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15. 如图,在菱形ABCD中, $AE ⊥ BC$, 垂足为E. 若 $BE = CE$, 则 $∠ BAE =$
30
$°$.答案
15. 30 【点拨】本题考查菱形的性质,等边三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】如题图,连接AC,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $AB = BC$.
∵ $AE ⊥ BC$,$BE = CE$,
∴ $AB = AC$,
∴ AE平分$∠BAC$,$AB = AC = BC$,
∴ $△ABC$是等边三角形,
∴ $∠BAC = 60°$,
∴ $∠BAE = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$. 故答案为30.
【解析】如题图,连接AC,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $AB = BC$.
∵ $AE ⊥ BC$,$BE = CE$,
∴ $AB = AC$,
∴ AE平分$∠BAC$,$AB = AC = BC$,
∴ $△ABC$是等边三角形,
∴ $∠BAC = 60°$,
∴ $∠BAE = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$. 故答案为30.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用菱形的性质得到边的关系，再结合已知的垂直条件，通过垂直平分线的性质推导出三角形的形状，最后利用等边三角形的性质求出角度。具体思路：连接辅助线AC，根据菱形四边相等得AB=BC；由AE垂直BC且BE=CE，可知AE是BC的垂直平分线，进而得到AB=AC，推出△ABC为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质，即可算出∠BAE的度数。
【解析】
连接AC，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC（菱形的四条边相等）。
∵ AE ⊥ BC，BE = CE，
∴ AE是BC的垂直平分线，
∴ AB = AC（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴ AB = AC = BC，即△ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC = 60°，
又
∵ AE ⊥ BC，等边三角形三线合一，AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
30
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形和等边三角形的性质，关键是通过辅助线AC构造等边三角形，利用垂直平分线的性质推导边相等，属于基础几何综合题，注重对几何定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用菱形的性质得到边的关系，再结合已知的垂直条件，通过垂直平分线的性质推导出三角形的形状，最后利用等边三角形的性质求出角度。具体思路：连接辅助线AC，根据菱形四边相等得AB=BC；由AE垂直BC且BE=CE，可知AE是BC的垂直平分线，进而得到AB=AC，推出△ABC为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质，即可算出∠BAE的度数。
【解析】
连接AC，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC（菱形的四条边相等）。
∵ AE ⊥ BC，BE = CE，
∴ AE是BC的垂直平分线，
∴ AB = AC（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴ AB = AC = BC，即△ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC = 60°，
又
∵ AE ⊥ BC，等边三角形三线合一，AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
30
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形和等边三角形的性质，关键是通过辅助线AC构造等边三角形，利用垂直平分线的性质推导边相等，属于基础几何综合题，注重对几何定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
16. 用反证法证明命题“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”时，首先应假设
这两条直线不平行
.答案
16. 这两条直线不平行 【点拨】本题考查反证法的证明步骤:
(1)假设原命题的结论不成立;(2)根据假设进行推理,得出矛盾,说明假设不成立;(3)原命题正确.
【解析】首先应假设这两条直线不平行. 故答案为这两条直线不平行.
(1)假设原命题的结论不成立;(2)根据假设进行推理,得出矛盾,说明假设不成立;(3)原命题正确.
【解析】首先应假设这两条直线不平行. 故答案为这两条直线不平行.
解析
【分析】
解决本题需掌握反证法的证明步骤：反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，后续通过推导得出矛盾，进而证明原命题正确。本题中原命题的结论是“这两条直线也互相平行”，因此只需假设该结论的反面成立即可。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立。原命题的结论为“在同一平面内，两条直线都和第三条直线平行时，这两条直线互相平行”，其结论的反面是“这两条直线不平行”，所以首先应假设这两条直线不平行。
【答案】
这两条直线不平行
【知识点】
反证法
【点评】
本题考查反证法的基本操作步骤，属于基础概念类题目，只要牢记反证法中“假设结论不成立”这一核心要求，即可轻松解答。
【难度系数】
0.3
解决本题需掌握反证法的证明步骤：反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，后续通过推导得出矛盾，进而证明原命题正确。本题中原命题的结论是“这两条直线也互相平行”，因此只需假设该结论的反面成立即可。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立。原命题的结论为“在同一平面内，两条直线都和第三条直线平行时，这两条直线互相平行”，其结论的反面是“这两条直线不平行”，所以首先应假设这两条直线不平行。
【答案】
这两条直线不平行
【知识点】
反证法
【点评】
本题考查反证法的基本操作步骤，属于基础概念类题目，只要牢记反证法中“假设结论不成立”这一核心要求，即可轻松解答。
【难度系数】
0.3
17. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$,$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$F$.若$AB=5$,$AD=10$,$BF=8$,则$□ ABCD$的面积为________.
