登录
8. 如图,已知梯形 $ABCD$ 中,$BC // AD$,$AB = BC = CD = \frac{1}{2}AD$,点 $A$ 与原点重合,点 $D(4,0)$ 在 $x$ 轴上,则点 $C$ 的坐标是(
A.$(3,2)$
B.$(3,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},2)$
D.$(2,3)$
B
).A.$(3,2)$
B.$(3,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},2)$
D.$(2,3)$
答案
8. B 【点拨】本题考查梯形的性质,勾股定理.
【解析】如题图,过点B作$BF⊥ AD$于点F,过点C作$CE⊥ AD$于点E. $\because BC//AD,BF⊥ AD,CE⊥ AD,\therefore BF=CE$. $\because AB=DC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ DCE(\mathrm{HL}),\therefore AF=DE,AF+DE=EF=BC$,$\therefore DE=AF=\frac{1}{2}EF$. $\because D(4,0),\therefore AF=1,EF=BC=AB=CD=2$,$\therefore CE=\sqrt{CD^2-ED^2}=\sqrt{3},OE=AF+EF=3,\therefore$ 点C的坐标是$(3,\sqrt{3})$. 故选B.
【解析】如题图,过点B作$BF⊥ AD$于点F,过点C作$CE⊥ AD$于点E. $\because BC//AD,BF⊥ AD,CE⊥ AD,\therefore BF=CE$. $\because AB=DC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ DCE(\mathrm{HL}),\therefore AF=DE,AF+DE=EF=BC$,$\therefore DE=AF=\frac{1}{2}EF$. $\because D(4,0),\therefore AF=1,EF=BC=AB=CD=2$,$\therefore CE=\sqrt{CD^2-ED^2}=\sqrt{3},OE=AF+EF=3,\therefore$ 点C的坐标是$(3,\sqrt{3})$. 故选B.
解析
【分析】
要确定点C的坐标，需先求出点C的横坐标（到y轴的距离）和纵坐标（到x轴的距离）。已知梯形ABCD中BC//AD，结合各边与AD的数量关系，通过作梯形的高构造直角三角形和矩形，利用线段和差关系、全等三角形性质及勾股定理，即可求出对应线段长度，进而得到点C的坐标。
【解析】
1. 由点D(4,0)可知AD的长度为4，根据AB=BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，得AB=BC=CD=2。
2. 过点B作BF⊥AD于F，过点C作CE⊥AD于E，因BC//AD，BF⊥AD，CE⊥AD，故四边形BCEF是矩形，得EF=BC=2，且BF=CE。
3. 又AB=CD，所以Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），因此AF=DE。
4. 由AD=AF+FE+ED=2AF+EF，代入AD=4、EF=2，得4=2AF+2，解得AF=DE=1。
5. 在Rt△CDE中，CD=2，DE=1，根据勾股定理得CE=$\sqrt{CD^2-DE^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，即点C的纵坐标为$\sqrt{3}$。
6. 点C的横坐标为OE=AF+EF=1+2=3，故点C的坐标是(3,$\sqrt{3}$)。
【答案】
B
【知识点】
梯形性质、勾股定理
【点评】
本题通过作梯形的高，将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，利用全等三角形与勾股定理求解坐标，是梯形与平面直角坐标系结合的典型题型，辅助线构造是解题核心。
【难度系数】
0.5
要确定点C的坐标，需先求出点C的横坐标（到y轴的距离）和纵坐标（到x轴的距离）。已知梯形ABCD中BC//AD，结合各边与AD的数量关系，通过作梯形的高构造直角三角形和矩形，利用线段和差关系、全等三角形性质及勾股定理，即可求出对应线段长度，进而得到点C的坐标。
【解析】
1. 由点D(4,0)可知AD的长度为4，根据AB=BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，得AB=BC=CD=2。
2. 过点B作BF⊥AD于F，过点C作CE⊥AD于E，因BC//AD，BF⊥AD，CE⊥AD，故四边形BCEF是矩形，得EF=BC=2，且BF=CE。
3. 又AB=CD，所以Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），因此AF=DE。
4. 由AD=AF+FE+ED=2AF+EF，代入AD=4、EF=2，得4=2AF+2，解得AF=DE=1。
5. 在Rt△CDE中，CD=2，DE=1，根据勾股定理得CE=$\sqrt{CD^2-DE^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，即点C的纵坐标为$\sqrt{3}$。
6. 点C的横坐标为OE=AF+EF=1+2=3，故点C的坐标是(3,$\sqrt{3}$)。
【答案】
B
【知识点】
梯形性质、勾股定理
【点评】
本题通过作梯形的高，将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，利用全等三角形与勾股定理求解坐标，是梯形与平面直角坐标系结合的典型题型，辅助线构造是解题核心。
【难度系数】
0.5
9. 如图,在正方形ABCD中,点E从点B出发,沿边BC方向向终点C运动,DF⊥AE,交AB于点F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,则∠FAE + ∠EPC的度数的变化情况是(
A.一直减小
B.先减小后增大
C.一直不变
D.先增大后减小
C
).A.一直减小
B.先减小后增大
C.一直不变
D.先增大后减小
答案
9. C 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质.
【解析】在题图中,作$PH⊥ BC$交BC的延长线于点H. $\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore AD=AB=BC,∠ DAF=∠ ABE=∠ DCB=∠ DCH=90°$. $\because DF⊥ AE,\therefore ∠ DAE+∠ ADF=90°$. 又$\because ∠ BAE+∠ DAE=90°,\therefore ∠ BAE=∠ ADF,\therefore △ ADF≌△ BAE(\mathrm{ASA}),\therefore DF=AE$. $\because$ 四边形DFEP是平行四边形,$\therefore DF=PE,∠ DFE=∠ DPE$. $\because ∠ BAE+∠ AEB=90°,∠ AEB+∠ PEH=90°,\therefore ∠ BAE=∠ PEH$. $\because ∠ ABE=∠ H=90°,AE=PE,\therefore △ ABE≌△ EHP(\mathrm{AAS}),\therefore PH=BE,AB=EH=BC,\therefore BE=CH=PH$. $\therefore ∠ PCH=45°,\therefore ∠ FAE+∠ EPC=∠ PEH+∠ EPC=∠ PCH=45°$. $\therefore ∠ FAE+∠ EPC$的度数一直不变. 故选C.
