18. 邻边长分别为1,a(a＞1)的平行四边形纸片,如图所示折一下,剪下一个边长等于1的菱形(称为第一次操作);再把剩下的平行四边形如图所示折一下,剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形(称为第二次操作);再把剩下的平行四边形如此反复操作下去.若在第三次操作后,剩下的平行四边形为菱形,则a的值为.

18. $\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{5}{2}$或4 【点拨】本题考查菱形的性质.
【解析】①如图1,经历三次折叠后,四边形IJHF为菱形.$\because$ 四边形ABCD为菱形,$\therefore AB=AD=BC=CD=1$,$DF=CE=a-1$. $\because$ 四边形CEHG为菱形,$\therefore GC=CE=a-1$,$\therefore DG=FH=1-(a-1)=2-a$. $\because$ 四边形IDGJ为菱形,$\therefore ID=GD=2-a$,$\therefore IF=a-1-(2-a)=2a-3$. $\because$ 四边形IJHF为菱形,$\therefore IF=HF$,即$2a-3=2-a$,解得$a=\frac{5}{3}$;
②如图2,经历三次折叠后,四边形DIHF为菱形.$\because$ 四边形ABCD是菱形,$\therefore AB=AD=DC=BC=1$,$\therefore DF=a-1$. $\because$ 四边形JCEG,IJGH,DIHF都为菱形,$\therefore DI=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}$,$\therefore a-1=\frac{1}{3}$,解得$a=\frac{4}{3}$;
③如图3,经历三次折叠后,四边形FIJH为菱形.$\because$ 四边形ABCD,DCEF为菱形,$\therefore AB=AD=BC=CD=CE=EF=DF=1$,$\therefore FH=a-2$. $\because$ 四边形FIJH,IEGJ都为菱形,$\therefore FH=FI=IE=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}$,$\therefore a-2=\frac{1}{2}$,解得$a=\frac{5}{2}$;
④如图4,经历三次折叠后,四边形HGIJ为菱形.$\because$ 四边形ABCD,DCEF,EFHG,HGIJ都是菱形,$\therefore AB=AD=DF=FH=1$,$\therefore HJ=a-3=IJ=1$,即$a-3=1$,$\therefore a=4$. 综上所述,a的值为$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{5}{2}$或4. 故答案为$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{5}{2}$或4.

【分析】
要解决这个问题，需明确每次操作规则：从邻边长为1和a（a＞1）的平行四边形中，每次剪下边长等于某一边的菱形，操作三次后剩下的平行四边形为菱形，说明此时剩余图形的邻边相等。需分四种不同的折叠操作情况，结合菱形边长相等的性质列方程求解a的值，确保不遗漏符合条件的情况。
【解析】
分四种情况讨论：
1. 情况一（对应图1）：三次操作后剩余四边形IJHF为菱形。
原平行四边形邻边为1和a，第一次操作后DF=CE=a-1；第二次操作后GC=CE=a-1，故DG=1-(a-1)=2-a；第三次操作后ID=GD=2-a，因此IF=(a-1)-(2-a)=2a-3。因IJHF是菱形，故IF=HF，即2a-3=2-a，解得$a=\frac{5}{3}$。
2. 情况二（对应图2）：三次操作后剩余四边形DIHF为菱形。
第一次操作后DF=a-1，后续操作中DI=$\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}$（CD=1），故$a-1=\frac{1}{3}$，解得$a=\frac{4}{3}$。
3. 情况三（对应图3）：三次操作后剩余四边形FIJH为菱形。
第一次操作后CE=EF=1，第二次操作后FH=a-2，第三次操作中FI=$\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}$，故$a-2=\frac{1}{2}$，解得$a=\frac{5}{2}$。
4. 情况四（对应图4）：三次操作后剩余四边形HGIJ为菱形。
每次剪下的菱形边长为1，共三次操作，故$a-3=1$，解得$a=4$。
综上，a的值为$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{5}{2}$或4。
【答案】
$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{5}{2}$或4
【知识点】
菱形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合图形折叠与菱形性质，通过分类讨论不同操作后的剩余图形，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，需全面考虑所有符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4

19. (6 分)因式分解:
(1) $-16x^4 + 81y^4$;
(2) $a^3 - 6a^2b + 9ab^2$.

19. 【点拨】本题考查因式分解.
【解析】(1) $-16x^4 + 81y^4$
$=81y^4 - 16x^4$
$=(9y^2)^2 - (4x^2)^2$
$=(9y^2 + 4x^2)(9y^2 - 4x^2)$
$=(9y^2 + 4x^2)(3y + 2x)(3y - 2x)$.
(2) $a^3 - 6a^2b + 9ab^2$
$=a(a^2 - 6ab + 9b^2)$
$=a(a - 3b)^2$.

【分析】因式分解需遵循“一提二套三查”的原则，先提取公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底。第(1)题，先调整多项式顺序，将其转化为平方差公式的结构，分解后需检查剩余因式是否可继续分解；第(2)题，先提取公因式a，再对剩余二次三项式套用完全平方公式分解。
【解析】(1) $-16x^4 + 81y^4$
$=81y^4 - 16x^4$
$=(9y^2)^2 - (4x^2)^2$
$=(9y^2 + 4x^2)(9y^2 - 4x^2)$
$=(9y^2 + 4x^2)(3y + 2x)(3y - 2x)$。
(2) $a^3 - 6a^2b + 9ab^2$
$=a(a^2 - 6ab + 9b^2)$
$=a(a - 3b)^2$。
【答案】(1) $(9y^2 + 4x^2)(3y + 2x)(3y - 2x)$；(2) $a(a - 3b)^2$
【知识点】因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题考查因式分解的基本方法，属于基础题型，需熟练掌握提公因式法和公式法，且分解要彻底，避免遗漏后续分解步骤。
【难度系数】0.6

