21. (6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,4),B(2,3),C(5,2).将△ABC向左平移6个单位长度得到△A₁B₁C₁.
(1)根据要求作出图形.
①以原点O为旋转中心,将△A₁B₁C₁按逆时针方向旋转90°得到△A₂B₂C₂;
②以原点O为旋转中心,将△A₁B₁C₁按逆时针方向旋转180°得到△A₃B₃C₃;
(2)在(1)的条件下,△ABC与△A₃B₃C₃关于某点成中心对称,则该对称中心的坐标为.

21. 【点拨】本题考查图形的变换——旋转,中心对称图形.【解析】(1)①如图,$△ A_2B_2C_2$为所求作图形.
②如图,$△ A_3B_3C_3$为所求作图形.

(2)如图,连接$AA_3$,$BB_3$,$CC_3$相交于点$M$,则$△ ABC$与$△ A_3B_3C_3$关于点$M$成中心对称,由图可知,该对称中心的坐标为$(3,0)$.故答案为$(3,0)$.

【分析】
首先，解题思路分为三步：第一步，根据平移规则，将△ABC各顶点向左平移6个单位，得到△A₁B₁C₁的顶点坐标；第二步，依据绕原点旋转的坐标变换规律，分别将△A₁B₁C₁逆时针旋转90°、180°，得到对应三角形的顶点并作图；第三步，利用中心对称的性质，对应点连线的中点即为对称中心，通过计算对应点的中点坐标得到结果。
【解析】
(1) ① 先确定△A₁B₁C₁的顶点坐标：A(4,4)向左平移6个单位得A₁(-2,4)，B(2,3)向左平移6个单位得B₁(-4,3)，C(5,2)向左平移6个单位得C₁(-1,2)。根据绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)旋转后为(-y,x)，则A₁(-2,4)旋转后得A₂(-4,-2)，B₁(-4,3)旋转后得B₂(-3,-4)，C₁(-1,2)旋转后得C₂(-2,-1)，顺次连接各点得到△A₂B₂C₂。
② 根据绕原点逆时针旋转180°的坐标变换规律：点(x,y)旋转后为(-x,-y)，则A₁(-2,4)旋转后得A₃(2,-4)，B₁(-4,3)旋转后得B₃(4,-3)，C₁(-1,2)旋转后得C₃(1,-2)，顺次连接各点得到△A₃B₃C₃。
(2) 中心对称的对称中心是对应点连线的中点，取对应点A(4,4)和A₃(2,-4)，计算中点坐标：$(\frac{4+2}{2},\frac{4+(-4)}{2})=(3,0)$，即对称中心为(3,0)。
【答案】
(1) ① 图形略；② 图形略；(2) (3,0)
【知识点】
图形的平移、图形的旋转、中心对称
【点评】
本题考查图形的平移、旋转变换的作图及中心对称的性质，核心是掌握坐标变换规律和中心对称点的确定方法，属于基础几何变换题，难度适中。
【难度系数】
0.5

22. (8分)如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,与BD相交于点O,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若$AB=4$,$AD=8$,求菱形BMDN的面积.

22. 【点拨】本题考查矩形的性质,菱形的判定及性质,勾股定理.【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,
$\therefore AD // BC$,$DO = BO$,
$\therefore ∠ MDO = ∠ NBO$,$∠ DMO = ∠ BNO$,
$\therefore △ DMO ≌ △ BNO(\mathrm{AAS})$,$\therefore DM = BN$,$OM = ON$,
$\therefore$ 四边形BMDN是平行四边形.
$\because MN ⊥ BD$,$\therefore$ 平行四边形BMDN是菱形.
(2)$\because$ 四边形BMDN是菱形,$\therefore MB = MD$,设$MD = x$,
则$MB = MD = x$.在$\mathrm{Rt}△ AMB$中,$BM^2 = AM^2 + AB^2$,
即$x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$,解得$x = 5$.
$\therefore S_{\mathrm{菱形}BMDN} = DM · AB = 5 × 4 = 20$.

