15.(1)如图(1),若AB//CD,求证:∠B+∠D=∠BED.
(2)反之,在图(1)中,若∠B+∠D=∠BED,直线AB与CD有什么位置关系?请说明理由.
(3)已知AB//CD,若将点E移至图(2)的位置,此时∠B,∠D,∠BED之间有什么关系?请说明理由.
(4)在图(3)中,已知AB//CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系?(直接写出结论即可)
(5)如图(4),已知AB//EF,则∠B+∠C+∠D+∠E=.

15.(1)证明:过点 E 作$EF// AB$,如图①所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.$
(2)解:$AB// CD$.理由如下：
过点 E 作$EF// AB$,如图②所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
$\because ∠B+∠D=∠BED=∠BEF+∠DEF,$
$\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore EF// CD.\therefore AB// CD.$
(3)解:$∠B+∠D+∠BED=360°$.理由如下：
过点 E 作$EF// AB$,如图③所示.
$\because AB// EF,\therefore ∠B+∠BEF=180°.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D+∠DEF=180°.$
$\therefore ∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°=360°.$
$\therefore ∠B+∠D+∠BED=360°.$
(4)$∠E+∠G=∠B+∠D+∠F.$
(5)$540°$

【分析】
这类题属于平行线中的拐角类问题，通用解题思路是过拐点作与已知平行线平行的辅助线，借助平行线的传递性得到新的平行关系，再利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，将待研究的角拆分或重组，建立角度之间的等量关系：
(1)要证明∠B+∠D=∠BED，过点E作AB的平行线，将∠BED拆成两个角，分别和∠B、∠D相等即可得证；
(2)已知角度关系证平行，同样作辅助线先得到∠B和∠BEF相等，结合已知条件推出∠D和∠DEF相等，进而得到EF和CD平行，再由平行传递性得AB//CD；
(3)拐点外凸时，作平行线后会得到两组同旁内角，两者之和为360°，即可推出三个角的数量关系；
(4)多个拐点时，逐个过拐点作平行线，就能得到对应角的等量关系；
(5)已知AB//EF，中间有3个拐点，作平行线后可得到3组同旁内角，求和即可得到结果。
【解析】
(1)证明:过点 E 作$EF// AB$,如图①所示。
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AB//CD$，$\therefore EF// CD$（平行于同一直线的两直线互相平行），$\therefore ∠D=∠DEF$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D$。
(2)解:$AB// CD$，理由如下：
过点 E 作$EF// AB$,如图②所示。
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠B+∠D=∠BED=∠BEF+∠DEF$，
$\therefore ∠D=∠DEF$，
$\therefore EF// CD$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore AB// CD$（平行于同一直线的两直线互相平行）。
(3)解:$∠B+∠D+∠BED=360°$，理由如下：
过点 E 作$EF// AB$,如图③所示。
$\because AB// EF,\therefore ∠B+∠BEF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because AB//CD$，$\therefore EF// CD$（平行于同一直线的两直线互相平行），$\therefore ∠D+∠DEF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\therefore ∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°=360°$，
$\therefore ∠B+∠D+∠BED=360°$。
(4)过E、F、G分别作AB的平行线，根据平行线内错角相等的性质，可得左侧角的和等于右侧角的和，即$∠E+∠G=∠B+∠D+∠F$。
(5)过C、D分别作AB的平行线，可得3组互补的同旁内角，总和为$3×180°=540°$，即$∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=540°$。
【答案】
(1)证明:过点 E 作$EF// AB$,如图①所示。
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.$
(2)$AB// CD$.理由如下：
过点 E 作$EF// AB$,如图②所示。
$\because AB// EF,\therefore ∠B=∠BEF.$
$\because ∠B+∠D=∠BED=∠BEF+∠DEF,$
$\therefore ∠D=∠DEF.$
$\therefore EF// CD.\therefore AB// CD.$
(3)$∠B+∠D+∠BED=360°$.理由如下：
过点 E 作$EF// AB$,如图③所示。
$\because AB// EF,\therefore ∠B+∠BEF=180°.$
又易知$AB// EF// CD,\therefore ∠D+∠DEF=180°.$
$\therefore ∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°=360°.$
$\therefore ∠B+∠D+∠BED=360°.$
(4)$∠E+∠G=∠B+∠D+∠F.$
(5)$540°$
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；辅助线构造
【点评】
本题是平行线模块的经典拐角类题型，覆盖了单拐点、多拐点等多种考察形式，核心解题技巧是过拐点作已知直线的平行线，将复杂角度关系转化为平行线间的基础角度性质应用，掌握该方法后可快速解决同类角度推导与计算问题。
【难度系数】
0.65