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12.(跨学科融合)如图,把一根筷子的一端放在水里,一端露出水面,筷子变弯了? 其实没有,这是光的折射现象,光从空气中射入水中,光的传播方向发生了改变.
(1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角.
(2)若测得∠AOE＝65°,∠BOM＝145°,从水面上看斜插入水中的筷子,水下部分向上折弯了多少度? 请说明理由.
(1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角.
(2)若测得∠AOE＝65°,∠BOM＝145°,从水面上看斜插入水中的筷子,水下部分向上折弯了多少度? 请说明理由.
答案
12.解:(1)$∠1$的同旁内角是$∠MOE,∠AOE,∠ADE$,$∠2$的内错角是$∠MOE,∠AOE.$
(2)水下部分向上折弯了$30°$.理由如下：
$\because ∠BOM=145°,\therefore ∠AOM=180°-∠BOM=35°.$
$\therefore ∠MOE=∠AOE-∠AOM=65°-35°=30°.$
$\therefore$水下部分向上折弯了$30°.$
(2)水下部分向上折弯了$30°$.理由如下：
$\because ∠BOM=145°,\therefore ∠AOM=180°-∠BOM=35°.$
$\therefore ∠MOE=∠AOE-∠AOM=65°-35°=30°.$
$\therefore$水下部分向上折弯了$30°.$
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确同旁内角、内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧且位于两条被截线之间的角是同旁内角；在截线两侧且位于两条被截线之间的角是内错角。结合图形确定截线和被截线，按照定义逐一排查即可找到对应角。
(2) 解决第二问首先要明确水下部分折弯的角度就是实际光线EO和无折射时的直线MO的夹角∠MOE。先利用邻补角和为180°的性质，由∠BOM的度数求出∠AOM的度数，再用已知的∠AOE减去∠AOM的度数，即可得到折弯的角度。
【解析】
(1) 根据同旁内角、内错角的定义可得：
∠1的同旁内角是∠MOE、∠AOE、∠ADE；
∠2的内错角是∠MOE、∠AOE。
(2) 水下部分向上折弯了30°，理由如下：
$\because ∠BOM$与$∠AOM$互为邻补角，$∠BOM＝145°$
$\therefore ∠AOM＝180°-∠BOM＝180°-145°＝35°$
又$\because ∠AOE＝65°$
$\therefore ∠MOE＝∠AOE-∠AOM＝65°-35°＝30°$
即水下部分向上折弯了30°。
【答案】
(1) $∠1$的同旁内角是$∠MOE,∠AOE,∠ADE$，$∠2$的内错角是$∠MOE,∠AOE$；
(2) 水下部分向上折弯了$30°$。
【知识点】
1. 三线八角识别
2. 邻补角的性质
3. 角度和差计算
【点评】
本题结合光的折射现象出题，属于跨学科融合类题目，既考查了基础几何概念的掌握，也体现了数学在实际生活中的应用，解题关键是准确识别角的位置关系，正确运用角的数量关系计算。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先要明确同旁内角、内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧且位于两条被截线之间的角是同旁内角；在截线两侧且位于两条被截线之间的角是内错角。结合图形确定截线和被截线，按照定义逐一排查即可找到对应角。
(2) 解决第二问首先要明确水下部分折弯的角度就是实际光线EO和无折射时的直线MO的夹角∠MOE。先利用邻补角和为180°的性质，由∠BOM的度数求出∠AOM的度数，再用已知的∠AOE减去∠AOM的度数，即可得到折弯的角度。
【解析】
(1) 根据同旁内角、内错角的定义可得：
∠1的同旁内角是∠MOE、∠AOE、∠ADE；
∠2的内错角是∠MOE、∠AOE。
(2) 水下部分向上折弯了30°，理由如下：
$\because ∠BOM$与$∠AOM$互为邻补角，$∠BOM＝145°$
$\therefore ∠AOM＝180°-∠BOM＝180°-145°＝35°$
又$\because ∠AOE＝65°$
$\therefore ∠MOE＝∠AOE-∠AOM＝65°-35°＝30°$
即水下部分向上折弯了30°。
【答案】
(1) $∠1$的同旁内角是$∠MOE,∠AOE,∠ADE$，$∠2$的内错角是$∠MOE,∠AOE$；
(2) 水下部分向上折弯了$30°$。
【知识点】
1. 三线八角识别
2. 邻补角的性质
3. 角度和差计算
【点评】
本题结合光的折射现象出题，属于跨学科融合类题目，既考查了基础几何概念的掌握，也体现了数学在实际生活中的应用，解题关键是准确识别角的位置关系，正确运用角的数量关系计算。
