26. (10 分)仔细阅读下面例题:
例题:已知二次三项式$x^2 +5x +m$有一个因式是$x +2$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$px +n$,得$x^2 +5x +m =(x +2)(px +n)$,
对比等式左右两边$x$的二次项系数,可知$p =1$,于是$x^2 +5x +m =(x +2)(x +n)$.
则$x^2 +5x +m =x^2 +(n +2)x +2n$,
$\therefore n +2 =5,m =2n$,
解得$n =3,m =6$,
$\therefore$另一个因式为$x +3,m$的值为$6$.
依照以上方法解答下面问题.
(1)若二次三项式$x^2 -7x +12$可分解为$(x -3)(x +a)$,则$a =$;
(2)若二次三项式$2x^2 +bx -6$可分解为$(2x +3)(x -2)$,则$b =$;
(3)已知代数式$2x^3 +x^2 +kx -3$有一个因式是$2x -1$,求另一个因式以及$k$的值.

26. 【点拨】本题考查因式分解,整式乘法.【解析】(1)$\because (x - 3)(x + a) = x^2 - 3x + ax - 3a = x^2 + (a - 3)x - 3a = x^2 - 7x + 12$,
$\therefore a - 3 = -7$,$-3a = 12$,解得$a = -4$.故答案为$-4$.
(2)$\because (2x + 3)(x - 2) = 2x^2 - 4x + 3x - 6 = 2x^2 - x - 6 = 2x^2 + bx - 6$,$\therefore b = -1$.故答案为$-1$.
(3)设另一个因式为$(ax^2 + bx + c)$,得$2x^3 + x^2 + kx - 3 = (2x - 1)(ax^2 + bx + c)$,
对比左右两边三次项系数可得$a = 1$,
$\therefore 2x^3 + x^2 + kx - 3 = (2x - 1)(x^2 + bx + c) = 2x^3 - x^2 + 2bx^2 - bx + 2cx - c = 2x^3 + (2b - 1)x^2 + (2c - b)x - c$,
$\therefore -c = -3$,$2b - 1 = 1$,$2c - b = k$,解得$c = 3$,$b = 1$,$k = 5$,
$\therefore$ 另一个因式为$x^2 + x + 3$,$k$的值为$5$.

【分析】本题利用整式乘法与因式分解的互逆关系，即两个多项式相等时，对应同类项的系数相等来求解。前两小问直接展开右边的因式乘积，对比系数即可求出未知参数；第三小问因原式为三次式，需先设出另一个因式，展开后对比各次项系数，逐步求出未知因式和参数。
【解析】
(1) 展开$(x - 3)(x + a)$：
$(x - 3)(x + a) = x^2 + (a - 3)x - 3a$，
对比$x^2 -7x +12$的系数，得$a - 3 = -7$，解得$a = -4$。
(2) 展开$(2x + 3)(x - 2)$：
$(2x + 3)(x - 2) = 2x^2 - x - 6$，
对比$2x^2 + bx -6$的系数，得$b = -1$。
(3) 设另一个因式为$ax^2 + bx + c$，则：
$2x^3 + x^2 + kx -3 = (2x -1)(ax^2 + bx + c)$，
展开右边得$2ax^3 + (2b - a)x^2 + (2c - b)x - c$，
对比系数：$2a=2 ⇒ a=1$；$-c=-3 ⇒ c=3$；$2b -a=1 ⇒ b=1$；$2c -b=k ⇒ k=5$，
故另一个因式为$x^2 + x +3$，$k=5$。
【答案】(1)$-4$；(2)$-1$；(3)另一个因式为$x^2 + x +3$，$k$的值为$5$
【知识点】因式分解、整式乘法、待定系数法
【点评】本题考查待定系数法在因式分解中的应用，核心是利用多项式相等则对应系数相等的性质，步骤清晰，难度适中，能有效考查学生对整式乘法与因式分解关系的掌握。
【难度系数】0.7

27. (10分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E是边AB上一点且BE=2,P是线段AE上一动点(不与端点A重合,可以与端点E重合),将△APD沿PD折叠,得到点A的对称点为F,连接BF.
(1)若P是边AB的中点时,则BF的长为;
(2)若△BPF为直角三角形,求BF的长;
(3)将△APD绕点D逆时针旋转90°得到△MND,点A的对应点为M,点P的对应点为N,连接FN.若△DFN为等腰三角形,求BF的长.

