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22. (8 分)如图,$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,将对角线 $BD$ 向两个方向延长,分别至点 $E$ 和点 $F$,且使 $BE = DF$.
(1)求证:四边形 $AECF$ 是平行四边形;
(2)若 $OF = OA$,求证:四边形 $AECF$ 是矩形.
(1)求证:四边形 $AECF$ 是平行四边形;
(2)若 $OF = OA$,求证:四边形 $AECF$ 是矩形.
答案
22. 【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定,矩形的判定.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,$\therefore AO=CO,OD=OB$.
又$\because BE=DF$,$\therefore OD+DF=OB+BE$,即$OF=OE$,
$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形.
(2)证明:$\because OF=OA$,$\therefore ∠ OFA=∠ OAF$.
又$\because OF=OE$,$\therefore OA=OE$,$\therefore ∠ OAE=∠ OEA$.
$\because ∠ OFA+∠ OAF+∠ OAE+∠ OEA=180°$,
$\therefore ∠ OAF+∠ OAE=90°$,即$∠ EAF=90°$,$\therefore FA⊥ EA$.
又$\because$ 四边形AECF是平行四边形,$\therefore$ 四边形AECF是矩形.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,$\therefore AO=CO,OD=OB$.
又$\because BE=DF$,$\therefore OD+DF=OB+BE$,即$OF=OE$,
$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形.
(2)证明:$\because OF=OA$,$\therefore ∠ OFA=∠ OAF$.
又$\because OF=OE$,$\therefore OA=OE$,$\therefore ∠ OAE=∠ OEA$.
$\because ∠ OFA+∠ OAF+∠ OAE+∠ OEA=180°$,
$\therefore ∠ OAF+∠ OAE=90°$,即$∠ EAF=90°$,$\therefore FA⊥ EA$.
又$\because$ 四边形AECF是平行四边形,$\therefore$ 四边形AECF是矩形.
解析
【分析】
要证明四边形AECF是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质，结合已知BE=DF推导四边形AECF的对角线互相平分；要证明平行四边形AECF是矩形，可结合已知OF=OA，利用矩形的判定定理推导。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴ AO = CO，OD = OB（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵ BE = DF，
∴ OD + DF = OB + BE，即 OF = OE。
∴ 四边形AECF的对角线AC和EF互相平分，故四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
由(1)知四边形AECF是平行四边形，故 OE = OF。
已知 OF = OA，
∴ OA = OF = OE，
∴ ∠OAF = ∠OFA，∠OAE = ∠OEA（等腰三角形两底角相等）。
∵ ∠OFA + ∠OAF + ∠OAE + ∠OEA = 180°（三角形内角和为180°），
∴ ∠OAF + ∠OAE = 90°，即 ∠EAF = 90°。
又
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ 有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故四边形AECF是矩形。
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形；(2) 四边形AECF是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定，需熟练运用平行四边形的对角线性质推导，结合等腰三角形性质和三角形内角和推导直角，属于基础几何证明题，注重定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6
要证明四边形AECF是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质，结合已知BE=DF推导四边形AECF的对角线互相平分；要证明平行四边形AECF是矩形，可结合已知OF=OA，利用矩形的判定定理推导。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴ AO = CO，OD = OB（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵ BE = DF，
∴ OD + DF = OB + BE，即 OF = OE。
∴ 四边形AECF的对角线AC和EF互相平分，故四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
由(1)知四边形AECF是平行四边形，故 OE = OF。
已知 OF = OA，
∴ OA = OF = OE，
∴ ∠OAF = ∠OFA，∠OAE = ∠OEA（等腰三角形两底角相等）。
∵ ∠OFA + ∠OAF + ∠OAE + ∠OEA = 180°（三角形内角和为180°），
∴ ∠OAF + ∠OAE = 90°，即 ∠EAF = 90°。
又
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ 有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故四边形AECF是矩形。
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形；(2) 四边形AECF是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的判定，需熟练运用平行四边形的对角线性质推导，结合等腰三角形性质和三角形内角和推导直角，属于基础几何证明题，注重定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6
23. (6分)如图,正方形网格中(网格中的每个小正方形的边长都是1,小正方形的顶点叫格点),△ABC的顶点均在格点上,请在图中所给的平面直角坐标系中解答下列问题:
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转$90°$后的$△ A_1B_1C_1$,并写出点C的对应点$C_1$的坐标为
(2)画出△ABC关于点O成中心对称的$△ A_2B_2C_2$;
(3)点D为平面内一点,若以点A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,则所有满足条件的点D的坐标为
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转$90°$后的$△ A_1B_1C_1$,并写出点C的对应点$C_1$的坐标为
$(-2,3)$
;(2)画出△ABC关于点O成中心对称的$△ A_2B_2C_2$;
(3)点D为平面内一点,若以点A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,则所有满足条件的点D的坐标为
$(-5,-3),(1,-1),(-3,1)$
.答案
23. 【点拨】本题考查图形变换——旋转,中心对称作图,平行四边形的判定,点的坐标.