答案
17. 48 【点拨】本题考查平行四边形的性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,勾股定理及三角形面积公式.
【解析】如题图,设AE与BF交于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AD // BC$,
∴ $∠AFB = ∠CBF$.
∵ BF平分$∠ABC$,
∴ $∠ABF = ∠CBF$,
∴ $∠AFB = ∠ABF$,
∴ $AF = AB =5$.
∵ AE平分$∠BAD$,$AB = AF$,
∴ $OB = OF = \frac{1}{2} BF = \frac{1}{2} ×8 =4$,$AE ⊥ BF$,
∴ $AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 -4^2} =3$,
∴ $S_{△ABF} = \frac{1}{2} BF · AO = \frac{1}{2} ×8 ×3 =12$.
∵ $AF = \frac{1}{2} AD$,
∴ $S_{□ ABCD} = 4S_{△ABF} =4×12 =48$. 故答案为48.
【解析】如题图,设AE与BF交于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AD // BC$,
∴ $∠AFB = ∠CBF$.
∵ BF平分$∠ABC$,
∴ $∠ABF = ∠CBF$,
∴ $∠AFB = ∠ABF$,
∴ $AF = AB =5$.
∵ AE平分$∠BAD$,$AB = AF$,
∴ $OB = OF = \frac{1}{2} BF = \frac{1}{2} ×8 =4$,$AE ⊥ BF$,
∴ $AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 -4^2} =3$,
∴ $S_{△ABF} = \frac{1}{2} BF · AO = \frac{1}{2} ×8 ×3 =12$.
∵ $AF = \frac{1}{2} AD$,
∴ $S_{□ ABCD} = 4S_{△ABF} =4×12 =48$. 故答案为48.
解析
【分析】
要计算平行四边形ABCD的面积，需结合平行四边形性质与角平分线定义推导线段关系：1. 由平行四边形对边平行，结合BF平分∠ABC，推出△ABF为等腰三角形，得AF=AB；2. 同理，AE平分∠BAD，结合AB=AF，可知AE⊥BF且平分BF；3. 在直角△AOB中用勾股定理算出AO长度，求出△ABF的面积；4. 根据AF与AD的长度关系，得到平行四边形面积与△ABF面积的倍数关系，进而求出结果。
【解析】
设AE与BF交于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AFB = ∠CBF。
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF，
∴ ∠AFB = ∠ABF，
∴ AF = AB = 5。
∵ AE平分∠BAD，AB = AF，
∴ 由等腰三角形三线合一，得OB = OF = $\frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}×8 = 4$，且AE⊥BF。
在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
∴ $S_{△ABF} = \frac{1}{2}×BF×AO = \frac{1}{2}×8×3 = 12$。
∵ AD = 10，AF = 5，即AF = $\frac{1}{2}AD$，
∴ $S_{□ABCD} = 4S_{△ABF} = 4×12 = 48$。
【答案】
48
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线、等腰三角形及勾股定理的应用，核心是通过角平分线与平行线的组合构造等腰三角形，得到对角线垂直的关键关系，为面积计算提供依据，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要计算平行四边形ABCD的面积，需结合平行四边形性质与角平分线定义推导线段关系：1. 由平行四边形对边平行，结合BF平分∠ABC，推出△ABF为等腰三角形，得AF=AB；2. 同理，AE平分∠BAD，结合AB=AF，可知AE⊥BF且平分BF；3. 在直角△AOB中用勾股定理算出AO长度，求出△ABF的面积；4. 根据AF与AD的长度关系，得到平行四边形面积与△ABF面积的倍数关系，进而求出结果。
【解析】
设AE与BF交于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AFB = ∠CBF。
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF，
∴ ∠AFB = ∠ABF，
∴ AF = AB = 5。
∵ AE平分∠BAD，AB = AF，
∴ 由等腰三角形三线合一，得OB = OF = $\frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}×8 = 4$，且AE⊥BF。
在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
∴ $S_{△ABF} = \frac{1}{2}×BF×AO = \frac{1}{2}×8×3 = 12$。
∵ AD = 10，AF = 5，即AF = $\frac{1}{2}AD$，
∴ $S_{□ABCD} = 4S_{△ABF} = 4×12 = 48$。
【答案】
48
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线、等腰三角形及勾股定理的应用，核心是通过角平分线与平行线的组合构造等腰三角形，得到对角线垂直的关键关系，为面积计算提供依据，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
18. 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=7,DC=24,AB=15.M是AD边上的定点,N是BC边上的动点,O是MN的中点.点N从点B运动到点C的过程中,点O运动的路径长为
10
.答案
18. 10 【点拨】本题考查轨迹问题,熟练运用中位线定理判断点O的运动轨迹,再根据勾股定理求出轨迹的长度即可求解.
