27.（14分）综合与实践
动手实践:数学课上老师让学生们折矩形纸片,下面几幅图是学生们折出的一部分图形(沿直线$ l $折叠),由于折痕所在的直线不同,折出的图形也不同,各个图形中所隐含的基本图形也不同,我们可以通过发现基本图形研究这些图形中的几何问题.

第27题图1
问题解决:
(1)如图2,将矩形纸片$ ABCD $沿直线$ MN $折叠,使得点$ C $与点$ A $重合,点$ D $落在点$ D_1 $的位置,连接$ MC,AN,AC $,线段$ AC $交$ MN $于点$ O $,则$ △ CDM $与$ △ AD_1M $的关系为________,线段$ AC $与线段$ MN $的关系为________,小强量得$ ∠ MNC = 50° $,则$ ∠ DAN = \_\_\_\_\_\_ $,小丽说:“四边形$ ANCM $是菱形”,请你帮她证明;
拓展延伸:
(2)如图3,矩形纸片$ ABCD $中,$ BC = 2AB = 6,BM = 4 $,小明将矩形纸片$ ABCD $沿直线$ AM $折叠,点$ B $落在点$ B_1 $的位置,$ MB_1 $交$ AD $于点$ N $,请你直接写出线段$ ND $的长为________;
综合探究:
(3)如图4,$ ABCD $是一张矩形纸片,$ AD = 1,AB = 5 $,在矩形$ ABCD $的边$ AB $上取一点$ M(M $不与点$ A,B $重合),在$ CD $上取一点$ N(N $不与点$ C,D $重合),将纸片沿直线$ MN $折叠,使线段$ MB $与线段$ DN $交于点$ P $,得到$ △ MNP $,请你确定$ △ MNP $面积的取值范围是________.

27. 【点拨】本题考查矩形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,菱形的判定.
【解析】(1)$\because$ 矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C与点A重合,点D落在点$D_1$的位置,
$\therefore AM=MC$,$AD_1=CD$,$MD_1=MD$,$\therefore △ AD_1M≌△ CDM(\mathrm{SSS})$.
$\because MN$垂直平分线段AC,$\therefore OA=OC$.
$\because AD//BC$,$\therefore ∠ AMO=∠ CNO$,
又$\because ∠ AOM=∠ CON$,$\therefore △ AMO≌△ CNO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OM=ON$,$AM=CN$,$\therefore AM=MC=CN$,
$\therefore$ 线段AC与线段MN互相垂直平分,$\therefore NA=NC$.
$\because AM=MC$,$NA=NC$,$AM=CN$,$\therefore AM=CM=CN=NA$.
$\therefore$ 四边形ANCM是菱形,$\therefore ∠ ANM=∠ MNC=50°$,
$\therefore ∠ ANC=100°$.
$\because AD//BC$,$\therefore ∠ DAN=180°-100°=80°$.
故答案为$△ AD_1M≌△ CDM$,线段AC与线段MN互相垂直平分,$80°$.
(2)$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore AD=BC$,$∠ B=90°$,$AD//BC$.
由折叠的性质得$∠ AMB=∠ AMN$,$∠ B_1=∠ B=90°$.
$\because AD//BC$,$\therefore ∠ AMB=∠ MAN$,$\therefore ∠ AMN=∠ MAN$,$\therefore AN=MN$,
在$\mathrm{Rt}△ ANB_1$中,$AB_1=AB=3$,$NB_1=MB_1-MN=MB-AN=4-AN$,由勾股定理得$AN^2=3^2+(4-AN)^2$,
解得$AN=\frac{25}{8}$,$\therefore DN=AD-AN=6-\frac{25}{8}=\frac{23}{8}$. 故答案为$\frac{23}{8}$.
(3)如图,当点B与点D重合时,$△ MNP$的面积最大,作$MH⊥ BN$于点H,则$MH=AB=1$.
由折叠的性质得$MP=MQ$,
设$MP=MQ=x$,则$AM=5-x$.
在$\mathrm{Rt}△ APM$中,由勾股定理得$(5-x)^2+1^2=x^2$,解得$x=2.6$.
由(1)知$MP=NP=2.6$,$MH=1$.
$\therefore S_{△ MNP}=\frac{1}{2}· NP· MH=1.3$,即$△ MNP$面积的最大值为1.3.
$\because PN$的最小值为1,$\therefore △ MNP$的面积的最小值为$\frac{1}{2}×1×1=0.5$,
$\therefore △ MNP$面积的取值范围是$0.5≤ S_{△ MNP}≤1.3$. 故答案为$0.5≤ S_{△ MNP}≤1.3$.

