24. (8 分)数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法,但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解,小明思考后发现,可以分组进行因式分解,例如:$a^2 - b^2 + a - b = (a - b)(a + b) + (a - b) × 1 = (a - b)(a + b + 1)$. 请解决以下问题:
(1)将多项式$m^2 - 9n^2$因式分解:$m^2 - 9n^2 = \_\_\_\_\_\_$;
(2)将多项式$m^2 - 9n^2 + m - 3n$因式分解;
(3)$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$ac - bc + a^2 - b^2 = 0$,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.

24. 【点拨】本题考查因式分解的应用.
【解析】(1) $m^2 - 9n^2$
$=m^2 - (3n)^2$
$=(m - 3n)(m + 3n)$.
故答案为$(m - 3n)(m + 3n)$.
(2) $m^2 - 9n^2 + m - 3n$
$=m^2 - (3n)^2 + (m - 3n)$
$=(m - 3n)(m + 3n) + (m - 3n)$
$=(m - 3n)(m + 3n + 1)$.
(3)$△ ABC$是等腰三角形. 理由如下:
$\because ac - bc + a^2 - b^2 = 0$,$\therefore c(a - b) + (a - b)(a + b) = 0$,
$\therefore (a - b)(a + b + c) = 0$.
$\because a + b + c ≠ 0$,$\therefore a - b = 0$,即$a = b$,
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.

【分析】本题包含三个小问，分别考查因式分解及三角形形状判断：第(1)问需运用平方差公式直接分解，将9n²转化为(3n)²即可；第(2)问需分组后，先对前两项用平方差公式分解，再提取公因式；第(3)问需对等式左边因式分解，结合三角形三边长度之和不为0的性质，推导两边相等，进而判断三角形形状。
【解析】(1) $m^2 - 9n^2$
$=m^2 - (3n)^2$
$=(m - 3n)(m + 3n)$；
(2) $m^2 - 9n^2 + m - 3n$
$=m^2 - (3n)^2 + (m - 3n)$
$=(m - 3n)(m + 3n) + (m - 3n)$
$=(m - 3n)(m + 3n + 1)$；
(3) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because ac - bc + a^2 - b^2 = 0$，
$\therefore c(a - b) + (a - b)(a + b) = 0$，
$\therefore (a - b)(a + b + c) = 0$，
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边，$\therefore a + b + c ≠ 0$，
$\therefore a - b = 0$，即$a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
【答案】(1) $(m - 3n)(m + 3n)$；(2) $(m - 3n)(m + 3n + 1)$；(3) $△ ABC$是等腰三角形，理由见解析。
【知识点】因式分解（平方差公式、分组分解法）、等腰三角形判定
【点评】本题综合考查因式分解的应用及三角形形状判断，需熟练掌握平方差公式、分组分解法、提公因式法等因式分解方法，同时结合三角形三边的非零性进行推理，难度适中。
【难度系数】0.6

25. (10分)如图,∠CAE是△ABC的一个外角,AB=AC,CF//BE.
(1)尺规作图:作∠CAE的平分线,交CF于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.

25. 【点拨】本题考查作图——基本作图,等腰三角形的性质和平行四边形的判定,熟练掌握基本作图是解题的关键.
【解析】(1)如图,AD即为所作.
(2)证明:$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B = ∠ ACB$.
$\because AD$平分$∠ CAE$,$\therefore ∠ CAD = ∠ EAD$.
$\because ∠ CAE = ∠ B + ∠ ACB$,即$∠ CAD + ∠ EAD = ∠ B + ∠ ACB$,
$\therefore ∠ EAD = ∠ B$,$\therefore AD//BC$.
$\because CF//BE$,$\therefore AB//CD$,$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形.

【分析】
第(1)问需运用尺规作角平分线的基本作图方法：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AC、AE于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点A和该交点作射线，即为∠CAE的平分线，该射线与CF的交点即为D。第(2)问要证明四边形ABCD是平行四边形，需利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，结合等腰三角形性质、三角形外角性质推导对边平行关系。
【解析】
(1) 如图，AD即为所作（）。
(2) 证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠ACB（等腰三角形两底角相等）。
∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD = ∠EAD（角平分线定义）。
∵ ∠CAE是△ABC的外角，
∴ ∠CAE = ∠B + ∠ACB（三角形外角等于不相邻两内角和），
即 ∠CAD + ∠EAD = ∠B + ∠ACB，
∴ 2∠EAD = 2∠B，
∴ ∠EAD = ∠B，
∴ AD//BC（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ CF//BE，即 CD//AB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) 如图，AD即为所作（）；
(2) 四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】
基本作图（角平分线）、等腰三角形性质、平行四边形的判定
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，考查了基本作图的操作方法，以及等腰三角形性质、平行四边形判定定理的应用，是一道综合性适中的几何题，要求学生熟练掌握相关知识点并能灵活运用。
【难度系数】
0.5

26. (12分)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
(1)为证明上述定理,需先写出已知,求证,如下:
已知:如图,DE是$△ ABC$的中位线.
求证:________,________;
(2)请写出证明过程.

26. 【点拨】本题考查三角形的中位线定理的证明,掌握全等三角形的性质和判定以及平行四边形的判定和性质是解题的关键.
【解析】(1)根据题目“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,可知求证:$DE//BC$,$DE=\frac{1}{2}BC$.
故答案为$DE//BC$,$DE=\frac{1}{2}BC$.
(2)证明:如图,延长DE至点F,使EF=DE,连接CF.
$\because E$是AC的中点,$\therefore AE=CE$.
在$△ ADE$和$△ CFE$中,
$\begin{cases}AE = CE, \\∠ AED = ∠ CEF, \\DE = FE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD = CF$,$∠ ADE = ∠ F$,$\therefore BD//CF$.
$\because D$是AB的中点,$\therefore AD = BD$,
$\therefore BD = CF$,$\therefore$ 四边形BCFD是平行四边形,
$\therefore DF//BC$,$DF = BC$,$\therefore DE//BC$.
$\because DE = EF$,$\therefore DE = \frac{1}{2}DF$,$\therefore DE = \frac{1}{2}BC$.

【分析】
要解决本题，需明确三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。已知DE是△ABC的中位线，即D、E分别为AB、AC的中点，因此需要证明DE与BC平行，且DE的长度是BC的一半。证明时通过延长中位线构造全等三角形，将线段和角转化，再利用平行四边形的判定与性质推导结论，这是证明该定理的经典方法。
【解析】
(1) 根据三角形中位线定理的内容，结合已知条件“DE是△ABC的中位线”，可得求证：$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
(2) 证明：如图，延长DE至点F，使$EF=DE$，连接CF。
∵ E是AC的中点，
∴ $AE=CE$。
在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases} AE = CE, \\ ∠AED = ∠CEF, \\ DE = FE, \end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CFE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AD = CF$，$∠ADE = ∠F$，
∴ $BD// CF$。
∵ D是AB的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $BD = CF$，
∴ 四边形BCFD是平行四边形，
∴ $DF// BC$，$DF = BC$，
∴ $DE// BC$。
∵ $DE = EF$，
∴ $DE = \frac{1}{2}DF$，
∴ $DE = \frac{1}{2}BC$。
【答案】
(1) $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$；(2) 证明过程如上。
【知识点】
三角形中位线定理、全等三角形判定、平行四边形性质
【点评】
本题考查三角形中位线定理的证明，通过构造全等三角形和平行四边形完成定理推导，体现了转化的数学思想，是几何证明中辅助线构造的典型应用。
【难度系数】
0.5