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17.(1)计算下列各式的值并探究问题：$\sqrt{4^2}=$
(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示：
化简：$\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$。
4
，$\sqrt{0^2}=$0
，$\sqrt{(-1)^2}=$1
，综上，对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^2}=$$|a|$
；(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示：
化简：$\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$。
答案
17.(1)4 0 1 $|a|$
(2)解:由数轴,知$-2＜a＜-1,0＜b＜1,a-b＜0,a+b＜0$,
$\therefore\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|=-a-b-(b-a)+(-a-b)=-a-b-b+a-a-b=-a-3b$.
(2)解:由数轴,知$-2＜a＜-1,0＜b＜1,a-b＜0,a+b＜0$,
$\therefore\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|=-a-b-(b-a)+(-a-b)=-a-b-b+a-a-b=-a-3b$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：先根据算术平方根的定义，计算出三个具体式子的结果，再观察结果与原底数的关系，总结出通用规律。算术平方根的结果恒为非负数，因此开平方后需要保证结果非负，由此可得到$\sqrt{a^2}$的通用表达。
(2) 解题思路：首先根据数轴上a、b的位置确定a、b的取值范围，再分别判断$a-b$、$a+b$的正负性；接着利用(1)得到的结论，将所有带根号的式子转化为绝对值形式，最后根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义计算：
$\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$；
观察规律可得：当a为正数时，$\sqrt{a^2}=a$；当a为0时，$\sqrt{a^2}=0$；当a为负数时，$\sqrt{a^2}=-a$，因此对任意有理数a，$\sqrt{a^2}=|a|$。
(2) 由数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$0 ＜ b ＜ 1$，由此可得$a-b ＜ 0$，$a+b ＜ 0$。
结合(1)的结论，将原式转化为绝对值形式：
$\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|=|a|-|b|-|a-b|+|a+b|$
根据绝对值的性质去绝对值符号：$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|a+b|=-(a+b)=-a-b$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-a - b - (b - a) + (-a - b)\\&=-a - b - b + a - a - b\\&=-a - 3b\end{aligned}$
【答案】
(1) $4$；$0$；$1$；$|a|$
(2) $-a-3b$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 绝对值的化简
3. 数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查算术平方根的性质与绝对值化简，核心结论$\sqrt{a^2}=|a|$是解题的关键，解题时需要先准确判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号合并同类项，属于基础的代数应用题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：先根据算术平方根的定义，计算出三个具体式子的结果，再观察结果与原底数的关系，总结出通用规律。算术平方根的结果恒为非负数，因此开平方后需要保证结果非负，由此可得到$\sqrt{a^2}$的通用表达。
(2) 解题思路：首先根据数轴上a、b的位置确定a、b的取值范围，再分别判断$a-b$、$a+b$的正负性；接着利用(1)得到的结论，将所有带根号的式子转化为绝对值形式，最后根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义计算：
$\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$；
观察规律可得：当a为正数时，$\sqrt{a^2}=a$；当a为0时，$\sqrt{a^2}=0$；当a为负数时，$\sqrt{a^2}=-a$，因此对任意有理数a，$\sqrt{a^2}=|a|$。
(2) 由数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$0 ＜ b ＜ 1$，由此可得$a-b ＜ 0$，$a+b ＜ 0$。
结合(1)的结论，将原式转化为绝对值形式：
$\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|=|a|-|b|-|a-b|+|a+b|$
根据绝对值的性质去绝对值符号：$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|a+b|=-(a+b)=-a-b$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-a - b - (b - a) + (-a - b)\\&=-a - b - b + a - a - b\\&=-a - 3b\end{aligned}$
【答案】
(1) $4$；$0$；$1$；$|a|$
(2) $-a-3b$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 绝对值的化简
3. 数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查算术平方根的性质与绝对值化简，核心结论$\sqrt{a^2}=|a|$是解题的关键，解题时需要先准确判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号合并同类项，属于基础的代数应用题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
18.数学课上,好学的小明向老师提出了一个问题:无限循环小数是无理数吗?
以0.$\dot{3}$为例,老师给小明做了以下解答(注:0.$\dot{3}$即0.333 33…):
设0.$\dot{3}$为$x$,即0.3$\dot{3}$=$x$.
等式两边同时乘10,得3.$\dot{3}$=$10x$,
即$3+0.\dot{3}=10x$,因为$0.\dot{3}=x$,所以$3+x=10x$,解得$x=\frac{1}{3}$,即$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$.