【分析】本题为矩形折叠的综合几何题，解题核心是利用折叠的性质（折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线），结合矩形对边平行、四个角为直角的性质，运用全等三角形判定、菱形判定、勾股定理等知识分步求解。第(1)问通过折叠的对应边相等证三角形全等，再结合平行线性质和全等三角形推导MN与AC的关系，利用菱形性质求角度并证明菱形；第(2)问利用折叠的角相等和平行线的内错角相等得到等腰三角形，再用勾股定理求线段长度；第(3)问需确定△MNP面积的最值，找到最大、最小面积的情况后结合勾股定理计算取值范围。
【解析】(1) 由折叠性质得：$AD_1=CD$，$MD_1=MD$，$AM=MC$，又矩形$ABCD$中$CD=AB$，$∠ D=∠ D_1=90°$，故$△ AD_1M ≌ △ CDM$（SSS）；折叠后$MN$垂直平分$AC$，故$OA=OC$；因$AD // BC$，得$∠ AMO=∠ CNO$，又$∠ AOM=∠ CON$，故$△ AMO ≌ △ CNO$（AAS），得$OM=ON$，$AM=CN$，因此线段$AC$与线段$MN$互相垂直平分；由四边形$ANCM$是菱形，得$∠ ANM=∠ MNC=50°$，故$∠ ANC=100°$，又$AD // BC$，得$∠ DAN=180° - 100°=80°$；证明：由$AM=MC$，$AN=NC$，$AM=CN$，得$AM=CM=CN=NA$，故四边形$ANCM$是菱形。
(2) 矩形$ABCD$中$AD=BC=6$，$AB=3$，$∠ B=90°$，折叠得$∠ AMB=∠ AMN$，$MB_1=MB=4$，$AB_1=AB=3$；因$AD // BC$，得$∠ AMB=∠ MAN$，故$∠ AMN=∠ MAN$，得$AN=MN$；设$AN=x$，则$NB_1=4-x$，在$\mathrm{Rt}△ ANB_1$中，由勾股定理：$x^2=3^2+(4-x)^2$，解得$x=\frac{25}{8}$，故$DN=AD - AN=6 - \frac{25}{8}=\frac{23}{8}$。
(3) 当点$B$与点$D$重合时，$△ MNP$面积最大，作$MH ⊥ BN$于点$H$，则$MH=AB=1$；设$MP=MQ=x$，则$AM=5-x$，在$\mathrm{Rt}△ APM$中，由勾股定理得$(5-x)^2 + 1^2=x^2$，解得$x=2.6$；由折叠性质得$MP=NP=2.6$，故$S_{△ MNP}=\frac{1}{2} · NP · MH=1.3$；当$PN$最小为1时，$△ MNP$面积最小为$\frac{1}{2} × 1 × 1=0.5$，故$△ MNP$面积的取值范围是$0.5 ≤ S_{△ MNP} ≤ 1.3$。
【答案】$△ AD_1M ≌ △ CDM$；互相垂直平分；$80°$；四边形$ANCM$是菱形；$\frac{23}{8}$；$0.5 ≤ S_{△ MNP} ≤ 1.3$；
【知识点】矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】本题是矩形折叠的综合题，融合了全等三角形、菱形判定、勾股定理等核心几何知识，需要学生熟练运用折叠的性质，结合矩形的特征逐步分析，综合性较强，对学生的几何逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】0.4