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21. (8分)某校组织八年级学生参加消防知识竞赛,并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析,绘制成如下的统计图表.
消防知识竞赛成绩的频数分布表
|组别|成绩$x/$分|频数|
| ---- | ---- | ---- |
|A|$x＜60$|2|
|B|$60≤x＜70$|6|
|C|$70≤x＜80$|9|
|D|$80≤x＜90$|$a$|
|E|$90≤x≤100$|15|
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)$a=$
(2)扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是
(3)已知该年级有400名学生参加这次竞赛,若成绩在80分以上(含80分)的为合格,估计该年级成绩合格的有多少人?
消防知识竞赛成绩的频数分布表
|组别|成绩$x/$分|频数|
| ---- | ---- | ---- |
|A|$x＜60$|2|
|B|$60≤x＜70$|6|
|C|$70≤x＜80$|9|
|D|$80≤x＜90$|$a$|
|E|$90≤x≤100$|15|
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)$a=$
18
,并补全频数分布直方图;(2)扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是
108
°;(3)已知该年级有400名学生参加这次竞赛,若成绩在80分以上(含80分)的为合格,估计该年级成绩合格的有多少人?
答案
21. 【点拨】本题考查频数分布表,频数分布直方图,扇形统计图以及用样本估计总体,正确从图中获取信息是解题的关键.
【解析】(1)样本容量为$6÷12\% =50$,
则$a =50 -2 -6 -9 -15 =18$.
补全频数分布直方图如图.
故答案为18.
(2)扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是$360°× \frac{15}{50} =108°$. 故答案为108.
(3)$400× \frac{18+15}{50} =264$(人).
答:估计该年级成绩合格的有264人.
解析
【分析】
要解决本题，需从频数分布表和直方图中提取数据，按以下步骤思考：1. 求样本容量：利用各组频数之和为样本容量，计算未知的a；2. 计算扇形统计图中E组的圆心角：根据圆心角公式（360°×该组频数/样本容量）推导；3. 估计合格人数：先确定合格组的频数，算出样本中合格比例，再乘以年级总人数得到估计值。
【解析】
(1) 样本容量为各组频数之和，即2+6+9+a+15=50，解得a=50-2-6-9-15=18。补全频数分布直方图时，在D组对应位置绘制高度为18的矩形即可。
(2) 扇形统计图中“E组”对应的圆心角度数为：360°×$\frac{15}{50}$=108°。
(3) 成绩合格为80分及以上，对应D、E组，频数和为18+15=33，该年级合格人数估计为：400×$\frac{33}{50}$=264（人）。
【答案】
18；108；264人；
【知识点】
频数分布、用样本估计总体、扇形统计图
【点评】
本题考查统计的基础应用，需结合频数分布图表信息，掌握样本容量计算、圆心角计算及用样本估计总体的方法，属于常规统计题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需从频数分布表和直方图中提取数据，按以下步骤思考：1. 求样本容量：利用各组频数之和为样本容量，计算未知的a；2. 计算扇形统计图中E组的圆心角：根据圆心角公式（360°×该组频数/样本容量）推导；3. 估计合格人数：先确定合格组的频数，算出样本中合格比例，再乘以年级总人数得到估计值。
【解析】
(1) 样本容量为各组频数之和，即2+6+9+a+15=50，解得a=50-2-6-9-15=18。补全频数分布直方图时，在D组对应位置绘制高度为18的矩形即可。
(2) 扇形统计图中“E组”对应的圆心角度数为：360°×$\frac{15}{50}$=108°。
(3) 成绩合格为80分及以上，对应D、E组，频数和为18+15=33，该年级合格人数估计为：400×$\frac{33}{50}$=264（人）。
【答案】
18；108；264人；
【知识点】
频数分布、用样本估计总体、扇形统计图
【点评】
本题考查统计的基础应用，需结合频数分布图表信息，掌握样本容量计算、圆心角计算及用样本估计总体的方法，属于常规统计题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
22. (7分)在梯形ABCD中，AD//BC.
(1)如图1，若AB = AD = 4，∠B = ∠C = 60°.
①求BC的长；
②求梯形ABCD的面积.
(2)如图2，连接AC，BD，若AC⊥BD，且AC = BD = 6，求AD + BC.
(1)如图1，若AB = AD = 4，∠B = ∠C = 60°.
①求BC的长；
②求梯形ABCD的面积.
(2)如图2，连接AC，BD，若AC⊥BD，且AC = BD = 6，求AD + BC.
