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13. 解方程：
(1)$4(x-3)^2 -16=0$；
(2)$-8(x+1)^3=27$。
(1)$4(x-3)^2 -16=0$；
(2)$-8(x+1)^3=27$。
答案
13.解:(1)$4(x-3)^2-16=0,\therefore(x-3)^2=4.\therefore x-3=\pm2$.解得$x=5$或$x=1$.
(2)$-8(x+1)^3=27,(x+1)^3=-\frac{27}{8},x+1=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}},x+1=-\frac{3}{2},解得x=-\frac{5}{2}$.
(2)$-8(x+1)^3=27,(x+1)^3=-\frac{27}{8},x+1=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}},x+1=-\frac{3}{2},解得x=-\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
对于(1)题，方程包含$(x-3)$的平方项，解题时先通过移项、系数化为1，将方程变形为“平方项等于正数”的形式，再根据平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根）开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可；对于(2)题，方程包含$(x+1)$的立方项，先将三次项系数化为1，得到“立方项等于常数”的形式，再根据立方根的性质（任意数的立方根唯一，符号与被开方数一致）开立方得到一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$4(x-3)^2=16$，
两边同时除以4得：$(x-3)^2=4$，
开平方得：$x-3=\pm2$，
当$x-3=2$时，解得$x=5$；当$x-3=-2$时，解得$x=1$。
(2) 两边同时除以$-8$得：$(x+1)^3=-\frac{27}{8}$，
开立方得：$x+1=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$，
移项解得：$x=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$x=5$或$x=1$；(2)$x=-\frac{5}{2}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心考查平方根、立方根的性质应用，解题时注意开平方运算有两个结果，不要漏解，开立方结果唯一，注意符号判断即可。
【难度系数】
0.8
对于(1)题，方程包含$(x-3)$的平方项，解题时先通过移项、系数化为1，将方程变形为“平方项等于正数”的形式，再根据平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根）开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可；对于(2)题，方程包含$(x+1)$的立方项，先将三次项系数化为1，得到“立方项等于常数”的形式，再根据立方根的性质（任意数的立方根唯一，符号与被开方数一致）开立方得到一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$4(x-3)^2=16$，
两边同时除以4得：$(x-3)^2=4$，
开平方得：$x-3=\pm2$，
当$x-3=2$时，解得$x=5$；当$x-3=-2$时，解得$x=1$。
(2) 两边同时除以$-8$得：$(x+1)^3=-\frac{27}{8}$，
开立方得：$x+1=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$，
移项解得：$x=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$x=5$或$x=1$；(2)$x=-\frac{5}{2}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心考查平方根、立方根的性质应用，解题时注意开平方运算有两个结果，不要漏解，开立方结果唯一，注意符号判断即可。
【难度系数】
0.8
14.已知a是$2\frac{7}{9}$的平方根，b是$(-13)^2$的平方根，c的立方根是－3，d的算术平方根是$\sqrt{2}$，回答下列问题：
(1)分别求出a，b，c，d的值；
(2)d的另外一个平方根落在图中的
(1)分别求出a，b，c，d的值；
(2)d的另外一个平方根落在图中的
②
上(选填“①”“②”“③”“④”)。答案
14.解:(1)$\because(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}=2\frac{7}{9},(\pm13)^2=(-13)^2,(-3)^3=-27,(\sqrt{2})^2=2$,
$\therefore\pm\frac{5}{3}$是$2\frac{7}{9}$的平方根,$\pm13$是$(-13)^2$的平方根,$-27$的立方根是$-3$,$2$的算术平方根是$\sqrt{2}$.
$\therefore a=\pm\frac{5}{3},b=\pm13,c=-27,d=2$.
(2)$\because2$的平方根是$\pm\sqrt{2},而-2＜-\sqrt{2}＜-1$,
$\therefore d$的另外一个平方根落在图中的②上.
故答案为②.
$\therefore\pm\frac{5}{3}$是$2\frac{7}{9}$的平方根,$\pm13$是$(-13)^2$的平方根,$-27$的立方根是$-3$,$2$的算术平方根是$\sqrt{2}$.
$\therefore a=\pm\frac{5}{3},b=\pm13,c=-27,d=2$.
(2)$\because2$的平方根是$\pm\sqrt{2},而-2＜-\sqrt{2}＜-1$,
$\therefore d$的另外一个平方根落在图中的②上.
故答案为②.