27. 【点拨】本题考查矩形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质.【解析】(1)如题图,连接AF交DP于点Q.
$\because$ 将$△ APD$沿PD折叠,得到点A的对称点为F,
$\therefore DP$ 垂直平分 $AF$.
$\because P$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore PQ$ 是 $△ ABF$ 的中位线,$\therefore BF = 2PQ$.
$\because AD = 6$,$AP = \frac{1}{2}AB = 4$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADP$ 中,$DP = \sqrt{AD^2 + AP^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}$.
$\because S_{△ ADP} = \frac{1}{2}AD · AP = \frac{1}{2}DP · AQ$,
$\therefore AQ = \frac{AD · AP}{DP} = \frac{6 × 4}{2\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{13}$.
在 $\mathrm{Rt}△ APQ$ 中, $PQ = \sqrt{AP^2 - AQ^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{12\sqrt{13}}{13})^2} = \frac{8\sqrt{13}}{13}$,$\therefore BF = 2PQ = \frac{16\sqrt{13}}{13}$.故答案为$\frac{16\sqrt{13}}{13}$.
(2)若$△ BPF$为直角三角形.
①当$∠ PBF = 90°$时,不存在;
②当$∠ PFB = 90°$时,,将$△ APD$沿PD折叠,得到点A的对称点为F,
$\therefore DA = DF$,$AP = PF$,$∠ DFP = ∠ A = 90°$,
$\therefore ∠ DFP + ∠ PFB = 180°$,
$\therefore$ 点$D$,$F$,$B$共线,即点$F$在矩形的对角线$BD$上.
$\because AD = 6$,$AB = 8$,$∠ A = 90°$,
$\therefore BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
$\because DF = DA = 6$,$\therefore BF = 10 - 6 = 4$.
③当$∠ BPF = 90°$时,,
$\because ∠ A = 90°$,$∠ DFP = 90°$,$AD = DF$,
$\therefore$ 四边形ADFP是矩形,
$\therefore$ 点$F$在$DC$边上,点$P$与点$E$重合.
$\because BE = 2$,$EF = 6$,$∠ BEF = 90°$,
$\therefore BF = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$.
综上所述,$BF$的长为4或$2\sqrt{10}$.
(3)若$△ DFN$为等腰三角形.
①当$DF = DN$时,不存在.
②当$DF = NF$时,,设$∠ ADP = x$,
$\because$ 将$△ APD$沿PD折叠,得到点A的对称点为F,
$\therefore ∠ ADP = ∠ PDF = x$.
$\because △ APD$绕点$D$逆时针旋转$90°$得到$△ MND$,
$\therefore ∠ PDN = 90°$,$∠ FDN = ∠ FND = ∠ DPA = 90° - x$,
$\therefore ∠ FND = ∠ MND = 90° - x$,
即$∠ FND$与$∠ MND$重合,
$\therefore$ 点$F$与点$M$重合.
由(2)知$BF = 2\sqrt{10}$.
③当$ND = NF$时,,过点$N$作$NH ⊥ DF$于点$H$,则$DH = FH$.
$\because △ APD$绕点$D$逆时针旋转$90°$得到$△ MND$,
$\therefore ∠ ADP = ∠ MDN = ∠ FDP$,
设$∠ MDN = ∠ ADP = α$,
$\therefore ∠ NDH = 90° - ∠ FDP = 90° - α$.
又$\because ∠ APD = 90° - ∠ ADP = 90° - α$,
$\therefore ∠ NDH = ∠ APD$.
$\because ∠ A = ∠ DHN = 90°$,$DP = DN$,
$\therefore △ ADP ≌ △ HND(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DH = AP = \frac{1}{2}DF = \frac{1}{2}AD = 3$,
$\therefore PB = 5$,$\therefore BF = 4$.
综上所述,$BF$的长为4或$2\sqrt{10}$.

