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1. 面积为5的正方形，其边长等于 （
A.5的平方根
B.5的算术平方根
C.5的立方根
$D.±\sqrt{5}$
B
）A.5的平方根
B.5的算术平方根
C.5的立方根
$D.±\sqrt{5}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题首先要利用正方形面积公式建立边长和面积的关系，再结合边长的实际意义（长度为正数），对应平方根、算术平方根的概念判断选项。第一步，回忆正方形面积公式：面积=边长²，已知面积为5，可得到关于边长的等式；第二步，明确边长是正数，因此需要找5的正的平方根，也就是算术平方根，再逐一对应选项即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，显然$a＞0$。
根据正方形面积公式可得：$a^2 = 5$。
我们把满足该等式的正数$a$叫做5的算术平方根，即$a=\sqrt{5}$。
逐一分析选项：
A选项：5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，包含负数，不符合边长为正的要求，错误；
B选项：5的算术平方根是$\sqrt{5}$，符合边长的取值要求，正确；
C选项：5的立方根是满足$x^3=5$的数，和本题$a^2=5$的数量关系不符，错误；
D选项：$\pm\sqrt{5}$包含负数值，不能作为长度类量的取值，错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念、正方形面积计算、平方根的概念
【点评】
本题主要考查算术平方根在实际问题中的应用，解题的关键是区分平方根和算术平方根的差异，注意实际问题中长度、面积这类量都是非负的，通常需要取算术平方根，避免误选带负号的结果。
【难度系数】
0.7
解题首先要利用正方形面积公式建立边长和面积的关系，再结合边长的实际意义（长度为正数），对应平方根、算术平方根的概念判断选项。第一步，回忆正方形面积公式：面积=边长²，已知面积为5，可得到关于边长的等式；第二步，明确边长是正数，因此需要找5的正的平方根，也就是算术平方根，再逐一对应选项即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，显然$a＞0$。
根据正方形面积公式可得：$a^2 = 5$。
我们把满足该等式的正数$a$叫做5的算术平方根，即$a=\sqrt{5}$。
逐一分析选项：
A选项：5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，包含负数，不符合边长为正的要求，错误；
B选项：5的算术平方根是$\sqrt{5}$，符合边长的取值要求，正确；
C选项：5的立方根是满足$x^3=5$的数，和本题$a^2=5$的数量关系不符，错误；
D选项：$\pm\sqrt{5}$包含负数值，不能作为长度类量的取值，错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念、正方形面积计算、平方根的概念
【点评】
本题主要考查算术平方根在实际问题中的应用，解题的关键是区分平方根和算术平方根的差异，注意实际问题中长度、面积这类量都是非负的，通常需要取算术平方根，避免误选带负号的结果。
【难度系数】
0.7
2.以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是 （
甲:16的平方根是±4； 乙:$\sqrt{5}$的平方等于5；
丙:－1的平方根是±1； 丁:4的算术平方根是2.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）甲:16的平方根是±4； 乙:$\sqrt{5}$的平方等于5；
丙:－1的平方根是±1； 丁:4的算术平方根是2.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2.C
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确平方根和算术平方根的核心概念：①正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0；②算术平方根是正数的正的平方根。接下来逐一验证四位同学的描述，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个判断四人的说法：
1. 甲的描述：因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，甲的说法正确；
2. 乙的描述：根据平方根的运算性质，$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，所以$(\sqrt{5})^2=5$，乙的说法正确；
3. 丙的描述：任何实数的平方都是非负数，因此负数没有平方根，-1是负数，不存在平方根，丙的说法错误；
4. 丁的描述：4的算术平方根是其正的平方根，即$\sqrt{4}=2$，丁的说法正确。
因此描述错误的是丙。
【答案】C
【知识点】平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】本题考查平方根与算术平方根的基础概念辨析，做题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，牢记负数没有平方根这一关键结论，避免概念混淆出错。
【难度系数】0.8
要解这道题，首先需要明确平方根和算术平方根的核心概念：①正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0；②算术平方根是正数的正的平方根。接下来逐一验证四位同学的描述，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个判断四人的说法：
1. 甲的描述：因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，甲的说法正确；
2. 乙的描述：根据平方根的运算性质，$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，所以$(\sqrt{5})^2=5$，乙的说法正确；
3. 丙的描述：任何实数的平方都是非负数，因此负数没有平方根，-1是负数，不存在平方根，丙的说法错误；
4. 丁的描述：4的算术平方根是其正的平方根，即$\sqrt{4}=2$，丁的说法正确。
因此描述错误的是丙。
【答案】C
【知识点】平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】本题考查平方根与算术平方根的基础概念辨析，做题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，牢记负数没有平方根这一关键结论，避免概念混淆出错。