【解析】如图,连接AC,BM,CM,过点O作$OH//BC$交CM于点H,延长HO交BM于点G.
∵ O是MN的中点,$GH//BC$,
∴ G,H分别为BM,CM的中点,
∴ 线段GH为点O的运动轨迹,$GH = \frac{1}{2} BC$.
在$Rt△ACD$中, $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} =\sqrt{7^2 +24^2} =25$,
在$Rt△ABC$中, $BC =\sqrt{AC^2 - AB^2} =\sqrt{25^2 -15^2} =20$,
∴ $GH = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} ×20 =10$. 故答案为10.
解析
【分析】
要确定点O的运动路径，需利用中位线定理分析O点的轨迹：O是MN的中点，当N在BC上运动时，过O作平行于BC的直线，交BM、CM于G、H，根据中位线性质，GH是△MBC的中位线，故GH平行于BC且长度为BC的一半，因此O点的运动轨迹为线段GH，只需计算BC的长度即可得到GH的长度。
【解析】
1. 连接AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理计算AC的长度：
$ AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 $。
2. 在Rt△ABC中，根据勾股定理计算BC的长度：
$ BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 $。
3. 因为O是MN的中点，过O作$ GH // BC $，交BM于G，交CM于H，根据三角形中位线定理，GH是△MBC的中位线，所以$ GH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 20 = 10 $，即点O运动的路径长为10。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理、三角形中位线定理、轨迹问题
【点评】
本题结合轨迹问题，考查勾股定理与三角形中位线定理的应用，关键是通过中位线定理确定点O的运动轨迹，再结合勾股定理计算线段长度，综合性适中，需要学生具备一定的几何分析能力。
【难度系数】
0.5
要确定点O的运动路径，需利用中位线定理分析O点的轨迹：O是MN的中点，当N在BC上运动时，过O作平行于BC的直线，交BM、CM于G、H，根据中位线性质，GH是△MBC的中位线，故GH平行于BC且长度为BC的一半，因此O点的运动轨迹为线段GH，只需计算BC的长度即可得到GH的长度。
【解析】
1. 连接AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理计算AC的长度：
$ AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 $。
2. 在Rt△ABC中，根据勾股定理计算BC的长度：
$ BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 $。
3. 因为O是MN的中点，过O作$ GH // BC $，交BM于G，交CM于H，根据三角形中位线定理，GH是△MBC的中位线，所以$ GH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 20 = 10 $，即点O运动的路径长为10。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理、三角形中位线定理、轨迹问题
【点评】
本题结合轨迹问题，考查勾股定理与三角形中位线定理的应用，关键是通过中位线定理确定点O的运动轨迹，再结合勾股定理计算线段长度，综合性适中，需要学生具备一定的几何分析能力。
【难度系数】
0.5
19.（6分）一个不透明的盒子中装有除颜色外均相同的黑球和白球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
(1)从该盒中任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为________；(精确到0.01)
(2)估计盒中白球的个数是________；
(3)以下数学试验及结果：
①一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子，6点朝上；
②从标有1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片；
③抛一枚硬币，正面朝上.
其中，大量重复试验后，结果出现的频率与(1)中的估计值最接近的是________.(填序号)
(1)从该盒中任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为________；(精确到0.01)
(2)估计盒中白球的个数是________；
(3)以下数学试验及结果：
①一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子，6点朝上；
②从标有1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片；
③抛一枚硬币，正面朝上.
其中，大量重复试验后，结果出现的频率与(1)中的估计值最接近的是________.(填序号)
答案
19. 【点拨】本题考查用频率估计概率,利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.
【解析】(1)从该盒中任意摸出一个球,摸到白球的概率的估计值为0.60. 故答案为0.60.
(2)估计盒中白球的个数是$40×0.60 =24$. 故答案为24.
(3)①6点朝上的概率为$\frac{1}{6}$;
②抽到标有奇数的卡片的概率为$\frac{3}{5}=0.60$;
③正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$.
