24. (8 分)【发现】一个两位数的十位上的数字为 $a$，个位上的数字为 $b$，$a ＞ b$ 且 $a + b = 10$，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是 20 的倍数.
【解决问题】
(1)用含 $a$ 的代数式表示:原来的两位数为 ______，新的两位数为 ______；
(2)使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确.

24. 【点拨】本题考查整式的加减运算,因式分解的应用,平方差公式,列代数式,用代数式表示出新数和原数是解题的关键.【解析】(1)$\because$ 一个两位数的十位上的数字为 $a$,个位上的数字为 $b$,$a ＞ b$ 且 $a + b = 10$,$\therefore b = 10 - a$,$\therefore$ 原来的两位数为 $10a + 10 - a = 9a + 10$,
将其十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,则新的两位数为 $10(10 - a) + a = 100 - 9a$.故答案为 $9a + 10$,$100 - 9a$.
(2)根据题意,得
$\begin{aligned}(9a + 10)^2 - (100 - 9a)^2 &= (9a + 10 + 100 - 9a)(9a + 10 - 100 + 9a) \\&= 110 × (18a - 90) \\&= 1\ 980 × (a - 5) \\&= 99 × 20(a - 5).\end{aligned}$
$\because a$ 是整数,$\therefore (9a + 10)^2 - (100 - 9a)^2$ 能被 20 整除,即【发现】中的结论正确.

【分析】
要解决本题，首先需明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。已知十位数字为a，个位数字为b，且a+b=10，因此可先将b用a表示，进而写出原两位数和新两位数的代数式；对于证明平方差是20的倍数，需利用平方差公式对平方差进行因式分解，化简后判断结果是否为20的整数倍即可。
【解析】
(1) 因为十位数字为a，个位数字为b，且a+b=10，所以b=10 - a。
根据两位数的表示方法，原来的两位数为：10a + b = 10a + (10 - a) = 9a + 10；
调换位置后，新两位数的十位为b，个位为a，所以新的两位数为：10b + a = 10(10 - a) + a = 100 - 9a。
(2) 计算两个数的平方差，利用平方差公式：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$\begin{aligned}(9a + 10)^2 - (100 - 9a)^2 &= [(9a + 10) + (100 - 9a)] × [(9a + 10) - (100 - 9a)] \\&= 110 × (18a - 90) \\&= 1980 × (a - 5) \\&= 99 × 20(a - 5)\end{aligned}$
因为a是整数，所以$99 × 20(a - 5)$是20的整数倍，即这两个数的平方差是20的倍数，结论正确。
【答案】
(1) $9a + 10$；$100 - 9a$；
(2) 证明过程如上，结论正确。
【知识点】
列代数式、平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题结合两位数的表示方法，考查代数式列写与平方差公式的应用，关键是正确表示原数与新数，熟练运用平方差公式化简，进而判断整除性，属于基础题型，需掌握整式运算的基本方法。
【难度系数】
0.6

25. (10分)如图,E为平行四边形ABCD的边AD上的一点,连接EB并延长,使$BF = BE$,连接EC并延长,使$CG = CE$,连接FG.H为FG的中点,连接DH,AF.
(1)求证:四边形AFHD为平行四边形;
(2)连接EH,交BC于点O,若$OB = OE$,$FG = 8$,求OH的长度.

25. 【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定,三角形中位线的性质和定理.【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,
$\therefore AD = BC$,$AD // BC$.
$\because BF = BE$,$CG = CE$,$\therefore BC$ 是 $△ EFG$ 的中位线,
$\therefore BC // FG$,$BC = \frac{1}{2}FG$.
又$\because H$ 为 $FG$ 的中点,$\therefore FH = \frac{1}{2}FG$,
$\therefore BC // FH$,$BC = FH$,$\therefore AD = FH$,$AD // FH$,
$\therefore$ 四边形AFHD是平行四边形.
(2)如题图,连接$BH$,$CH$,$EH$ 交 $BC$ 于点 $O$,
$\because CG = CE$,$FH = GH$,$\therefore CH$ 是 $△ EFG$ 的中位线,
$\therefore CH = \frac{1}{2}EF$,$CH // EF$.
$\because BE = BF = \frac{1}{2}EF$,$\therefore BE = CH$,$BE // CH$,
$\therefore$ 四边形BECH是平行四边形,$\therefore OB = OC$,$OE = OH$.
$\because OB = OE$,$\therefore OE = OH = OB = OC = \frac{1}{2}BC$.
$\because BC = \frac{1}{2}FG = \frac{1}{2} × 8 = 4$,$\therefore OH = 2$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形AFHD为平行四边形，利用平行四边形ABCD的性质，结合三角形中位线定理推导线段的平行与数量关系；第(2)问求OH长度，需通过辅助线构造平行四边形，结合中位线性质和已知条件推导线段长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC。
∵ BF = BE，CG = CE，
∴ BC是△EFG的中位线，
∴ BC // FG，BC = $\frac{1}{2}$FG。
又
∵ H为FG的中点，
∴ FH = $\frac{1}{2}$FG，
∴ BC // FH，BC = FH，
∴ AD = FH，AD // FH，
∴ 四边形AFHD是平行四边形。
(2) 解：
连接BH、CH，
∵ CG = CE，FH = GH，
∴ CH是△EFG的中位线，
∴ CH = $\frac{1}{2}$EF，CH // EF。
∵ BE = BF = $\frac{1}{2}$EF，
∴ BE = CH，BE // CH，
∴ 四边形BECH是平行四边形，
∴ OB = OC，OE = OH。
∵ OB = OE，
∴ OE = OH = OB = OC = $\frac{1}{2}$BC。
∵ BC = $\frac{1}{2}$FG = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∴ OH = 2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、判定及三角形中位线定理，需熟练运用中位线得到线段的平行与数量关系，通过辅助线构造平行四边形，进而推导线段长度，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5