【解析】在题图中,作$PH⊥ BC$交BC的延长线于点H. $\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore AD=AB=BC,∠ DAF=∠ ABE=∠ DCB=∠ DCH=90°$. $\because DF⊥ AE,\therefore ∠ DAE+∠ ADF=90°$. 又$\because ∠ BAE+∠ DAE=90°,\therefore ∠ BAE=∠ ADF,\therefore △ ADF≌△ BAE(\mathrm{ASA}),\therefore DF=AE$. $\because$ 四边形DFEP是平行四边形,$\therefore DF=PE,∠ DFE=∠ DPE$. $\because ∠ BAE+∠ AEB=90°,∠ AEB+∠ PEH=90°,\therefore ∠ BAE=∠ PEH$. $\because ∠ ABE=∠ H=90°,AE=PE,\therefore △ ABE≌△ EHP(\mathrm{AAS}),\therefore PH=BE,AB=EH=BC,\therefore BE=CH=PH$. $\therefore ∠ PCH=45°,\therefore ∠ FAE+∠ EPC=∠ PEH+∠ EPC=∠ PCH=45°$. $\therefore ∠ FAE+∠ EPC$的度数一直不变. 故选C.
解析
【分析】要判断∠FAE + ∠EPC的度数变化，需利用正方形、全等三角形、平行四边形的性质推导角的关系。首先结合正方形的直角与垂直条件，证明△ADF与△BAE全等得到边的等量关系；再利用平行四边形性质转化边，通过作辅助线构造新的全等三角形，进一步推导角的等量代换，最终确定角的和为定值。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°。
又DF⊥AE，故∠ADF + ∠DAE=90°，而∠BAE + ∠DAE=90°，因此∠ADF=∠BAE。
在△ADF和△BAE中，$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠ABE \\ AD=AB \\ ∠ADF=∠BAE\end{array} $，所以△ADF≌△BAE（ASA），得DF=AE。
2. 因为四边形DFEP是平行四边形，所以DF=PE，故AE=PE。
3. 作PH⊥BC，交BC的延长线于点H。
因为∠BAE + ∠AEB=90°，∠AEB + ∠PEH=90°，所以∠BAE=∠PEH。
在△ABE和△EHP中，$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠H=90° \\ ∠BAE=∠PEH \\ AE=PE\end{array} $，所以△ABE≌△EHP（AAS），得PH=BE，AB=EH。
4. 因为AB=BC，所以EH=BC，即EH - EC=BC - EC，得CH=BE，因此CH=PH。
又∠H=90°，故△PHC是等腰直角三角形，∠PCH=45°。
5. 因为∠FAE=∠BAE=∠PEH，所以∠FAE + ∠EPC=∠PEH + ∠EPC=∠PCH=45°，即∠FAE + ∠EPC的度数一直不变。
【答案】C
【知识点】正方形性质、全等三角形判定与性质、平行四边形性质
【点评】本题综合运用正方形、全等三角形、平行四边形的性质，通过作辅助线构造全等三角形实现角与边的转化，是一道综合性较强的几何题，关键在于找到角的等量代换关系。
【难度系数】0.4
【解析】
1. 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°。
又DF⊥AE，故∠ADF + ∠DAE=90°，而∠BAE + ∠DAE=90°，因此∠ADF=∠BAE。
在△ADF和△BAE中，$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠ABE \\ AD=AB \\ ∠ADF=∠BAE\end{array} $，所以△ADF≌△BAE（ASA），得DF=AE。
2. 因为四边形DFEP是平行四边形，所以DF=PE，故AE=PE。
3. 作PH⊥BC，交BC的延长线于点H。
因为∠BAE + ∠AEB=90°，∠AEB + ∠PEH=90°，所以∠BAE=∠PEH。
在△ABE和△EHP中，$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠H=90° \\ ∠BAE=∠PEH \\ AE=PE\end{array} $，所以△ABE≌△EHP（AAS），得PH=BE，AB=EH。
4. 因为AB=BC，所以EH=BC，即EH - EC=BC - EC，得CH=BE，因此CH=PH。
又∠H=90°，故△PHC是等腰直角三角形，∠PCH=45°。
5. 因为∠FAE=∠BAE=∠PEH，所以∠FAE + ∠EPC=∠PEH + ∠EPC=∠PCH=45°，即∠FAE + ∠EPC的度数一直不变。
【答案】C
【知识点】正方形性质、全等三角形判定与性质、平行四边形性质
【点评】本题综合运用正方形、全等三角形、平行四边形的性质，通过作辅助线构造全等三角形实现角与边的转化，是一道综合性较强的几何题，关键在于找到角的等量代换关系。
【难度系数】0.4
10. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC=\sqrt{2}$,将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转$60°$,得到$△ MNC$,连接$BM$,则$BM$的长是(