答案
22. 【点拨】本题考查梯形、平行四边形、等边三角形及等腰直角三角形的运用,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)①如图1,过点A作$AH//CD$,交BC于点H.
∵ $AH//CD$,$AD//BC$,
∴ 四边形ADCH是平行四边形,
∴ $CH = AD =4$.
∵ $AH//CD$,
∴ $∠AHB = ∠C =60°$.
又
∵ $∠B =60°$,
∴ $∠BAH = 180° - ∠AHB - ∠B =60°$,
∴ $△ABH$是等边三角形,
∴ $BH = AB =4$,
∴ $BC = BH + CH =4 +4 =8$.
②如图1,过点A作$AE ⊥ BC$于点E.
∵ $∠B =60°$,
∴ $∠BAE =30°$,
∴ $BE = \frac{1}{2} AB =2$,
∴ $AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} =2\sqrt{3}$.
由①知,$BC =8$,
∴ $S_{梯形ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) · AE = \frac{1}{2} ×(4 +8)×2\sqrt{3} =12\sqrt{3}$.
(2)如图2,记AC交BD于点O,过点D作$DF//AC$,交BC的延长线于点F,
∴ $∠BDF = ∠BOC =90°$.
∵ $AD//BC$,$AC//DF$,
∴ 四边形ACFD是平行四边形,
∴ $AC = DF = BD$,$AD = CF$,
∴ $△BDF$是等腰直角三角形,
∴ $BF =\sqrt{2} BD =6\sqrt{2}$,
∴ $AD + BC = CF + BC = BF =6\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解决梯形问题时，常通过平移腰或对角线将梯形转化为平行四边形和三角形，利用平行四边形、三角形的性质求解。第(1)问①，平移腰构造平行四边形，结合已知角度证等边三角形，进而求BC；②作梯形的高，利用直角三角形性质求高，再用梯形面积公式计算面积。第(2)问平移对角线，构造平行四边形，结合AC⊥BD的条件，将AD+BC转化为等腰直角三角形的斜边BF，从而求解。
【解析】
(1)①如图1，过点A作$AH//CD$，交BC于点H。
∵ $AH//CD$，$AD//BC$，
∴ 四边形ADCH是平行四边形，
∴ $CH = AD =4$。
∵ $AH//CD$，
∴ $∠AHB = ∠C =60°$。
又
∵ $∠B =60°$，
∴ $∠BAH = 180° - ∠AHB - ∠B =60°$，
∴ $△ABH$是等边三角形，
∴ $BH = AB =4$，
∴ $BC = BH + CH =4 +4 =8$。
②如图1，过点A作$AE ⊥ BC$于点E。
∵ $∠B =60°$，
∴ $∠BAE =30°$，
∴ $BE = \frac{1}{2} AB =2$，
∴ $AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} =2\sqrt{3}$。
由①知，$BC =8$，
∴ $S_{梯形ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) · AE = \frac{1}{2} ×(4 +8)×2\sqrt{3} =12\sqrt{3}$。
(2)如图2，记AC交BD于点O，过点D作$DF//AC$，交BC的延长线于点F，
∴ $∠BDF = ∠BOC =90°$。
∵ $AD//BC$，$AC//DF$，
∴ 四边形ACFD是平行四边形，
∴ $AC = DF = BD$，$AD = CF$，
∴ $△BDF$是等腰直角三角形，
∴ $BF =\sqrt{2} BD =6\sqrt{2}$，
∴ $AD + BC = CF + BC = BF =6\sqrt{2}$。
【答案】
22. 【点拨】本题考查梯形、平行四边形、等边三角形及等腰直角三角形的运用,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)①如图1,过点A作$AH//CD$,交BC于点H.
∵ $AH//CD$,$AD//BC$,
∴ 四边形ADCH是平行四边形,
∴ $CH = AD =4$.
∵ $AH//CD$,
∴ $∠AHB = ∠C =60°$.
又
∵ $∠B =60°$,
∴ $∠BAH = 180° - ∠AHB - ∠B =60°$,
∴ $△ABH$是等边三角形,
∴ $BH = AB =4$,
∴ $BC = BH + CH =4 +4 =8$.
②如图1,过点A作$AE ⊥ BC$于点E.
∵ $∠B =60°$,
∴ $∠BAE =30°$,
∴ $BE = \frac{1}{2} AB =2$,
∴ $AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} =2\sqrt{3}$.
由①知,$BC =8$,
∴ $S_{梯形ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) · AE = \frac{1}{2} ×(4 +8)×2\sqrt{3} =12\sqrt{3}$.
