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25. (10分)如图,已知线段$a,b,c$,用直尺和圆规按下列要求分别作一个平行四边形$ABCD$(保留作图痕迹,写出必要的文字说明).
(1)$□ ABCD$的一边长为$a$,两条对角线的长度分别为$b,c$;
(2)$□ ABCD$的相邻两边的长度分别为$b,c$,其高为$a$.
(1)$□ ABCD$的一边长为$a$,两条对角线的长度分别为$b,c$;
(2)$□ ABCD$的相邻两边的长度分别为$b,c$,其高为$a$.
答案
25. 【点拨】本题考查作图——复杂作图,平行四边形的判定与性质,掌握基本尺规作图的方法是解题的关键.
【解析】(1)如图1,任意作射线AM,以点A为圆心、线段b的长为半径画弧,交射线AM于点C,作线段AC的垂直平分线,交AC于点O,再作线段c的垂直平分线,以点O为圆心、线段c的一半的长为半径画弧,以点A为圆心、线段a的长为半径画弧,两弧在AC的上方交于点B,以点O为圆心、线段c的一半的长为半径画弧,以点C为圆心、线段a的长为半径画弧,两弧在AC的下方交于点D,连接AB,BC,CD,AD,则四边形ABCD即为所求.
(2)如图2,任意作直线MN,在直线MN上任取一点E,过点E作直线MN的垂线,以点E为圆心、线段a的长为半径画弧,交垂线于点A,再以点A为圆心、线段b的长为半径画弧,交直线MN于点B,以点B为圆心、线段c的长为半径画弧,交射线EN于点C,最后以点A为圆心、线段c的长为半径画弧,以点C为圆心、线段b的长为半径画弧,两弧在MN上方交于点D,连接AB,AD,CD,则四边形ABCD即为所求.
解析
【分析】
解题思路：(1) 平行四边形的核心性质是对角线互相平分，因此已知一边a和两条对角线b、c时，可先将对角线b、c分别平分，得到各一半的长度，这三个长度（a、b/2、c/2）可构成三角形，再利用平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）确定四个顶点，完成作图；(2) 已知相邻两边b、c和高a时，需先作出高a（即作垂线），再截取相邻两边，利用平行四边形对边相等的性质找到第四个顶点，从而构造出符合要求的平行四边形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作射线AM，在AM上取点A，以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线AM于点C；
② 作线段AC的垂直平分线，交AC于点O（此时AO=OC=b/2）；
③ 以点O为圆心、线段c的一半长为半径画弧，以点A为圆心、线段a的长为半径画弧，两弧在AC上方交于点B；
④ 以点O为圆心、线段c的一半长为半径画弧，以点C为圆心、线段a的长为半径画弧，两弧在AC下方交于点D；
⑤ 连接AB、BC、CD、AD，四边形ABCD即为所求平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 作直线MN，在直线MN上任取一点E，过点E作直线MN的垂线；
② 以点E为圆心、线段a的长为半径画弧，交垂线于点A；
③ 以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交直线MN于点B；
④ 以点B为圆心、线段c的长为半径画弧，交射线EN于点C；
⑤ 以点A为圆心、线段c的长为半径画弧，以点C为圆心、线段b的长为半径画弧，两弧在MN上方交于点D；
⑥ 连接AB、AD、CD、BC，四边形ABCD即为所求平行四边形。
【答案】
(1) 作图见解析：
(2) 作图见解析：
【知识点】
尺规作图、平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题考查复杂尺规作图，需结合平行四边形的对角线互相平分、对边相等的性质，以及基本尺规作图（作垂直平分线、作垂线、截线段等）的方法，是对基础作图能力和几何性质应用的综合考查，要求学生熟练掌握基本作图技巧并灵活运用平行四边形的判定与性质。
【难度系数】
0.5
解题思路：(1) 平行四边形的核心性质是对角线互相平分，因此已知一边a和两条对角线b、c时，可先将对角线b、c分别平分，得到各一半的长度，这三个长度（a、b/2、c/2）可构成三角形，再利用平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）确定四个顶点，完成作图；(2) 已知相邻两边b、c和高a时，需先作出高a（即作垂线），再截取相邻两边，利用平行四边形对边相等的性质找到第四个顶点，从而构造出符合要求的平行四边形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作射线AM，在AM上取点A，以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线AM于点C；