【难度系数】
0.7
13.将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若∠2＝30°，则AC//DE；②若BC//AD，则∠2＝45°；③∠BAE＋∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C.其中正确的是（
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
D
）A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
答案
13.D
解析
【分析】
首先明确一副三角尺的固有角度：△ACB中∠CAB=90°，∠C=∠B=45°；△AED中∠EAD=90°，∠E=60°，∠D=30°。接下来逐个验证4个结论：①利用内错角相等判定两直线平行；②利用平行线的内错角相等结合直角求∠2；③将两个角拆分后结合两个直角的关系求和；④先推导AC与DE平行，再利用平行线性质得∠4和∠C相等，最后判断全部结论是否正确即可。
【解析】
由三角尺的角度特征可知：∠CAB=∠EAD=90°，∠C=∠B=45°，∠E=60°，∠D=30°。
①若∠2=30°，则∠1=∠CAB-∠2=90°-30°=60°，即∠1=∠E=60°，根据“内错角相等，两直线平行”可得AC//DE，故①正确；
②若BC//AD，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠C=∠3=45°，又∠2+∠3=∠EAD=90°，所以∠2=90°-45°=45°，故②正确；
③∠BAE+∠CAD=∠2+(∠1+∠2+∠3)=(∠1+∠2)+(∠2+∠3)，因为∠1+∠2=∠CAB=90°，∠2+∠3=∠EAD=90°，所以∠BAE+∠CAD=90°+90°=180°，故③正确；
④若∠CAD=150°，则∠3=∠CAD-∠CAB=150°-90°=60°，则∠1=∠3=60°=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”得AC//DE，再根据“两直线平行，同位角相等”得∠4=∠C=45°，故④正确。
综上，①②③④都正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；角的和差计算；三角尺的角度特征
【点评】
本题结合三角尺的固定角度，考查平行线的判定、性质以及角的和差运算，解题时需要逐个验证每个结论，注意利用两个直角的角度关系推导角之间的等量关系。
【难度系数】
0.6
首先明确一副三角尺的固有角度：△ACB中∠CAB=90°，∠C=∠B=45°；△AED中∠EAD=90°，∠E=60°，∠D=30°。接下来逐个验证4个结论：①利用内错角相等判定两直线平行；②利用平行线的内错角相等结合直角求∠2；③将两个角拆分后结合两个直角的关系求和；④先推导AC与DE平行，再利用平行线性质得∠4和∠C相等，最后判断全部结论是否正确即可。
【解析】
由三角尺的角度特征可知：∠CAB=∠EAD=90°，∠C=∠B=45°，∠E=60°，∠D=30°。
①若∠2=30°，则∠1=∠CAB-∠2=90°-30°=60°，即∠1=∠E=60°，根据“内错角相等，两直线平行”可得AC//DE，故①正确；
②若BC//AD，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠C=∠3=45°，又∠2+∠3=∠EAD=90°，所以∠2=90°-45°=45°，故②正确；
③∠BAE+∠CAD=∠2+(∠1+∠2+∠3)=(∠1+∠2)+(∠2+∠3)，因为∠1+∠2=∠CAB=90°，∠2+∠3=∠EAD=90°，所以∠BAE+∠CAD=90°+90°=180°，故③正确；
④若∠CAD=150°，则∠3=∠CAD-∠CAB=150°-90°=60°，则∠1=∠3=60°=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”得AC//DE，再根据“两直线平行，同位角相等”得∠4=∠C=45°，故④正确。
综上，①②③④都正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；角的和差计算；三角尺的角度特征
【点评】
本题结合三角尺的固定角度，考查平行线的判定、性质以及角的和差运算，解题时需要逐个验证每个结论，注意利用两个直角的角度关系推导角之间的等量关系。
【难度系数】
0.6
14.【课本再现】(1)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O.若∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
【变式探究】(2)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O.若∠AOC：∠COB＝3：7，求∠EOC的度数.
