23. (8分)如图,E为正方形ABCD对角线BD上一点,且$BE=BC,EF⊥BD$,交DC于点F.
(1)求证:$DE=CF$;
(2)若$DE=1$,则该正方形的边长为.

23. 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)证明:如题图,连接BF.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ $∠C =90°$,$∠BDC =45°$.
∵ $EF ⊥ BD$,
∴ $∠FED =90°$,
∴ $∠DFE =45°$,
∴ $DE = EF$.
在$Rt△BEF$和$Rt△BCF$中,$\begin{cases} BF = BF, \\ BE = BC, \end{cases}$
∴ $Rt△BEF ≅ Rt△BCF(HL)$,
∴ $EF = CF$,
∴ $DE = CF$.
(2)
∵ $DE = EF = CF =1$,$∠DEF =90°$,
∴ $DF =\sqrt{DE^2 + EF^2} =\sqrt{1^2 +1^2} =\sqrt{2}$,
∴ $DC = DF + CF =\sqrt{2} +1$. 故答案为$\sqrt{2} +1$.

【分析】要证明DE=CF，可先连接辅助线BF，利用正方形的性质得到相关角度和边的关系，判断△DEF为等腰直角三角形得DE=EF，再通过HL证明Rt△BEF与Rt△BCF全等，得到EF=CF，从而推出DE=CF；求正方形边长时，利用等腰直角三角形的勾股定理算出DF，结合CF=DE即可得到边长。
【解析】(1)证明：连接BF。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C=90°，∠BDC=45°，BC=DC。
∵ EF⊥BD，
∴ ∠DEF=90°，
∴ 在△DEF中，∠DFE=90°-∠BDC=45°，
∴ ∠DFE=∠EDF=45°，
∴ DE=EF。
在Rt△BEF和Rt△BCF中，
$\{\begin{array}{l} BF=BF, \\ BE=BC, \end{array} $
∴ Rt△BEF ≌ Rt△BCF（HL），
∴ EF=CF，
又
∵ DE=EF，
∴ DE=CF。
(2) 解：由(1)知，DE=EF=CF=1，
∵ ∠DEF=90°，
∴ 在Rt△DEF中，DF=$\sqrt{DE^2 + EF^2}$=$\sqrt{1^2 +1^2}$=$\sqrt{2}$，
∴ 正方形的边长DC=DF + CF=$\sqrt{2} +1$。
【答案】$\sqrt{2} +1$
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定(HL)、等腰直角三角形
【点评】本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题关键，需熟练运用相关几何定理，难度适中。
【难度系数】0.5

24. (10 分)用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$O$为$AB$的中点.
求证:$CO=\dfrac{1}{2}AB$.
证法1:延长$BC$到点$D$,使$DC=BC$,连接$AD$.
$\because O$为$AB$的中点,
$\therefore CO=\dfrac{1}{2}$______(依据是________).
$\because DC=BC$,$∠ ACB=90°$,
$\therefore AC$垂直平分$DB$,$\therefore AB=$______,
$\therefore CO=\dfrac{1}{2}AB$.
请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.

24. 【点拨】本题考查三角形中位线定理,垂直平分线的判定与性质,平行四边形的判定,矩形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】证法1:延长BC到点D,使DC = BC,连接AD.
∵ O为AB的中点,
∴ $CO = \frac{1}{2} AD$(依据是三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半).
∵ DC = BC,$∠ACB =90°$,
∴ AC垂直平分DB,
∴ $AB = AD$,
∴ $CO = \frac{1}{2} AB$.
证法2:如题图,延长CO至点E,使得OE = CO,连接AE、BE.
∵ O为AB的中点,
∴ $OA = OB$,
∴ 四边形ACBE是平行四边形.
∵ $∠ACB =90°$,
∴ 四边形ACBE是矩形,
∴ $AB = CE$.
∵ $CO = \frac{1}{2} CE$,
∴ $CO = \frac{1}{2} AB$. (方法不唯一)

【分析】
要证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，需通过构造辅助线，结合几何定理推导。证法1利用三角形中位线定理和垂直平分线性质，先构造中位线得到CO与AD的关系，再通过垂直平分线得到AB与AD相等，完成证明；证法2通过构造平行四边形和矩形，利用矩形对角线相等的性质，推导出CO与AB的关系。
【解析】
证法1：
延长BC到点D，使DC=BC，连接AD。
∵ O为AB的中点，
∴ CO是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理，可得$CO=\dfrac{1}{2}AD$。
∵ $DC=BC$，$∠ACB=90°$，即$AC⊥DB$，
∴ AC垂直平分DB，根据垂直平分线的性质，可得$AB=AD$，
∴ $CO=\dfrac{1}{2}AB$。
证法2：
延长CO至点E，使得$OE=CO$，连接AE、BE。
∵ O为AB的中点，
∴ $OA=OB$，又$OE=CO$，
∴ 四边形ACBE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ $∠ACB=90°$，
∴ 平行四边形ACBE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴ $AB=CE$（矩形的对角线相等）。
又
∵ $CO=\dfrac{1}{2}CE$，
∴ $CO=\dfrac{1}{2}AB$。
【答案】
$CO=\dfrac{1}{2}AB$
【知识点】
三角形中位线定理、矩形的判定与性质、垂直平分线性质
【点评】
本题考查直角三角形性质的证明，核心是通过构造辅助线，将待证线段转化为可利用定理推导的线段关系，需熟练掌握三角形中位线、平行四边形、矩形的相关定理，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.5