【难度系数】0.8
3.若$\sqrt{a}=a$，则$a$的值为 （
A.0
B.0,1
C.$\pm1,0$
D.1
B
）A.0
B.0,1
C.$\pm1,0$
D.1
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义：只有非负数才有算术平方根，且算术平方根的结果也为非负数，因此首先可以排除含有负数的选项。接下来要找到满足算术平方根等于本身的数，我们可以对等式两边同时平方转化为整式方程求解，最后要记得检验解是否满足原等式和算术平方根的取值要求。
【解析】
步骤1：根据算术平方根的定义，$\sqrt{a}$有意义时被开方数$a≥0$，因此首先排除含负数的选项C。
步骤2：对等式$\sqrt{a}=a$两边同时平方，得$a=a^2$。
步骤3：移项得$a^2 - a = 0$，因式分解为$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$。
步骤4：检验：当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，等式成立；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，等式成立。
因此$a$的值为0和1，答案选B。
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质；等式的性质
【点评】本题考查算术平方根的基础性质，解题时需注意算术平方根的双重非负性，避免忽略a的取值范围错选含-1的选项，牢记算术平方根等于自身的特殊数可快速解题。
【难度系数】0.8
解题时首先回忆算术平方根的定义：只有非负数才有算术平方根，且算术平方根的结果也为非负数，因此首先可以排除含有负数的选项。接下来要找到满足算术平方根等于本身的数，我们可以对等式两边同时平方转化为整式方程求解，最后要记得检验解是否满足原等式和算术平方根的取值要求。
【解析】
步骤1：根据算术平方根的定义，$\sqrt{a}$有意义时被开方数$a≥0$，因此首先排除含负数的选项C。
步骤2：对等式$\sqrt{a}=a$两边同时平方，得$a=a^2$。
步骤3：移项得$a^2 - a = 0$，因式分解为$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$。
步骤4：检验：当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，等式成立；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，等式成立。
因此$a$的值为0和1，答案选B。
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质；等式的性质
【点评】本题考查算术平方根的基础性质，解题时需注意算术平方根的双重非负性，避免忽略a的取值范围错选含-1的选项，牢记算术平方根等于自身的特殊数可快速解题。
【难度系数】0.8
4.读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）。如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的烧杯中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为$50\ \mathrm{cm}^3$。由此，可估计该正方体物块的棱长的值位于哪两个相邻的整数之间？
（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
（
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先从题目中提取关键信息：正方体物块完全浸入水中，排出水的体积等于物块的体积，即物块体积为50cm³；其次回忆正方体体积公式：正方体体积=棱长³，因此要求棱长的范围，本质是估算50的立方根在哪两个相邻整数之间，我们只需计算相邻整数的立方，和50对比大小即可得出结论。
【解析】
解：由题意得，正方体物块的体积等于溢出的水的体积，即$V=50\ \mathrm{cm}^3$。
设正方体物块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=50$
计算相邻正整数的立方：
$3^3=27$，$4^3=64$
因为$27＜50＜64$，所以$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，即$3＜x＜4$。
因此该正方体物块的棱长位于3和4之间，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算；立方根估算；实数大小比较
【点评】
本题结合生活中的排水法情境出题，既考查了基础公式的应用，也考查了无理数估算的能力，解题的核心是建立物块体积和棱长的关系，通过计算整数立方确定无理数的范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题目中提取关键信息：正方体物块完全浸入水中，排出水的体积等于物块的体积，即物块体积为50cm³；其次回忆正方体体积公式：正方体体积=棱长³，因此要求棱长的范围，本质是估算50的立方根在哪两个相邻整数之间，我们只需计算相邻整数的立方，和50对比大小即可得出结论。
【解析】
解：由题意得，正方体物块的体积等于溢出的水的体积，即$V=50\ \mathrm{cm}^3$。
设正方体物块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=50$
计算相邻正整数的立方：
$3^3=27$，$4^3=64$
因为$27＜50＜64$，所以$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，即$3＜x＜4$。
因此该正方体物块的棱长位于3和4之间，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算；立方根估算；实数大小比较
【点评】
本题结合生活中的排水法情境出题，既考查了基础公式的应用，也考查了无理数估算的能力，解题的核心是建立物块体积和棱长的关系，通过计算整数立方确定无理数的范围。
【难度系数】
0.7
5. 下列各组数中互为相反数的是（
A.3和$\sqrt{(-3)^2}$
B.$-3$和$\sqrt[3]{-27}$
C.$-(-\sqrt{3})^2$和3
D.$-3$和$-|\sqrt[3]{-27}|$
C
）A.3和$\sqrt{(-3)^2}$