【分析】
本题是矩形与折叠、旋转结合的综合题，需利用矩形、折叠、旋转的性质，结合勾股定理、全等三角形、分类讨论思想解题：
(1) 当P是AB中点时，折叠后DP垂直平分AF，利用三角形中位线性质得BF=2PQ，通过面积法求AQ，再用勾股定理算PQ，进而得BF；
(2) 对△BPF为直角三角形分三种情况讨论：∠PBF=90°不存在，∠PFB=90°时F在BD上，结合BD长度求BF；∠BPF=90°时四边形ADFP为矩形，P与E重合，用勾股定理算BF；
(3) 对△DFN为等腰三角形分三种情况讨论：DF=DN不存在，DF=NF时F与M重合，得BF=2√10；ND=NF时通过全等三角形得AP=3，进而求BF=4，综合得结果。
【解析】
(1) 如题图，连接AF交DP于点Q。
∵ 将△APD沿PD折叠，得到点A的对称点为F，
∴ DP垂直平分AF。
∵ P是AB的中点，
∴ PQ是△ABF的中位线，
∴ BF=2PQ。
∵ AD=6，AP=1/2AB=4，
∴ 在Rt△ADP中，DP=√(AD²+AP²)=√(6²+4²)=2√13。
∵ S△ADP=1/2AD·AP=1/2DP·AQ，
∴ AQ=(AD·AP)/DP=(6×4)/(2√13)=12√13/13。
在Rt△APQ中，PQ=√(AP² - AQ²)=√(4² - (12√13/13)²)=8√13/13，
∴ BF=2PQ=16√13/13。
(2) 若△BPF为直角三角形：
① 当∠PBF=90°时，不存在；
② 当∠PFB=90°时，将△APD沿PD折叠，得DA=DF，AP=PF，∠DFP=∠A=90°，
∴ ∠DFP+∠PFB=180°，即D、F、B共线，F在BD上。
∵ AD=6，AB=8，∠A=90°，
∴ BD=√(6²+8²)=10，
∵ DF=DA=6，
∴ BF=BD - DF=10 - 6=4；
③ 当∠BPF=90°时，
∵ ∠A=∠DFP=90°，AD=DF，
∴ 四边形ADFP是矩形，
∴ F在DC边上，P与E重合。
∵ BE=2，EF=AD=6，∠BEF=90°，
∴ BF=√(6²+2²)=2√10。
综上所述，BF的长为4或2√10。
(3) 若△DFN为等腰三角形：
① 当DF=DN时，不存在；
② 当DF=NF时，设∠ADP=x，折叠得∠ADP=∠PDF=x，旋转得∠PDN=90°，∠FDN=∠FND=90°-x，
∴ ∠FND与∠MND重合，F与M重合，由(2)知BF=2√10；
③ 当ND=NF时，过N作NH⊥DF于H，则DH=FH，
旋转得∠ADP=∠MDN=∠FDP=α，∠APD=90°-α，
∴ ∠NDH=90°-α=∠APD，又∠A=∠DHN=90°，DP=DN，
∴ △ADP≌△HND(AAS)，
∴ DH=AP=1/2DF=1/2AD=3，
∴ PB=AB - AP=8 - 3=5，由(2)知BF=4。
综上所述，BF的长为4或2√10。
【答案】
(1) $\frac{16\sqrt{13}}{13}$；(2) $4$或$2\sqrt{10}$；(3) $4$或$2\sqrt{10}$
【知识点】
矩形性质、折叠性质、旋转性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题是矩形中折叠与旋转的综合题，需运用分类讨论思想处理直角三角形和等腰三角形的多种情况，考查学生对几何变换性质的掌握及逻辑推理能力，难度中等偏上。
【难度系数】
0.5