② 作线段AC的垂直平分线，交AC于点O（此时AO=OC=b/2）；
③ 以点O为圆心、线段c的一半长为半径画弧，以点A为圆心、线段a的长为半径画弧，两弧在AC上方交于点B；
④ 以点O为圆心、线段c的一半长为半径画弧，以点C为圆心、线段a的长为半径画弧，两弧在AC下方交于点D；
⑤ 连接AB、BC、CD、AD，四边形ABCD即为所求平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 作直线MN，在直线MN上任取一点E，过点E作直线MN的垂线；
② 以点E为圆心、线段a的长为半径画弧，交垂线于点A；
③ 以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交直线MN于点B；
④ 以点B为圆心、线段c的长为半径画弧，交射线EN于点C；
⑤ 以点A为圆心、线段c的长为半径画弧，以点C为圆心、线段b的长为半径画弧，两弧在MN上方交于点D；
⑥ 连接AB、AD、CD、BC，四边形ABCD即为所求平行四边形。
【答案】
(1) 作图见解析：
(2) 作图见解析：
【知识点】
尺规作图、平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题考查复杂尺规作图，需结合平行四边形的对角线互相平分、对边相等的性质，以及基本尺规作图（作垂直平分线、作垂线、截线段等）的方法，是对基础作图能力和几何性质应用的综合考查，要求学生熟练掌握基本作图技巧并灵活运用平行四边形的判定与性质。
【难度系数】
0.5
26. (9分)【数学概念】
如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上(不与矩形的顶点重合),那么称这个菱形是该矩形的内接菱形.
【初步认识】
(1)如图1,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形.
【深入思考】
(2)如图2,在矩形ABCD中,E是边AB上的一点.
①用直尺和圆规作矩形ABCD的内接菱形EFGH,使点F,G,H分别在BC,CD,DA上;(保留作图痕迹,不写画法)
②已知$AE=2$,$BE=1$,$AD=a$.若矩形ABCD存在以点E为顶点的内接菱形,则a的取值范围是
如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上(不与矩形的顶点重合),那么称这个菱形是该矩形的内接菱形.
【初步认识】
(1)如图1,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形.
【深入思考】
(2)如图2,在矩形ABCD中,E是边AB上的一点.
①用直尺和圆规作矩形ABCD的内接菱形EFGH,使点F,G,H分别在BC,CD,DA上;(保留作图痕迹,不写画法)
②已知$AE=2$,$BE=1$,$AD=a$.若矩形ABCD存在以点E为顶点的内接菱形,则a的取值范围是
$a＞\sqrt{3}$
.答案
26. 【点拨】本题考查菱形的判定与性质,矩形的性质,基本作图,勾股定理,三角形中位线定理及新定义,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)证明:如题图1,连接AC,BD.
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ $AC = BD$.
∵ E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴ $EF = \frac{1}{2} AC$,$HG = \frac{1}{2} AC$,
$EH = \frac{1}{2} BD$,$FG = \frac{1}{2} BD$,
∴ $EF = HG = EH = FG$,
∴ 四边形EFGH是菱形.
∵ E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴ 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形.
(2)①如图1,连接AC,BD,AC与BD交于点O,连接EO并延长交CD于点G,过点O作EG的垂线交BC于点F,交AD于点H,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形.
②如图2,四边形AECF为菱形,则$AE = CF = AF =2$.
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ $AB = CD$,$∠ADF =90°$,
∴ $BE = DF =1$,
∴ $AD = \sqrt{AF^2 - DF^2} = \sqrt{2^2 -1^2} =\sqrt{3}$.
∵ 矩形的内接菱形的四个顶点不与矩形的顶点重合,
∴ $AD ＞\sqrt{3}$.
