪以来,一些统计学家做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表.
| 试验者 | 试验次数$n$ | 正面朝上的频数$m$ | 正面朝上的频率$\dfrac{m}{n}$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 布丰 | 4 040 | 2 048 | 0.506 9 |
| 德·摩根 | 4 092 | 2 048 | 0.500 5 |
| 费勒 | 10 000 |
979 | $a$ |
| 皮尔逊 | 12 000 | 6 019 | 0.501 6 |
| 皮尔逊 | 24 000 | 12 012 | $b$ |
| 罗曼诺夫斯基 | 80 640 | 39 699 | 0.492 3 |
(1)表中的$a=$
(2)估计硬币正面朝上的概率为
| 试验者 | 试验次数$n$ | 正面朝上的频数$m$ | 正面朝上的频率$\dfrac{m}{n}$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 布丰 | 4 040 | 2 048 | 0.506 9 |
| 德·摩根 | 4 092 | 2 048 | 0.500 5 |
| 费勒 | 10 000 |
979 | $a$ || 皮尔逊 | 12 000 | 6 019 | 0.501 6 |
| 皮尔逊 | 24 000 | 12 012 | $b$ |
| 罗曼诺夫斯基 | 80 640 | 39 699 | 0.492 3 |
(1)表中的$a=$
0.4979
, $b=$0.5005
;(2)估计硬币正面朝上的概率为
0.5
. (精确到0.1)答案
20. 【点拨】本题考查频率,频率与概率的关系.【解析】(1)$a = \frac{4\ 979}{10\ 000} = 0.497\ 9$,$b = \frac{12\ 012}{24\ 000} = 0.500\ 5$.故答案为0.497 9,0.500 5.
(2)用频率估计概率,得硬币正面朝上的概率为0.5.故答案为0.5.
(2)用频率估计概率,得硬币正面朝上的概率为0.5.故答案为0.5.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用“频率=正面朝上的频数÷试验次数”的公式计算a和b的值；第(2)问根据大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，据此估计硬币正面朝上的概率。解题时先明确频率的计算方法，再观察多组频率的稳定值即可完成解答。
【解析】
(1) 根据频率的计算公式：频率 = 正面朝上的频数÷试验次数，可得：
$a = \frac{4979}{10000} = 0.4979$，
$b = \frac{12012}{24000} = 0.5005$；
(2) 观察表格中多次试验的正面朝上的频率，发现随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.5附近，根据用频率估计概率的方法，可知硬币正面朝上的概率为0.5。
【答案】
(1) 0.4979，0.5005；(2) 0.5
【知识点】
频率计算，用频率估计概率
【点评】
本题考查频率的计算及利用频率估计概率，属于基础题型，核心是掌握频率公式和频率与概率的关系，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问需利用“频率=正面朝上的频数÷试验次数”的公式计算a和b的值；第(2)问根据大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，据此估计硬币正面朝上的概率。解题时先明确频率的计算方法，再观察多组频率的稳定值即可完成解答。
【解析】
(1) 根据频率的计算公式：频率 = 正面朝上的频数÷试验次数，可得：
$a = \frac{4979}{10000} = 0.4979$，
$b = \frac{12012}{24000} = 0.5005$；
(2) 观察表格中多次试验的正面朝上的频率，发现随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.5附近，根据用频率估计概率的方法，可知硬币正面朝上的概率为0.5。
【答案】
(1) 0.4979，0.5005；(2) 0.5
【知识点】
频率计算，用频率估计概率
【点评】
本题考查频率的计算及利用频率估计概率，属于基础题型，核心是掌握频率公式和频率与概率的关系，难度较低。
【难度系数】
0.7