因为分数是有理数,所以0.$\dot{3}$是有理数.同学们,你们学会了吗?
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)无限循环小数0.$\dot{2}$写成分数的形式是
(2)请用解方程的办法将0.$\ddot{21}$写成分数.
以0.$\dot{3}$为例,老师给小明做了以下解答(注:0.$\dot{3}$即0.333 33…):
设0.$\dot{3}$为$x$,即0.3$\dot{3}$=$x$.
等式两边同时乘10,得3.$\dot{3}$=$10x$,
即$3+0.\dot{3}=10x$,因为$0.\dot{3}=x$,所以$3+x=10x$,解得$x=\frac{1}{3}$,即$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$.
因为分数是有理数,所以0.$\dot{3}$是有理数.同学们,你们学会了吗?
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)无限循环小数0.$\dot{2}$写成分数的形式是
$\frac{2}{9}$
;(2)请用解方程的办法将0.$\ddot{21}$写成分数.
答案
18.(1)$\frac{2}{9}$
(2)解:设$0.\dot{2}\dot{1}$为$x$,即$0.\dot{2}\dot{1}=x$,
等式两边同时乘100,得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$,即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$.
$\because0.\dot{2}\dot{1}=x,\therefore21+x=100x,解得x=\frac{7}{33},即0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$.
(2)解:设$0.\dot{2}\dot{1}$为$x$,即$0.\dot{2}\dot{1}=x$,
等式两边同时乘100,得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$,即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$.
$\because0.\dot{2}\dot{1}=x,\therefore21+x=100x,解得x=\frac{7}{33},即0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$.
解析
【分析】
本题属于材料阅读类题型，可直接迁移材料给出的无限循环小数化分数的方法解题：①先将无限循环小数设为未知数x；②观察循环节的位数，若循环节有n位，就将等式两边同时乘$10^n$，使乘完后的数的小数部分和原无限循环小数的小数部分完全相同；③消去无限循环的小数部分，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到对应分数。(1)中$0.\dot{2}$的循环节有1位，因此乘10消去循环部分；(2)中$0.\dot{2}\dot{1}$的循环节有2位，因此乘100消去循环部分。
【解析】
(1) 设$0.\dot{2}=x$，
等式两边同时乘10，得$2.\dot{2}=10x$，
即$2 + 0.\dot{2}=10x$，
因为$0.\dot{2}=x$，所以$2 + x = 10x$，
解得$x=\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}$为$x$，即$0.\dot{2}\dot{1}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$，即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$。
$\because0.\dot{2}\dot{1}=x$，$\therefore21+x=100x$，
移项合并同类项得$99x=21$，
解得$x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$，即$0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$。
【答案】
(1)$\frac{2}{9}$；(2)$\frac{7}{33}$
【知识点】
一元一次方程的应用，无限循环小数化分数，有理数的概念
【点评】
本题为阅读理解型题目，核心考查对新方法的迁移运用能力，解题的关键是准确判断循环节的位数，通过扩倍消去无限循环的小数部分，将问题转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.8
本题属于材料阅读类题型，可直接迁移材料给出的无限循环小数化分数的方法解题：①先将无限循环小数设为未知数x；②观察循环节的位数，若循环节有n位，就将等式两边同时乘$10^n$，使乘完后的数的小数部分和原无限循环小数的小数部分完全相同；③消去无限循环的小数部分，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到对应分数。(1)中$0.\dot{2}$的循环节有1位，因此乘10消去循环部分；(2)中$0.\dot{2}\dot{1}$的循环节有2位，因此乘100消去循环部分。
【解析】
(1) 设$0.\dot{2}=x$，
等式两边同时乘10，得$2.\dot{2}=10x$，
即$2 + 0.\dot{2}=10x$，
因为$0.\dot{2}=x$，所以$2 + x = 10x$，
解得$x=\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}$为$x$，即$0.\dot{2}\dot{1}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$，即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$。
$\because0.\dot{2}\dot{1}=x$，$\therefore21+x=100x$，
移项合并同类项得$99x=21$，
解得$x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$，即$0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$。
【答案】
(1)$\frac{2}{9}$；(2)$\frac{7}{33}$
【知识点】
一元一次方程的应用，无限循环小数化分数，有理数的概念
【点评】
本题为阅读理解型题目，核心考查对新方法的迁移运用能力，解题的关键是准确判断循环节的位数，通过扩倍消去无限循环的小数部分，将问题转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.8