A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$3$
A
).A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$3$
答案
10. A 【点拨】本题考查勾股定理,图形的旋转,直角三角形的性质.
【解析】在题图中,连接AM,$\because △ ABC$绕点C逆时针旋转$60°$得到$△ MNC,\therefore CA=CM,∠ ACM=60°,\therefore △ ACM$是等边三角形,$\therefore AM=CM,∠ MAC=∠ MCA=∠ AMC=60°$. $\because ∠ ABC=90°,AB=BC=\sqrt{2},\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2=CM$. $\because AB=BC,CM=AM$,$\therefore BM$垂直平分AC. 设BM交AC于点O,则$BO=\frac{1}{2}AC=1$,$∠ OMC=∠ OMA=\frac{1}{2}∠ AMC=30°,\therefore OC=\frac{1}{2}CM=1,OM=\sqrt{CM^2-OC^2}=\sqrt{3},\therefore BM=BO+OM=1+\sqrt{3}$. 故选A.
【解析】在题图中,连接AM,$\because △ ABC$绕点C逆时针旋转$60°$得到$△ MNC,\therefore CA=CM,∠ ACM=60°,\therefore △ ACM$是等边三角形,$\therefore AM=CM,∠ MAC=∠ MCA=∠ AMC=60°$. $\because ∠ ABC=90°,AB=BC=\sqrt{2},\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2=CM$. $\because AB=BC,CM=AM$,$\therefore BM$垂直平分AC. 设BM交AC于点O,则$BO=\frac{1}{2}AC=1$,$∠ OMC=∠ OMA=\frac{1}{2}∠ AMC=30°,\therefore OC=\frac{1}{2}CM=1,OM=\sqrt{CM^2-OC^2}=\sqrt{3},\therefore BM=BO+OM=1+\sqrt{3}$. 故选A.
解析
【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理及垂直平分线的性质逐步推导：首先根据旋转得到CA=CM和旋转角，判定△ACM为等边三角形；再结合等腰直角△ABC的性质算出AC的长度；接着由AB=BC、CM=AM确定BM是AC的垂直平分线；最后计算BO和OM的长度，求和得到BM的长。
【解析】
连接AM，
∵△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，
∴CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AM=CM，∠AMC=60°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=√2，
由勾股定理得：AC=√(AB²+BC²)=√[(√2)²+(√2)²]=2，
∴CM=AC=2。
又
∵AB=BC，CM=AM，
∴点B、M都在AC的垂直平分线上，即BM垂直平分AC，设BM交AC于点O，
则BO=1/2AC=1，OC=1/2AC=1，
在Rt△OMC中，∠OMC=1/2∠AMC=30°，
∴OM=√(CM²-OC²)=√(2²-1²)=√3，
∴BM=BO+OM=1+√3。
【答案】
A
【知识点】
图形的旋转、等边三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转性质、等边三角形判定、勾股定理及垂直平分线性质，需结合几何图形的性质进行推理计算，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理及垂直平分线的性质逐步推导：首先根据旋转得到CA=CM和旋转角，判定△ACM为等边三角形；再结合等腰直角△ABC的性质算出AC的长度；接着由AB=BC、CM=AM确定BM是AC的垂直平分线；最后计算BO和OM的长度，求和得到BM的长。
【解析】
连接AM，
∵△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，
∴CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AM=CM，∠AMC=60°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=√2，
由勾股定理得：AC=√(AB²+BC²)=√[(√2)²+(√2)²]=2，
∴CM=AC=2。
又
∵AB=BC，CM=AM，
∴点B、M都在AC的垂直平分线上，即BM垂直平分AC，设BM交AC于点O，
则BO=1/2AC=1，OC=1/2AC=1，
在Rt△OMC中，∠OMC=1/2∠AMC=30°，
∴OM=√(CM²-OC²)=√(2²-1²)=√3，
∴BM=BO+OM=1+√3。
【答案】
A
【知识点】
图形的旋转、等边三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转性质、等边三角形判定、勾股定理及垂直平分线性质，需结合几何图形的性质进行推理计算，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
答案
解：
9. 分式有意义则分母不为0，
由$x-2≠0$，得$x≠2$。
答案：$\boldsymbol{x≠2}$
10. 样本容量是样本中个体的数目，
故样本容量为100。
答案：$\boldsymbol{100}$
11. 菱形面积等于对角线乘积的一半，
$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
答案：$\boldsymbol{24}$
12. 平行四边形对角相等、邻角互补，
$\because ∠ A=∠ C$，$∠ A+∠ C=140°$，
$\therefore ∠ A=70°$，
$\therefore ∠ B=180°-70°=110°$。
答案：$\boldsymbol{110}$
13. 反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，在每个象限内$y$随$x$增大而减小，
代入三点坐标得$a=-3$，$b=-6$，$c=2$，
$\therefore b＜a＜c$。
答案：$\boldsymbol{b＜a＜c}$