【解析】(1)如图,$△ A_1B_1C_1$为所求作的三角形,由图可知$C_1(-2,3)$. 故答案为$(-2,3)$.
(2)如图所示,$△ A_2B_2C_2$为所求作的三角形.
(3)如图,点$D_1,D_2,D_3$均满足题意,
$\therefore$ 所有满足条件的点D的坐标为$(-5,-3),(1,-1),(-3,1)$. 故答案为$(-5,-3),(1,-1),(-3,1)$.
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用旋转的性质，绕点A顺时针旋转90°时，需确定点C相对于A的位置，将该位置顺时针旋转90°得到对应点C₁，进而确定其坐标；
2. 第(2)问：中心对称的点关于原点O对称，即点(x,y)的对称点为(-x,-y)，分别求出A、B、C的对称点，连接得到目标三角形；
3. 第(3)问：以A、B、C、D为顶点的平行四边形，分三种情况（AB为对角线、AC为对角线、BC为对角线）讨论，利用平行四边形对角线互相平分（中点相同），结合中点坐标公式计算点D的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 先确定各点坐标：A(-1,0)，C(-4,-1)。将点C绕点A顺时针旋转90°，向量AC为(-3,-1)，顺时针旋转90°后的向量为(-1,3)，因此C₁的坐标为(-1+(-1),0+3)=(-2,3)，据此画出△A₁B₁C₁；
(2) 关于原点O中心对称的点满足(x,y)→(-x,-y)，则A(-1,0)的对称点A₂(1,0)，B(-2,-2)的对称点B₂(2,2)，C(-4,-1)的对称点C₂(4,1)，连接三点得到△A₂B₂C₂；
(3) 分三种情况求D的坐标：
① AB为对角线时，AB中点为(-1.5,-1)，设D(x,y)，则C与D的中点也为该点，解得D(1,-1)；
② AC为对角线时，AC中点为(-2.5,-0.5)，同理解得D(-3,1)；
③ BC为对角线时，BC中点为(-3,-1.5)，同理解得D(-5,-3)；
综上，满足条件的D坐标为(-5,-3),(1,-1),(-3,1)。
【答案】
(1) (-2,3)；(2) 作图见解析；(3) (-5,-3),(1,-1),(-3,1)
【知识点】
图形的变换、平行四边形的性质、点的坐标
【点评】
本题综合考查图形变换与平行四边形的坐标问题，需掌握旋转、中心对称的作图方法，平行四边形对角线互相平分的性质是解题核心，第(3)问需分类讨论，易漏解，对学生的分类思维有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用旋转的性质，绕点A顺时针旋转90°时，需确定点C相对于A的位置，将该位置顺时针旋转90°得到对应点C₁，进而确定其坐标；
2. 第(2)问：中心对称的点关于原点O对称，即点(x,y)的对称点为(-x,-y)，分别求出A、B、C的对称点，连接得到目标三角形；
3. 第(3)问：以A、B、C、D为顶点的平行四边形，分三种情况（AB为对角线、AC为对角线、BC为对角线）讨论，利用平行四边形对角线互相平分（中点相同），结合中点坐标公式计算点D的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 先确定各点坐标：A(-1,0)，C(-4,-1)。将点C绕点A顺时针旋转90°，向量AC为(-3,-1)，顺时针旋转90°后的向量为(-1,3)，因此C₁的坐标为(-1+(-1),0+3)=(-2,3)，据此画出△A₁B₁C₁；
(2) 关于原点O中心对称的点满足(x,y)→(-x,-y)，则A(-1,0)的对称点A₂(1,0)，B(-2,-2)的对称点B₂(2,2)，C(-4,-1)的对称点C₂(4,1)，连接三点得到△A₂B₂C₂；
(3) 分三种情况求D的坐标：
① AB为对角线时，AB中点为(-1.5,-1)，设D(x,y)，则C与D的中点也为该点，解得D(1,-1)；
② AC为对角线时，AC中点为(-2.5,-0.5)，同理解得D(-3,1)；
③ BC为对角线时，BC中点为(-3,-1.5)，同理解得D(-5,-3)；
综上，满足条件的D坐标为(-5,-3),(1,-1),(-3,1)。
【答案】
(1) (-2,3)；(2) 作图见解析；(3) (-5,-3),(1,-1),(-3,1)
【知识点】
图形的变换、平行四边形的性质、点的坐标
【点评】
本题综合考查图形变换与平行四边形的坐标问题，需掌握旋转、中心对称的作图方法，平行四边形对角线互相平分的性质是解题核心，第(3)问需分类讨论，易漏解，对学生的分类思维有一定要求。
【难度系数】
0.5