【分析】
要解决本题，需分两小问逐步推导：
(1) 证明四边形BMDN是菱形：先利用矩形对边平行、对角线互相平分的性质，结合MN是BD垂直平分线得到的DO=BO，通过AAS证明△DMO≌△BNO，得到DM=BN，结合AD//BC推出四边形BMDN是平行四边形，再根据MN⊥BD，即可判定该平行四边形为菱形；
(2) 求菱形面积：利用菱形边长相等的性质设未知数，结合勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，DO=BO，
∴ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
$\{\begin{array}{l}∠MDO=∠NBO \\∠DMO=∠BNO \\DO=BO\end{array} $
∴ △DMO≌△BNO（AAS），
∴ DM=BN，OM=ON，
又
∵ AD//BC，即DM//BN，
∴ 四边形BMDN是平行四边形，
∵ MN⊥BD，
∴ 平行四边形BMDN是菱形；
(2) 解：
∵ 四边形BMDN是菱形，
∴ MB=MD，
设MD=x，则MB=x，AM=AD-MD=8-x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：
$BM^2 = AM^2 + AB^2$，
即 $x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$，
展开化简得：$16x=80$，
解得 $x=5$，
∴ 菱形BMDN的面积 $S = MD × AB = 5 × 4 = 20$。
【答案】
(1) 四边形BMDN是菱形，证明成立；(2) 菱形BMDN的面积为20。
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，以及勾股定理的应用，解题核心是利用垂直平分线和矩形性质推导菱形，再通过勾股定理求边长计算面积，属于初中几何常规题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6

23. (8分)“劳动创造幸福，实干成就伟业.”某校为了解学生清明假期平均每天劳动时长$ x $(单位:分)，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下统计图表.
学生劳动时长频数、频率分布表


(1)$ a = $,$ b = $;
(2)补全频数分布直方图;
(3)根据抽样调查的结果，若该校有1 800名学生，请估计该校学生清明假期平均每天劳动时长不低于90分钟的人数.

23. 【点拨】本题考查频数分布直方图,频数(率)分布表,用样本估计总体.【解析】(1)所抽取的样本容量为$\frac{6}{0.1} = 60$,$\therefore a = 60 × 0.2 = 12$,$b = \frac{12}{60} = 0.2$.故答案为12,0.2.
(2)补全频数分布直方图如图所示.

(3)$1\ 800 × (0.2 + 0.1) = 540$(人).
$\therefore$ 估计该校学生清明假期平均每天劳动时长不低于90分钟的人数为540人.

【分析】
要解决本题，首先利用频数与频率的关系求出样本容量，再计算未知的频数和频率；补全频数分布直方图需依据已知频数确定各组高度；用样本估计总体时，先算出劳动时长不低于90分钟的频率，再乘以总人数即可得到结果。
【解析】
(1) 根据频率公式：频率=频数÷样本容量，可得样本容量=频数÷频率。已知某组频数为6，频率为0.1，因此样本容量为$\frac{6}{0.1}=60$。
又因为$a$对应组的频率为0.2，所以$a=60×0.2=12$；$b$对应组的频数为12，所以$b=\frac{12}{60}=0.2$。
(2) 根据各组已知频数，补全频数分布直方图，补全后的图为：。
(3) 劳动时长不低于90分钟的组为[90,120)和[120,150]，对应频率和为$0.2+0.1=0.3$，因此该校1800名学生中，劳动时长不低于90分钟的人数为$1800×0.3=540$（人）。
【答案】
(1) $a=12$，$b=0.2$；
(2) 补全的频数分布直方图：；
(3) 估计该校学生清明假期平均每天劳动时长不低于90分钟的人数为540人。
【知识点】
频数分布直方图、频率与频数计算、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点，涉及频数、频率、样本容量的关系，以及用样本估计总体的实际应用，步骤清晰，是初中统计的常规基础题型。
【难度系数】
0.5