14. 去分母得$2x+m=3(x-2)$，
分式方程的增根为$x=2$，代入得$4+m=0$，
解得$m=-4$。
答案：$\boldsymbol{-4}$
15. 分两种情况讨论：
①当$∠ EDF=90°$时，四边形ABFE为正方形，得$AE=AB=4$；
②当$∠ DFE=90°$时，设$AE=x$，由勾股定理列方程$x^2+(2\sqrt{5})^2=(6-x)^2$，解得$x=\frac{4}{3}$。
答案：$\boldsymbol{4或\frac{4}{3}}$
16. 过D作$DM⊥ y$轴于M，过C作$CN⊥ x$轴于N，
由全等三角形性质得$C(3,2)$，代入反比例函数得$k=3×2=6$。
答案：$\boldsymbol{6}$
9. 分式有意义则分母不为0，
由$x-2≠0$，得$x≠2$。
答案：$\boldsymbol{x≠2}$
10. 样本容量是样本中个体的数目，
故样本容量为100。
答案：$\boldsymbol{100}$
11. 菱形面积等于对角线乘积的一半，
$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
答案：$\boldsymbol{24}$
12. 平行四边形对角相等、邻角互补，
$\because ∠ A=∠ C$，$∠ A+∠ C=140°$，
$\therefore ∠ A=70°$，
$\therefore ∠ B=180°-70°=110°$。
答案：$\boldsymbol{110}$
13. 反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，在每个象限内$y$随$x$增大而减小，
代入三点坐标得$a=-3$，$b=-6$，$c=2$，
$\therefore b＜a＜c$。
答案：$\boldsymbol{b＜a＜c}$
14. 去分母得$2x+m=3(x-2)$，
分式方程的增根为$x=2$，代入得$4+m=0$，
解得$m=-4$。
答案：$\boldsymbol{-4}$
15. 分两种情况讨论：
①当$∠ EDF=90°$时，四边形ABFE为正方形，得$AE=AB=4$；
②当$∠ DFE=90°$时，设$AE=x$，由勾股定理列方程$x^2+(2\sqrt{5})^2=(6-x)^2$，解得$x=\frac{4}{3}$。
答案：$\boldsymbol{4或\frac{4}{3}}$
16. 过D作$DM⊥ y$轴于M，过C作$CN⊥ x$轴于N，
由全等三角形性质得$C(3,2)$，代入反比例函数得$k=3×2=6$。
答案：$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
本题为初中数学填空题，共8小题，分别考查分式有意义的条件、样本容量的概念、菱形面积公式、平行四边形的性质、反比例函数的单调性、分式方程增根的应用、矩形折叠的分类讨论、反比例函数与全等三角形的结合。解题时需逐一回忆对应知识点，按步骤推导，注意分类讨论和增根的处理。
【解析】
9. 分式有意义的条件是分母不为0，令分母$x-2≠0$，解得$x≠2$；
10. 样本容量是样本中个体的数目，本题中样本容量为100；
11. 菱形面积等于对角线乘积的一半，代入对角线长度得$S=\frac{1}{2}×6×8=24$；
12. 平行四边形对角相等、邻角互补，由$∠A=∠C$且$∠A+∠C=140°$，得$∠A=70°$，故$∠B=180°-70°=110°$；
13. 反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，每个象限内$y$随$x$增大而减小，代入三点得$a=-3$，$b=-6$，$c=2$，故$b＜a＜c$；
14. 分式方程去分母得$2x+m=3(x-2)$，增根为$x=2$，代入得$4+m=0$，解得$m=-4$；
15. 分两种情况：①$∠EDF=90°$时，$AE=AB=4$；②$∠DFE=90°$时，设$AE=x$，由勾股定理得$x^2+(2\sqrt{5})^2=(6-x)^2$，解得$x=\frac{4}{3}$，故$AE=4$或$\frac{4}{3}$；
16. 作辅助线构造全等三角形得$C(3,2)$，代入反比例函数得$k=3×2=6$；
【答案】
9. $x≠2$；10. $100$；11. $24$；12. $110$；13. $b＜a＜c$；14. $-4$；15. $4$或$\frac{4}{3}$；16. $6$
【知识点】
分式有意义条件、几何图形性质、反比例函数应用
【点评】
本题覆盖初中数学核心基础知识点，包含概念类、公式类及综合应用类题目，注重考查基础掌握与分类讨论思想，区分度适中，适合阶段性检测使用。
【难度系数】
0.6
本题为初中数学填空题，共8小题，分别考查分式有意义的条件、样本容量的概念、菱形面积公式、平行四边形的性质、反比例函数的单调性、分式方程增根的应用、矩形折叠的分类讨论、反比例函数与全等三角形的结合。解题时需逐一回忆对应知识点，按步骤推导，注意分类讨论和增根的处理。
【解析】
9. 分式有意义的条件是分母不为0，令分母$x-2≠0$，解得$x≠2$；
10. 样本容量是样本中个体的数目，本题中样本容量为100；
11. 菱形面积等于对角线乘积的一半，代入对角线长度得$S=\frac{1}{2}×6×8=24$；
12. 平行四边形对角相等、邻角互补，由$∠A=∠C$且$∠A+∠C=140°$，得$∠A=70°$，故$∠B=180°-70°=110°$；
13. 反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，每个象限内$y$随$x$增大而减小，代入三点得$a=-3$，$b=-6$，$c=2$，故$b＜a＜c$；
14. 分式方程去分母得$2x+m=3(x-2)$，增根为$x=2$，代入得$4+m=0$，解得$m=-4$；
15. 分两种情况：①$∠EDF=90°$时，$AE=AB=4$；②$∠DFE=90°$时，设$AE=x$，由勾股定理得$x^2+(2\sqrt{5})^2=(6-x)^2$，解得$x=\frac{4}{3}$，故$AE=4$或$\frac{4}{3}$；
16. 作辅助线构造全等三角形得$C(3,2)$，代入反比例函数得$k=3×2=6$；
【答案】
9. $x≠2$；10. $100$；11. $24$；12. $110$；13. $b＜a＜c$；14. $-4$；15. $4$或$\frac{4}{3}$；16. $6$
【知识点】
分式有意义条件、几何图形性质、反比例函数应用
【点评】
本题覆盖初中数学核心基础知识点，包含概念类、公式类及综合应用类题目，注重考查基础掌握与分类讨论思想，区分度适中，适合阶段性检测使用。
【难度系数】
0.6
11. 若$\dfrac{4}{x+1}$有意义,则$x$的取值范围是________.