20. (6 分)解分式方程:
(1)$\frac{3}{x} - \frac{2x}{x + 1} = -2$；
(2)$\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{1}{3 - x} - 2$。

20. 【点拨】本题考查解分式方程.
【解析】(1)$\frac{3}{x} - \frac{2x}{x + 1} = -2$,方程两边同乘$x(x + 1)$,得$3(x + 1) - 2x^2 = -2x(x + 1)$,化简得$3x + 3 = -2x$,解得$x = -\frac{3}{5}$.
当$x = -\frac{3}{5}$时,$x(x + 1) ≠ 0$,$\therefore$ 原方程的解为$x = -\frac{3}{5}$.
(2)$\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{1}{3 - x} - 2$,化为$\frac{x - 2}{3 - x} = \frac{1}{3 - x} - 2$,方程两边同乘$3 - x$,得$x - 2 = 1 - 2(3 - x)$,即$x - 2 = 2x - 5$,解得$x = 3$,当$x = 3$时,$3 - x = 0$,$\therefore x = 3$是原方程的增根,原方程无解.

【分析】解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤为：①确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去分母，转化为整式方程；②解整式方程；③将整式方程的解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则是原方程的解，若为0，则是增根，原方程无解。本题需注意去分母时的符号处理，以及检验增根的关键步骤。
【解析】(1) 对于方程$\frac{3}{x} - \frac{2x}{x + 1} = -2$，
确定最简公分母为$x(x+1)$，方程两边同乘$x(x+1)$，得：
$3(x+1) - 2x^2 = -2x(x+1)$，
展开并化简：$3x + 3 - 2x^2 = -2x^2 - 2x$，
移项合并同类项得：$5x = -3$，
解得：$x = -\frac{3}{5}$。
检验：当$x = -\frac{3}{5}$时，$x(x+1) = -\frac{3}{5} × \frac{2}{5} = -\frac{6}{25} ≠ 0$，
所以原方程的解为$x = -\frac{3}{5}$。
(2) 对于方程$\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{1}{3 - x} - 2$，
先将左边变形：$\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{-(x - 2)}{-(3 - x)} = \frac{x - 2}{3 - x}$，
此时最简公分母为$3 - x$，方程两边同乘$3 - x$，得：
$x - 2 = 1 - 2(3 - x)$，
展开得：$x - 2 = 1 - 6 + 2x$，
整理得：$x - 2 = 2x - 5$，
移项合并同类项得：$-x = -3$，
解得：$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$3 - x = 0$，所以$x = 3$是原方程的增根，
因此原方程无解。
【答案】(1)$x = -\frac{3}{5}$；(2)原方程无解
【知识点】分式方程的解法，增根的检验
【点评】本题为基础分式方程求解题型，核心考察分式方程“去分母转化为整式方程”的基本方法，以及检验增根的关键步骤，第二题易因忽略分母符号或未检验增根出错，需注意细节。
【难度系数】0.6

21. (6分)某校为全校2 500名学生提供了四种在线学习方式:在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论,并对部分学生做了“喜欢的在线学习方式”调查(只选择一类),把调查结果绘制成两幅不完整的统计图,如图所示:

根据以上信息,解决下列问题:
(1)本次调查的学生人数为名,并补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,“在线答疑”所在扇形的圆心角度数为;
(3)估计全校学生中有多少名学生喜欢“在线答疑”的方式?

21. 【点拨】本题考查条形统计图,扇形统计图,用样本估计总体.
【解析】(1)由题图可知,本次调查的人数为$50÷20\%=250$(人),$250-50-100-25=75$(人).补全条形统计图如图所示.
故答案为250.
(2)喜欢“在线答疑”的人数为75人,$\frac{75}{250}×360°=108°$. 故答案为$108°$.
(3)样本中“在线答疑”所占比例为$\frac{75}{250}×100\%=30\%$,$30\%×2500=750$(名).
答:全校学生中约有750名学生喜欢“在线答疑”的方式.

【分析】
要解决这道题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联数据逐步计算：首先利用在线阅读的人数及其占比求出调查总人数，再通过总人数减去其他三类人数得到在线答疑的人数以补全条形图；接着根据在线答疑的人数与总人数的占比，计算其对应扇形的圆心角度数；最后用样本中在线答疑的占比估计全校喜欢该方式的学生数。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知，在线阅读人数占调查总人数的20%，对应条形图中在线阅读人数为50名，因此本次调查的学生人数为：$50 ÷ 20\% = 250$（名）；
在线答疑的人数为：$250 - 50 - 100 - 25 = 75$（名），据此补全条形统计图（在线答疑对应人数为75）。
故第一空答案为$250$。
(2) “在线答疑”人数为75名，总调查人数为250名，其所在扇形的圆心角度数为：$\frac{75}{250} × 360° = 108°$。
故第二空答案为$108°$。
(3) 样本中“在线答疑”的占比为：$\frac{75}{250} = 30\%$，全校共2500名学生，估计喜欢“在线答疑”的学生数为：$2500 × 30\% = 750$（名）。
答：全校学生中约有750名学生喜欢“在线答疑”的方式。
【答案】
(1) $250$；(2) $108°$；(3) 全校约有750名学生喜欢“在线答疑”的方式（补全条形统计图：在线答疑对应人数为75）
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题是统计类基础应用题，核心考查条形统计图与扇形统计图的信息关联，解题关键是利用“部分量与对应占比的关系”求总人数，再结合比例计算圆心角和总体估计，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.6