∵ $AD =a$,
∴ $a ＞\sqrt{3}$,
∴ a的取值范围是$a ＞\sqrt{3}$. 故答案为$a ＞\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题是矩形内接菱形的新定义问题，解题思路如下：
1. 对于(1)，需先证明四边形EFGH是菱形，再确认其顶点在矩形边上，符合内接菱形定义：利用矩形对角线相等，结合三角形中位线定理，可推得四边相等，判定为菱形，且顶点在矩形各边，满足内接菱形要求。
2. 对于(2)①，利用矩形的中心对称性（对角线交点为对称中心），通过作直线和垂线的方法，得到菱形的四个顶点，完成作图。
3. 对于(2)②，需找到a的最小值：当菱形以AE为边时，AF=AE=2，结合矩形边长关系得DF=BE=1，在直角三角形中用勾股定理算出AD的最小值，再根据顶点不与矩形顶点重合，确定a的范围。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AC、BD。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD。
∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
根据三角形中位线定理：EF=½AC，HG=½AC，EH=½BD，FG=½BD，
∴ EF=HG=EH=FG，故四边形EFGH是菱形。
又
∵ E、F、G、H分别在矩形ABCD的四条边上，且不与顶点重合，
∴ 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形。
(2) ① 作图：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点G，过点O作EG的垂线，分别交BC于F、交AD于H，连接EF、FG、GH、HE，四边形EFGH即为所求内接菱形（保留作图痕迹）。
② 解：当矩形ABCD存在以E为顶点的内接菱形时，最小情况为AF=AE=2，此时CF=AE=2，DF=CD-CF=AB - CF=(AE+BE)-CF=3-2=1。
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，由勾股定理得：
AD=√(AF² - DF²)=√(2² -1²)=√3。
∵ 菱形顶点不与矩形顶点重合，
∴ AD＞√3，即a＞√3。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ① 作图痕迹见解析；② a＞√3。
【知识点】
菱形的判定、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是新定义几何综合题，结合矩形、菱形的性质，考查三角形中位线、勾股定理及基本作图，需理解中心对称在作图中的应用，注重几何核心知识的综合运用，难度适中。
【难度系数】
0.4
本题是矩形内接菱形的新定义问题，解题思路如下：
1. 对于(1)，需先证明四边形EFGH是菱形，再确认其顶点在矩形边上，符合内接菱形定义：利用矩形对角线相等，结合三角形中位线定理，可推得四边相等，判定为菱形，且顶点在矩形各边，满足内接菱形要求。
2. 对于(2)①，利用矩形的中心对称性（对角线交点为对称中心），通过作直线和垂线的方法，得到菱形的四个顶点，完成作图。
3. 对于(2)②，需找到a的最小值：当菱形以AE为边时，AF=AE=2，结合矩形边长关系得DF=BE=1，在直角三角形中用勾股定理算出AD的最小值，再根据顶点不与矩形顶点重合，确定a的范围。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AC、BD。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD。
∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
根据三角形中位线定理：EF=½AC，HG=½AC，EH=½BD，FG=½BD，
∴ EF=HG=EH=FG，故四边形EFGH是菱形。
又
∵ E、F、G、H分别在矩形ABCD的四条边上，且不与顶点重合，
∴ 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形。
(2) ① 作图：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点G，过点O作EG的垂线，分别交BC于F、交AD于H，连接EF、FG、GH、HE，四边形EFGH即为所求内接菱形（保留作图痕迹）。
② 解：当矩形ABCD存在以E为顶点的内接菱形时，最小情况为AF=AE=2，此时CF=AE=2，DF=CD-CF=AB - CF=(AE+BE)-CF=3-2=1。
在Rt△ADF中，∠ADF=90°，由勾股定理得：
AD=√(AF² - DF²)=√(2² -1²)=√3。
∵ 菱形顶点不与矩形顶点重合，
∴ AD＞√3，即a＞√3。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ① 作图痕迹见解析；② a＞√3。
【知识点】
菱形的判定、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是新定义几何综合题，结合矩形、菱形的性质，考查三角形中位线、勾股定理及基本作图，需理解中心对称在作图中的应用，注重几何核心知识的综合运用，难度适中。
【难度系数】
0.4