答案
11. $x≠ -1$ 【点拨】本题考查分式有意义的条件.
【解析】若$\frac{4}{x+1}$有意义,则$x+1≠0$,解得$x≠ -1$. 故答案为$x≠ -1$.
【解析】若$\frac{4}{x+1}$有意义,则$x+1≠0$,解得$x≠ -1$. 故答案为$x≠ -1$.
解析
【分析】
要确定分式$\frac{4}{x+1}$有意义时$x$的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此只需让该分式的分母$x+1$不等于0，解对应的不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得$x+1≠0$，解这个不等式得$x≠-1$。
【答案】
$x≠ -1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基础概念，属于简单的概念应用题目，侧重对基础知识的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定分式$\frac{4}{x+1}$有意义时$x$的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此只需让该分式的分母$x+1$不等于0，解对应的不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得$x+1≠0$，解这个不等式得$x≠-1$。
【答案】
$x≠ -1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基础概念，属于简单的概念应用题目，侧重对基础知识的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.9
12. 已知 $ x + y = 10, xy = 1 $，则代数式 $ x^2y + xy^2 $ 的值为 ______。
答案
12. 10 【点拨】本题考查代数式求值,因式分解——提公因式法,注意整体思想在解题过程中的运用.
【解析】$\because x+y=10,xy=1,\therefore x^2y+xy^2=xy(x+y)=1×10=10$. 故答案为10.
【解析】$\because x+y=10,xy=1,\therefore x^2y+xy^2=xy(x+y)=1×10=10$. 故答案为10.
解析
【分析】要计算代数式$x^2y + xy^2$的值，观察式子结构，可先通过提公因式法对其因式分解，将式子转化为含已知条件$x+y$和$xy$的形式，再利用整体代入的方法，把已知的$x+y=10$、$xy=1$代入计算即可。
【解析】对代数式$x^2y + xy^2$提取公因式$xy$，得：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
将$x + y = 10$，$xy = 1$代入上式，计算得：
$1×10 = 10$
【答案】10
【知识点】代数式求值、提公因式法因式分解、整体思想
【点评】本题考查代数式的求值，核心是运用提公因式法对代数式因式分解，结合整体代入思想简化计算，属于基础题型，重点考查学生对因式分解和整体思想的掌握。
【难度系数】0.8
【解析】对代数式$x^2y + xy^2$提取公因式$xy$，得：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
将$x + y = 10$，$xy = 1$代入上式，计算得：
$1×10 = 10$
【答案】10
【知识点】代数式求值、提公因式法因式分解、整体思想
【点评】本题考查代数式的求值，核心是运用提公因式法对代数式因式分解，结合整体代入思想简化计算，属于基础题型，重点考查学生对因式分解和整体思想的掌握。
【难度系数】0.8
13. 如图,将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$70°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$,若$∠ C=90°$,$∠ B=60°$,则$∠ BAC_1=\_\_\_\_\_\_$.
答案
13. $40°$ 【点拨】本题考查图形变换——旋转.
【解析】$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=60°,\therefore ∠ CAB=30°$. 又$\because \mathrm{Rt}△ ABC$绕点A逆时针旋转$70°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$,$\therefore ∠ CAC_1=70°,\therefore ∠ BAC_1=∠ CAC_1-∠ CAB=70°-30°=40°$. 故答案为$40°$.
【解析】$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=60°,\therefore ∠ CAB=30°$. 又$\because \mathrm{Rt}△ ABC$绕点A逆时针旋转$70°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$,$\therefore ∠ CAC_1=70°,\therefore ∠ BAC_1=∠ CAC_1-∠ CAB=70°-30°=40°$. 故答案为$40°$.
解析
【分析】
要计算∠BAC₁的度数，需先利用直角三角形的性质求出原三角形中∠BAC的度数，再结合旋转的性质确定旋转角，最后通过角的和差关系计算结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ BAC=90° - ∠ B=90° - 60°=30°$。
因为$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$70°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$，根据旋转的性质，旋转角$∠ CAC_1=70°$。
因此$∠ BAC_1=∠ CAC_1 - ∠ BAC=70° - 30°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
旋转的性质、直角三角形内角和
【点评】
本题考查旋转的性质与直角三角形的角度计算，属于基础几何题，重点考查学生对旋转特征的理解和角度运算能力。
【难度系数】
0.6
要计算∠BAC₁的度数，需先利用直角三角形的性质求出原三角形中∠BAC的度数，再结合旋转的性质确定旋转角，最后通过角的和差关系计算结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ BAC=90° - ∠ B=90° - 60°=30°$。
因为$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$70°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$，根据旋转的性质，旋转角$∠ CAC_1=70°$。
因此$∠ BAC_1=∠ CAC_1 - ∠ BAC=70° - 30°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
旋转的性质、直角三角形内角和
【点评】
本题考查旋转的性质与直角三角形的角度计算，属于基础几何题，重点考查学生对旋转特征的理解和角度运算能力。
【难度系数】
0.6
14. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是
8
.答案
14. 8 【点拨】本题考查多边形的内角和与外角和定理.
【解析】设边数为n. 由题意,得$180(n-2)=360×3$,解得$n=8$,$\therefore$ 这个多边形的边数是8. 故答案为8.
【解析】设边数为n. 由题意,得$180(n-2)=360×3$,解得$n=8$,$\therefore$ 这个多边形的边数是8. 故答案为8.