(2)如图2,记AC交BD于点O,过点D作$DF//AC$,交BC的延长线于点F,
∴ $∠BDF = ∠BOC =90°$.
∵ $AD//BC$,$AC//DF$,
∴ 四边形ACFD是平行四边形,
∴ $AC = DF = BD$,$AD = CF$,
∴ $△BDF$是等腰直角三角形,
∴ $BF =\sqrt{2} BD =6\sqrt{2}$,
∴ $AD + BC = CF + BC = BF =6\sqrt{2}$.
【知识点】
梯形性质、平行四边形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题通过平移腰或对角线的辅助线作法，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题，是解决梯形问题的常用技巧，需熟练掌握此类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
解决梯形问题时，常通过平移腰或对角线将梯形转化为平行四边形和三角形，利用平行四边形、三角形的性质求解。第(1)问①，平移腰构造平行四边形，结合已知角度证等边三角形，进而求BC；②作梯形的高，利用直角三角形性质求高，再用梯形面积公式计算面积。第(2)问平移对角线，构造平行四边形，结合AC⊥BD的条件，将AD+BC转化为等腰直角三角形的斜边BF，从而求解。
【解析】
(1)①如图1，过点A作$AH//CD$，交BC于点H。
∵ $AH//CD$，$AD//BC$，
∴ 四边形ADCH是平行四边形，
∴ $CH = AD =4$。
∵ $AH//CD$，
∴ $∠AHB = ∠C =60°$。
又
∵ $∠B =60°$，
∴ $∠BAH = 180° - ∠AHB - ∠B =60°$，
∴ $△ABH$是等边三角形，
∴ $BH = AB =4$，
∴ $BC = BH + CH =4 +4 =8$。
②如图1，过点A作$AE ⊥ BC$于点E。
∵ $∠B =60°$，
∴ $∠BAE =30°$，
∴ $BE = \frac{1}{2} AB =2$，
∴ $AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} =2\sqrt{3}$。
由①知，$BC =8$，
∴ $S_{梯形ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) · AE = \frac{1}{2} ×(4 +8)×2\sqrt{3} =12\sqrt{3}$。
(2)如图2，记AC交BD于点O，过点D作$DF//AC$，交BC的延长线于点F，
∴ $∠BDF = ∠BOC =90°$。
∵ $AD//BC$，$AC//DF$，
∴ 四边形ACFD是平行四边形，
∴ $AC = DF = BD$，$AD = CF$，
∴ $△BDF$是等腰直角三角形，
∴ $BF =\sqrt{2} BD =6\sqrt{2}$，
∴ $AD + BC = CF + BC = BF =6\sqrt{2}$。
【答案】
22. 【点拨】本题考查梯形、平行四边形、等边三角形及等腰直角三角形的运用,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)①如图1,过点A作$AH//CD$,交BC于点H.
∵ $AH//CD$,$AD//BC$,
∴ 四边形ADCH是平行四边形,
∴ $CH = AD =4$.
∵ $AH//CD$,
∴ $∠AHB = ∠C =60°$.
又
∵ $∠B =60°$,
∴ $∠BAH = 180° - ∠AHB - ∠B =60°$,
∴ $△ABH$是等边三角形,
∴ $BH = AB =4$,
∴ $BC = BH + CH =4 +4 =8$.
②如图1,过点A作$AE ⊥ BC$于点E.
∵ $∠B =60°$,
∴ $∠BAE =30°$,
∴ $BE = \frac{1}{2} AB =2$,
∴ $AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} =2\sqrt{3}$.
由①知,$BC =8$,
∴ $S_{梯形ABCD} = \frac{1}{2} (AD + BC) · AE = \frac{1}{2} ×(4 +8)×2\sqrt{3} =12\sqrt{3}$.
(2)如图2,记AC交BD于点O,过点D作$DF//AC$,交BC的延长线于点F,
∴ $∠BDF = ∠BOC =90°$.
∵ $AD//BC$,$AC//DF$,
∴ 四边形ACFD是平行四边形,
∴ $AC = DF = BD$,$AD = CF$,
∴ $△BDF$是等腰直角三角形,
∴ $BF =\sqrt{2} BD =6\sqrt{2}$,
∴ $AD + BC = CF + BC = BF =6\sqrt{2}$.
【知识点】
梯形性质、平行四边形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题通过平移腰或对角线的辅助线作法，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题，是解决梯形问题的常用技巧，需熟练掌握此类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