B.$-3$和$\sqrt[3]{-27}$
C.$-(-\sqrt{3})^2$和3
D.$-3$和$-|\sqrt[3]{-27}|$
答案
5.C
解析
【分析】
要判断两个数是否互为相反数，首先明确相反数的核心定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数之和为0。解题时需要先将每个选项中含有乘方、根式、绝对值的数先化简，再对比两个数是否符合相反数的特征，逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
首先明确相反数定义：只有符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数，接下来逐个化简选项：
A选项：计算$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，两个数均为3，是相等的数，不是相反数，排除A；
B选项：计算$\sqrt[3]{-27}=-3$，两个数均为-3，是相等的数，不是相反数，排除B；
C选项：计算$-(-\sqrt{3})^2$，先算平方部分：$(-\sqrt{3})^2=3$，加上前面的负号得$-3$，-3和3只有符号不同，互为相反数，C符合要求；
D选项：计算$-|\sqrt[3]{-27}|$，先算立方根：$\sqrt[3]{-27}=-3$，再算绝对值得$|-3|=3$，加上前面的负号得$-3$，两个数均为-3，是相等的数，不是相反数，排除D。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义；根式化简；绝对值运算
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是先正确完成根式、乘方、绝对值的化简，再结合相反数定义判断，计算时要特别注意符号的变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
要判断两个数是否互为相反数，首先明确相反数的核心定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数之和为0。解题时需要先将每个选项中含有乘方、根式、绝对值的数先化简，再对比两个数是否符合相反数的特征，逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
首先明确相反数定义：只有符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数，接下来逐个化简选项：
A选项：计算$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，两个数均为3，是相等的数，不是相反数，排除A；
B选项：计算$\sqrt[3]{-27}=-3$，两个数均为-3，是相等的数，不是相反数，排除B；
C选项：计算$-(-\sqrt{3})^2$，先算平方部分：$(-\sqrt{3})^2=3$，加上前面的负号得$-3$，-3和3只有符号不同，互为相反数，C符合要求；
D选项：计算$-|\sqrt[3]{-27}|$，先算立方根：$\sqrt[3]{-27}=-3$，再算绝对值得$|-3|=3$，加上前面的负号得$-3$，两个数均为-3，是相等的数，不是相反数，排除D。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义；根式化简；绝对值运算
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是先正确完成根式、乘方、绝对值的化简，再结合相反数定义判断，计算时要特别注意符号的变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
6.如图,已知数轴上的5个点A,O,B,C,D分别表示数-1,0,1,2,3,则表示数$5-\sqrt{7}$的点P落在 （
A.线段AO上
B.线段CD上
C.线段BC上
D.线段OB上
B
）A.线段AO上
B.线段CD上
C.线段BC上
D.线段OB上
答案
6.B
解析
【分析】
要确定表示数$5-\sqrt{7}$的点P的位置，首先需要估算出$\sqrt{7}$的取值范围，再通过不等式的性质推导得到$5-\sqrt{7}$的取值范围，最后结合数轴上各点对应的数值，匹配对应的线段即可。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{7}$的大小：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即 $2＜\sqrt{7}＜3$
根据不等式的性质，不等号两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-3＜-\sqrt{7}＜-2$
不等号两边同时加5，得：
$5-3 ＜ 5-\sqrt{7} ＜ 5-2$
即 $2＜5-\sqrt{7}＜3$
观察数轴可知，点C表示数2，点D表示数3，因此点P落在线段CD上。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算，不等式的性质，数轴与实数的对应
【点评】
本题是实数部分的基础题型，核心考查用“夹逼法”估算无理数的大小，结合不等式性质推导目标实数的范围后对应数轴位置，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定表示数$5-\sqrt{7}$的点P的位置，首先需要估算出$\sqrt{7}$的取值范围，再通过不等式的性质推导得到$5-\sqrt{7}$的取值范围，最后结合数轴上各点对应的数值，匹配对应的线段即可。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{7}$的大小：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即 $2＜\sqrt{7}＜3$
根据不等式的性质，不等号两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-3＜-\sqrt{7}＜-2$
不等号两边同时加5，得：
$5-3 ＜ 5-\sqrt{7} ＜ 5-2$
即 $2＜5-\sqrt{7}＜3$
观察数轴可知，点C表示数2，点D表示数3，因此点P落在线段CD上。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算，不等式的性质，数轴与实数的对应
【点评】
本题是实数部分的基础题型，核心考查用“夹逼法”估算无理数的大小，结合不等式性质推导目标实数的范围后对应数轴位置，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