解析
【分析】首先明确多边形的外角和是固定值360°，多边形内角和公式为180°(n-2)（n为边数，n≥3且为整数）。题目中给出内角和是外角和的3倍，因此设边数为n，根据内角和与外角和的倍数关系列出方程，解方程即可求出边数。
【解析】设这个多边形的边数为n。根据多边形内角和定理，内角和为180°(n-2)；多边形外角和恒为360°，由题意得：180(n-2)=360×3，解方程：180n - 360 = 1080，移项得180n=1440，解得n=8。
【答案】8
【知识点】多边形内角和、多边形外角和
【点评】本题是多边形相关的基础题，直接考查内角和与外角和定理的应用，解题思路清晰，步骤简单，属于必须掌握的核心知识点。
【难度系数】0.8
【解析】设这个多边形的边数为n。根据多边形内角和定理，内角和为180°(n-2)；多边形外角和恒为360°，由题意得：180(n-2)=360×3，解方程：180n - 360 = 1080，移项得180n=1440，解得n=8。
【答案】8
【知识点】多边形内角和、多边形外角和
【点评】本题是多边形相关的基础题，直接考查内角和与外角和定理的应用，解题思路清晰，步骤简单，属于必须掌握的核心知识点。
【难度系数】0.8
15. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE ⊥ BC$于点$E$,$AF ⊥ CD$于点$F$,又知$AE=6$,$AF=9$,$∠ EAF=60°$,则平行四边形$ABCD$的周长是________.
答案
15. $20\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质,含$30°$角的直角三角形的性质,勾股定理.
【解析】$AE⊥ BC,AF⊥ CD,\therefore ∠ AEB=∠ AEC=∠ AFC=90°$. 又$\because ∠ EAF=60°,\therefore ∠ C=120°$. $\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore ∠ B+∠ C=180°,∠ B=∠ D,\therefore ∠ B=∠ D=60°$,$\therefore ∠ BAE=∠ FAD=30°$. $\because ∠ AEB=90°,∠ BAE=30°,\therefore BE=\frac{1}{2}AB$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AB^2=BE^2+AE^2$,即$AB^2=(\frac{1}{2}AB)^2+6^2$,$\therefore AB=4\sqrt{3},\therefore CD=4\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△ AFD$中,同理可得,$BC=AD=6\sqrt{3}$,$\therefore$ 平行四边形ABCD的周长是$2×(4\sqrt{3}+6\sqrt{3})=20\sqrt{3}$. 故答案为$20\sqrt{3}$.
【解析】$AE⊥ BC,AF⊥ CD,\therefore ∠ AEB=∠ AEC=∠ AFC=90°$. 又$\because ∠ EAF=60°,\therefore ∠ C=120°$. $\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore ∠ B+∠ C=180°,∠ B=∠ D,\therefore ∠ B=∠ D=60°$,$\therefore ∠ BAE=∠ FAD=30°$. $\because ∠ AEB=90°,∠ BAE=30°,\therefore BE=\frac{1}{2}AB$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AB^2=BE^2+AE^2$,即$AB^2=(\frac{1}{2}AB)^2+6^2$,$\therefore AB=4\sqrt{3},\therefore CD=4\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△ AFD$中,同理可得,$BC=AD=6\sqrt{3}$,$\therefore$ 平行四边形ABCD的周长是$2×(4\sqrt{3}+6\sqrt{3})=20\sqrt{3}$. 故答案为$20\sqrt{3}$.
解析
【分析】首先根据AE⊥BC、AF⊥CD，结合四边形内角和求出平行四边形的内角∠C，再利用平行四边形邻角互补得到∠B的度数；接着在含30°角的直角三角形中，结合勾股定理求出AB的长度，同理求出AD的长度，最后根据平行四边形周长公式计算周长。
【解析】
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEC=∠AFC=90°，
在四边形AECF中，内角和为360°，已知∠EAF=60°，
∴ ∠C=360° - ∠AEC - ∠AFC - ∠EAF = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠B = 180° - 120° = 60°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=90° - ∠B=30°，
∴ BE = ½ AB，
由勾股定理得：AB² = BE² + AE²，
代入BE=½ AB，AE=6，得：AB² = (½ AB)² + 6²，
解得：AB=4√3，故CD=AB=4√3。
同理，在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠D=∠B=60°，∠FAD=30°，
∴ AD=2DF，由勾股定理得：AD² = DF² + AF²，AF=9，
代入DF=½ AD，得：AD²=(½ AD)² +9²，解得AD=6√3，故BC=AD=6√3。
∴ 平行四边形ABCD的周长=2×(AB + AD)=2×(4√3 +6√3)=20√3。
【答案】20√3
【知识点】平行四边形性质，含30°角直角三角形性质，勾股定理
【点评】本题综合考查平行四边形与直角三角形的相关知识，核心是通过四边形内角和平行四边形邻角关系确定内角，利用含30°角的直角三角形性质简化边长计算，结合勾股定理求解后计算周长，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5
【解析】
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEC=∠AFC=90°，
在四边形AECF中，内角和为360°，已知∠EAF=60°，
∴ ∠C=360° - ∠AEC - ∠AFC - ∠EAF = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠B = 180° - 120° = 60°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=90° - ∠B=30°，
∴ BE = ½ AB，
由勾股定理得：AB² = BE² + AE²，
代入BE=½ AB，AE=6，得：AB² = (½ AB)² + 6²，
解得：AB=4√3，故CD=AB=4√3。
同理，在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠D=∠B=60°，∠FAD=30°，
∴ AD=2DF，由勾股定理得：AD² = DF² + AF²，AF=9，
代入DF=½ AD，得：AD²=(½ AD)² +9²，解得AD=6√3，故BC=AD=6√3。
∴ 平行四边形ABCD的周长=2×(AB + AD)=2×(4√3 +6√3)=20√3。
【答案】20√3
【知识点】平行四边形性质，含30°角直角三角形性质，勾股定理
【点评】本题综合考查平行四边形与直角三角形的相关知识，核心是通过四边形内角和平行四边形邻角关系确定内角，利用含30°角的直角三角形性质简化边长计算，结合勾股定理求解后计算周长，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5
16. 如图,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,延长BC到点E,CM平分∠DCE,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=1,则对角线BD的长是________.