其中,大量重复试验后,结果出现的频率与(1)中的估计值最接近的是②. 故答案为②.
【解析】(1)从该盒中任意摸出一个球,摸到白球的概率的估计值为0.60. 故答案为0.60.
(2)估计盒中白球的个数是$40×0.60 =24$. 故答案为24.
(3)①6点朝上的概率为$\frac{1}{6}$;
②抽到标有奇数的卡片的概率为$\frac{3}{5}=0.60$;
③正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$.
其中,大量重复试验后,结果出现的频率与(1)中的估计值最接近的是②. 故答案为②.
解析
【分析】
首先，根据用频率估计概率的知识：当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值。观察表格中摸到白球的频率，随着摸球次数增加，频率逐渐稳定在0.60左右，由此可确定摸到白球的概率估计值。接着，利用“白球个数=总球数×摸到白球的概率”计算白球数量。最后，分别计算三个试验结果的概率，与(1)中的概率估计值对比，找到最接近的序号。
【解析】
(1) 观察表格中摸到白球的频率，当试验次数足够多时，频率稳定在0.60附近，因此摸到白球的概率估计值为0.60（精确到0.01）。
(2) 已知总球数为40个，白球个数=总球数×摸到白球的概率，即$40×0.60=24$。
(3) 分别计算三个事件的概率：
① 抛掷骰子，6点朝上的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$；
② 从标有1、2、3、4、5的五张卡片中抽奇数，奇数有3张，概率为$\frac{3}{5}=0.60$；
③ 抛硬币正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.50$；
对比可知，0.60与②的概率最接近。
【答案】
(1)0.60；(2)24；(3)②
【知识点】
用频率估计概率、概率计算
【点评】
本题考查用频率估计概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率稳定值即为概率，结合概率公式即可解决问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.3
首先，根据用频率估计概率的知识：当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值。观察表格中摸到白球的频率，随着摸球次数增加，频率逐渐稳定在0.60左右，由此可确定摸到白球的概率估计值。接着，利用“白球个数=总球数×摸到白球的概率”计算白球数量。最后，分别计算三个试验结果的概率，与(1)中的概率估计值对比，找到最接近的序号。
【解析】
(1) 观察表格中摸到白球的频率，当试验次数足够多时，频率稳定在0.60附近，因此摸到白球的概率估计值为0.60（精确到0.01）。
(2) 已知总球数为40个，白球个数=总球数×摸到白球的概率，即$40×0.60=24$。
(3) 分别计算三个事件的概率：
① 抛掷骰子，6点朝上的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$；
② 从标有1、2、3、4、5的五张卡片中抽奇数，奇数有3张，概率为$\frac{3}{5}=0.60$；
③ 抛硬币正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.50$；
对比可知，0.60与②的概率最接近。
【答案】
(1)0.60；(2)24；(3)②
【知识点】
用频率估计概率、概率计算
【点评】
本题考查用频率估计概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率稳定值即为概率，结合概率公式即可解决问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.3
20. (6分)如图,在$\ykparallelogram ABCD$中,点$E,F$在对角线$BD$上,且$BE = DF$.
求证:四边形$AECF$是平行四边形.
求证:四边形$AECF$是平行四边形.
答案
20. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】证明:如题图,连接AC交BD于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $OA = OC$,$OB = OD$.
∵ $BE = DF$,
∴ $OB - BE = OD - DF$,即$OE = OF$,
∴ 四边形AECF是平行四边形.
【解析】证明:如题图,连接AC交BD于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $OA = OC$,$OB = OD$.
∵ $BE = DF$,
∴ $OB - BE = OD - DF$,即$OE = OF$,
∴ 四边形AECF是平行四边形.
解析
【分析】要证明四边形AECF是平行四边形，结合已知条件，四边形ABCD是平行四边形，其对角线互相平分，因此连接AC交BD于点O，利用平行四边形对角线的性质得到OA=OC、OB=OD，再结合BE=DF，可推出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可完成证明。
【解析】证明：连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵ BE = DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE = OF。
∵ OA = OC，OE = OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】四边形AECF是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知线段相等推导目标四边形的对角线关系，属于基础几何证明题，需熟练掌握平行四边形的相关定理。
【难度系数】0.6
【解析】证明：连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵ BE = DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE = OF。
∵ OA = OC，OE = OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】四边形AECF是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知线段相等推导目标四边形的对角线关系，属于基础几何证明题，需熟练掌握平行四边形的相关定理。
【难度系数】0.6