【变式探究】(2)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O.若∠AOC：∠COB＝3：7，求∠EOC的度数.
答案
14.解:(1)$\because EO⊥AB,\therefore ∠EOB=90°.$又$∠EOC=35°,\therefore ∠BOC=∠EOC+∠BOE=35°+90°=125°.$
$\therefore ∠AOD=∠BOC=125°.$
(2)设$∠AOC=3x°,$则$∠COB=7x°.$
$\because ∠AOC+∠COB=180°,\therefore 3x+7x=180,$解得$x=18.$
$\therefore ∠AOC=3x°=54°.$
$\therefore ∠EOC=90°-54°=36°.$
$\therefore ∠AOD=∠BOC=125°.$
(2)设$∠AOC=3x°,$则$∠COB=7x°.$
$\because ∠AOC+∠COB=180°,\therefore 3x+7x=180,$解得$x=18.$
$\therefore ∠AOC=3x°=54°.$
$\therefore ∠EOC=90°-54°=36°.$
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先由OE垂直AB的条件，根据垂直定义可得∠EOB为90°，结合已知∠EOC的度数，先求出∠BOC的度数，再利用对顶角相等的性质，∠AOD和∠BOC是对顶角，即可求出∠AOD的度数。
(2) 解题思路：∠AOC和∠COB是邻补角，二者和为180°，结合二者的比例3:7，设未知数列方程先求出∠AOC的度数，再由OE垂直AB得∠AOE为90°，用90°减去∠AOC的度数即可得到∠EOC的度数。
【解析】
(1) $\because EO⊥ AB$，根据垂直的定义，$\therefore ∠ EOB=90°$。
又$\because ∠ EOC=35°$，$\therefore ∠ BOC=∠ EOC+∠ BOE=35°+90°=125°$。
$\because ∠ AOD$与$∠ BOC$是对顶角，根据对顶角相等，$\therefore ∠ AOD=∠ BOC=125°$。
(2) 设$∠ AOC=3x°$，则$∠ COB=7x°$。
$\because ∠ AOC$与$∠ COB$是邻补角，$\therefore ∠ AOC+∠ COB=180°$，即$3x+7x=180$，解得$x=18$。
$\therefore ∠ AOC=3x°=54°$。
$\because EO⊥ AB$，$\therefore ∠ AOE=90°$，$\therefore ∠ EOC=∠ AOE-∠ AOC=90°-54°=36°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{125°}$；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
对顶角相等；邻补角性质；垂直的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础计算题，结合垂直定义、角的和差关系、比例方程求解角度，解题核心是准确识别图中角的位置关系，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：首先由OE垂直AB的条件，根据垂直定义可得∠EOB为90°，结合已知∠EOC的度数，先求出∠BOC的度数，再利用对顶角相等的性质，∠AOD和∠BOC是对顶角，即可求出∠AOD的度数。
(2) 解题思路：∠AOC和∠COB是邻补角，二者和为180°，结合二者的比例3:7，设未知数列方程先求出∠AOC的度数，再由OE垂直AB得∠AOE为90°，用90°减去∠AOC的度数即可得到∠EOC的度数。
【解析】
(1) $\because EO⊥ AB$，根据垂直的定义，$\therefore ∠ EOB=90°$。
又$\because ∠ EOC=35°$，$\therefore ∠ BOC=∠ EOC+∠ BOE=35°+90°=125°$。
$\because ∠ AOD$与$∠ BOC$是对顶角，根据对顶角相等，$\therefore ∠ AOD=∠ BOC=125°$。
(2) 设$∠ AOC=3x°$，则$∠ COB=7x°$。
$\because ∠ AOC$与$∠ COB$是邻补角，$\therefore ∠ AOC+∠ COB=180°$，即$3x+7x=180$，解得$x=18$。
$\therefore ∠ AOC=3x°=54°$。
$\because EO⊥ AB$，$\therefore ∠ AOE=90°$，$\therefore ∠ EOC=∠ AOE-∠ AOC=90°-54°=36°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{125°}$；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
对顶角相等；邻补角性质；垂直的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础计算题，结合垂直定义、角的和差关系、比例方程求解角度，解题核心是准确识别图中角的位置关系，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