答案
16. $2\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查菱形的性质,含$30°$角的直角三角形的性质.
【解析】在题图中,连接AC交BD于点O. $\because$ 四边形ABCD是菱形,$∠ ABC=60°,\therefore AC⊥ BD,∠ ABO=∠ CBO=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD,AB//CD,DC=BC,\therefore ∠ DCE=∠ ABC=60°$. $\because CM$平分$∠ DCE,\therefore ∠ DCM=\frac{1}{2}∠ DCE=30°$. $\because DF⊥ CM,\therefore ∠ DFC=90°$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$∠ DCF=30°,DF=1,\therefore DC=2DF=2$. 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$\because ∠ CBO=30°,BC=2$,$\therefore OC=1,\therefore BO=\sqrt{BC^2-CO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,$\therefore BD=2\sqrt{3}$. 故答案为$2\sqrt{3}$.
【解析】在题图中,连接AC交BD于点O. $\because$ 四边形ABCD是菱形,$∠ ABC=60°,\therefore AC⊥ BD,∠ ABO=∠ CBO=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD,AB//CD,DC=BC,\therefore ∠ DCE=∠ ABC=60°$. $\because CM$平分$∠ DCE,\therefore ∠ DCM=\frac{1}{2}∠ DCE=30°$. $\because DF⊥ CM,\therefore ∠ DFC=90°$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$∠ DCF=30°,DF=1,\therefore DC=2DF=2$. 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$\because ∠ CBO=30°,BC=2$,$\therefore OC=1,\therefore BO=\sqrt{BC^2-CO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,$\therefore BD=2\sqrt{3}$. 故答案为$2\sqrt{3}$.
解析
【分析】首先，连接菱形的对角线AC与BD交于点O，利用菱形对角线互相垂直平分、对边平行且相等的性质，结合已知∠ABC=60°推导相关角度；再由CM平分∠DCE，结合平行线的性质得到∠DCM的度数，通过DF⊥CM构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出DC的长度，再结合菱形边长相等得到BC的长度，最后在含30°角的直角三角形BOC中，用勾股定理求出BO，进而得到BD的长度。
【解析】连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB//CD，DC=BC，∠ABO=∠CBO=½∠ABC=½×60°=30°，OB=OD=½BD，
∴∠DCE=∠ABC=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵CM平分∠DCE，
∴∠DCM=½∠DCE=½×60°=30°。
∵DF⊥CM，
∴∠DFC=90°，即△DCF是直角三角形。
在Rt△DCF中，∠DCF=30°，DF=1，
∴DC=2DF=2（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵DC=BC，
∴BC=2。
在Rt△BOC中，∠CBO=30°，BC=2，
∴OC=½BC=1，
由勾股定理得：BO=√(BC² - OC²)=√(2² -1²)=√3，
∴BD=2BO=2√3。
【答案】$2\sqrt{3}$
【知识点】菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】本题综合考查菱形性质与直角三角形的特殊性质，核心是通过角度关系找到30°角，利用直角三角形的性质简化计算，再结合菱形对角线的性质求解目标线段，需要具备几何推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】0.5
【解析】连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB//CD，DC=BC，∠ABO=∠CBO=½∠ABC=½×60°=30°，OB=OD=½BD，
∴∠DCE=∠ABC=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵CM平分∠DCE，
∴∠DCM=½∠DCE=½×60°=30°。
∵DF⊥CM，
∴∠DFC=90°，即△DCF是直角三角形。
在Rt△DCF中，∠DCF=30°，DF=1，
∴DC=2DF=2（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵DC=BC，
∴BC=2。
在Rt△BOC中，∠CBO=30°，BC=2，
∴OC=½BC=1，
由勾股定理得：BO=√(BC² - OC²)=√(2² -1²)=√3，
∴BD=2BO=2√3。
【答案】$2\sqrt{3}$
【知识点】菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】本题综合考查菱形性质与直角三角形的特殊性质，核心是通过角度关系找到30°角，利用直角三角形的性质简化计算，再结合菱形对角线的性质求解目标线段，需要具备几何推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】0.5
17. 定义:若两个分式$A$与$B$满足:$|A-B|=3$,则称$A$与$B$这两个分式互为“美妙分式”.若分式$\frac{4a^2}{a^2 - b^2}$与$\frac{a}{a + b}$互为“美妙分式”,且$a,b$均为不等于$0$的实数,则分式$\frac{2a^2 - b^2}{ab}=$
$-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$
.答案
17. $-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$ 【点拨】本题考查分式的化简求值,绝对值的意义.
【解析】由题意得$\left|\frac{4a^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}\right|=3$,即$\left|\frac{4a^2-a(a-b)}{(a+b)(a-b)}\right|=\left|\frac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}\right|=3$. $\therefore \frac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=3$ 或 $\frac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=-3$,$\therefore 3a^2+ab=3(a^2-b^2)$或$3a^2+ab=-3(a^2-b^2)$. $\because a,b$均为不等于0的实数,$\therefore a=-3b$或$ab=3b^2-6a^2$. 当$a=-3b$时,$\frac{2a^2-b^2}{ab}=\frac{2·(-3b)^2-b^2}{-3b· b}=\frac{17b^2}{-3b^2}=-\frac{17}{3}$;当$ab=3b^2-6a^2$时,$\frac{2a^2-b^2}{ab}=\frac{2a^2-b^2}{3b^2-6a^2}=\frac{-(b^2-2a^2)}{3(b^2-2a^2)}=-\frac{1}{3}$. 故答案为$-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$.
【解析】由题意得$\left|\frac{4a^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}\right|=3$,即$\left|\frac{4a^2-a(a-b)}{(a+b)(a-b)}\right|=\left|\frac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}\right|=3$. $\therefore \frac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=3$ 或 $\frac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=-3$,$\therefore 3a^2+ab=3(a^2-b^2)$或$3a^2+ab=-3(a^2-b^2)$. $\because a,b$均为不等于0的实数,$\therefore a=-3b$或$ab=3b^2-6a^2$. 当$a=-3b$时,$\frac{2a^2-b^2}{ab}=\frac{2·(-3b)^2-b^2}{-3b· b}=\frac{17b^2}{-3b^2}=-\frac{17}{3}$;当$ab=3b^2-6a^2$时,$\frac{2a^2-b^2}{ab}=\frac{2a^2-b^2}{3b^2-6a^2}=\frac{-(b^2-2a^2)}{3(b^2-2a^2)}=-\frac{1}{3}$. 故答案为$-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】首先根据“美妙分式”的定义，明确两个分式差的绝对值为3，据此列出等式；接着对等式中的分式通分化简，利用绝对值的性质分两种情况讨论；再分别求出a与b的关系，最后将关系代入目标分式计算结果，注意化简和代入时的符号及约分条件。
【解析】根据“美妙分式”的定义，可得：
$\left|\frac{4a^2}{a^2 - b^2} - \frac{a}{a + b}\right| = 3$
对分式通分（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$），化简得：
$\frac{4a^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{a(a - b)}{(a+b)(a - b)} = \frac{4a^2 - a^2 + ab}{(a+b)(a - b)} = \frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)}$
因此等式变为：
$\left|\frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)}\right| = 3$
去绝对值，分两种情况：
情况1：$\frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)} = 3$
两边同乘$(a+b)(a - b)$（$a≠±b$，分母不为0），得：
$3a^2 + ab = 3(a^2 - b^2)$
整理得：$ab = -3b^2$，因$b≠0$，两边除以$b$得$a = -3b$
将$a=-3b$代入$\frac{2a^2 - b^2}{ab}$：
$\frac{2×(-3b)^2 - b^2}{(-3b)×b} = \frac{18b^2 - b^2}{-3b^2} = -\frac{17}{3}$
情况2：$\frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)} = -3$
两边同乘$(a+b)(a - b)$，得：
$3a^2 + ab = -3(a^2 - b^2)$
整理得：$ab = 3b^2 - 6a^2$
将$ab=3b^2 -6a^2$代入$\frac{2a^2 - b^2}{ab}$：
$\frac{2a^2 - b^2}{3b^2 -6a^2} = \frac{2a^2 - b^2}{-3(2a^2 - b^2)}$，因$2a^2 - b^2≠0$（分式有意义），约分得$-\frac{1}{3}$
综上，结果为$-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$。
【答案】$-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$
【知识点】分式的化简求值、绝对值的意义
【点评】本题结合新定义“美妙分式”考查分式化简，需准确理解定义，化简分式时要注意通分的正确性，利用绝对值分情况讨论是关键，代入求值时要注意约分的前提条件，避免出错。
【难度系数】0.5
【解析】根据“美妙分式”的定义，可得：
$\left|\frac{4a^2}{a^2 - b^2} - \frac{a}{a + b}\right| = 3$
对分式通分（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$），化简得：
$\frac{4a^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{a(a - b)}{(a+b)(a - b)} = \frac{4a^2 - a^2 + ab}{(a+b)(a - b)} = \frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)}$
因此等式变为：
$\left|\frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)}\right| = 3$
去绝对值，分两种情况：
情况1：$\frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)} = 3$
两边同乘$(a+b)(a - b)$（$a≠±b$，分母不为0），得：
$3a^2 + ab = 3(a^2 - b^2)$
整理得：$ab = -3b^2$，因$b≠0$，两边除以$b$得$a = -3b$
将$a=-3b$代入$\frac{2a^2 - b^2}{ab}$：
$\frac{2×(-3b)^2 - b^2}{(-3b)×b} = \frac{18b^2 - b^2}{-3b^2} = -\frac{17}{3}$
情况2：$\frac{3a^2 + ab}{(a+b)(a - b)} = -3$
两边同乘$(a+b)(a - b)$，得：
$3a^2 + ab = -3(a^2 - b^2)$
整理得：$ab = 3b^2 - 6a^2$
将$ab=3b^2 -6a^2$代入$\frac{2a^2 - b^2}{ab}$：
$\frac{2a^2 - b^2}{3b^2 -6a^2} = \frac{2a^2 - b^2}{-3(2a^2 - b^2)}$，因$2a^2 - b^2≠0$（分式有意义），约分得$-\frac{1}{3}$
综上，结果为$-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$。
【答案】$-\frac{17}{3}$或$-\frac{1}{3}$
【知识点】分式的化简求值、绝对值的意义
【点评】本题结合新定义“美妙分式”考查分式化简，需准确理解定义，化简分式时要注意通分的正确性，利用绝对值分情况讨论是关键，代入求值时要注意约分的前提条件，避免出错。
【难度系数】0.5