解析
【分析】
(1) 求解a、b、c、d需结合对应概念计算：先将带分数$2\frac{7}{9}$化为假分数，根据平方根定义，平方等于该假分数的数即为a；先计算$(-13)^2$的结果，再找平方等于该结果的数即为b；根据立方根定义，立方根为-3的数就是$(-3)^3$，即c的值；算术平方根是正的平方根，因此d等于$(\sqrt{2})^2$。
(2) 先求d的所有平方根，排除已知的算术平方根，得到另一个负的平方根，估算该负平方根的大小，再对照数轴区间匹配对应序号即可。
【解析】
(1) 分步计算各值：
$2\frac{7}{9}=\frac{25}{9}$，因为$(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，所以$2\frac{7}{9}$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$，即$a=\pm\frac{5}{3}$；
$(-13)^2=169$，因为$(\pm13)^2=169$，所以$(-13)^2$的平方根是$\pm13$，即$b=\pm13$；
因为c的立方根是-3，所以$c=(-3)^3=-27$；
因为d的算术平方根是$\sqrt{2}$，所以$d=(\sqrt{2})^2=2$。
(2) d=2，2的平方根为$\pm\sqrt{2}$，其中算术平方根是$\sqrt{2}$，另一个平方根是$-\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，对应数轴上的区间②。
【答案】
(1) $a=\pm\frac{5}{3}$，$b=\pm13$，$c=-27$，$d=2$；
(2) ②
【知识点】
平方根的概念，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题侧重考查实数相关的基础概念，解题时需注意区分平方根和算术平方根的差异，平方根有两个互为相反数的结果，立方根只有唯一结果，同时要掌握常见无理数的大小估算方法，避免概念混淆导致出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a、b、c、d需结合对应概念计算：先将带分数$2\frac{7}{9}$化为假分数，根据平方根定义，平方等于该假分数的数即为a；先计算$(-13)^2$的结果，再找平方等于该结果的数即为b；根据立方根定义，立方根为-3的数就是$(-3)^3$，即c的值；算术平方根是正的平方根，因此d等于$(\sqrt{2})^2$。
(2) 先求d的所有平方根，排除已知的算术平方根，得到另一个负的平方根，估算该负平方根的大小，再对照数轴区间匹配对应序号即可。
【解析】
(1) 分步计算各值：
$2\frac{7}{9}=\frac{25}{9}$，因为$(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，所以$2\frac{7}{9}$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$，即$a=\pm\frac{5}{3}$；
$(-13)^2=169$，因为$(\pm13)^2=169$，所以$(-13)^2$的平方根是$\pm13$，即$b=\pm13$；
因为c的立方根是-3，所以$c=(-3)^3=-27$；
因为d的算术平方根是$\sqrt{2}$，所以$d=(\sqrt{2})^2=2$。
(2) d=2，2的平方根为$\pm\sqrt{2}$，其中算术平方根是$\sqrt{2}$，另一个平方根是$-\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，对应数轴上的区间②。
【答案】
(1) $a=\pm\frac{5}{3}$，$b=\pm13$，$c=-27$，$d=2$；
(2) ②
【知识点】
平方根的概念，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题侧重考查实数相关的基础概念，解题时需注意区分平方根和算术平方根的差异，平方根有两个互为相反数的结果，立方根只有唯一结果，同时要掌握常见无理数的大小估算方法，避免概念混淆导致出错。
【难度系数】
0.7
15.规定:若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则称这样的数为“最美实数”.若$\sqrt{2}+a$是“最美实数”,则$a$的值是（
A.$\sqrt{2}-1$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$
D.$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{2}-1$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$
D.$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
答案
15.D
解析
【分析】
解题第一步先明确“最美实数”的定义：算术平方根等于立方根的实数。首先思考满足该条件的数有哪些：算术平方根有意义的数是非负数，其中0的算术平方根和立方根都是0，1的算术平方根和立方根都是1，其余实数均不满足该条件，因此“最美实数”只有0和1。接下来根据题目给出的“$\sqrt{2}+a$是最美实数”，分两种情况列方程求解a的值即可。
【解析】
首先根据“最美实数”的定义，确定满足“算术平方根等于立方根”的数为0或1，分两种情况计算：
情况1：当$\sqrt{2}+a=0$时，
移项得：$a=-\sqrt{2}$；
情况2：当$\sqrt{2}+a=1$时，
移项得：$a=1-\sqrt{2}$。
综上，$a$的值为$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先结合算术平方根和立方根的性质，确定符合定义的“最美实数”的取值，再分类讨论计算即可，解题时注意不要遗漏0这一特殊的符合条件的数。
【难度系数】
0.7
解题第一步先明确“最美实数”的定义：算术平方根等于立方根的实数。首先思考满足该条件的数有哪些：算术平方根有意义的数是非负数，其中0的算术平方根和立方根都是0，1的算术平方根和立方根都是1，其余实数均不满足该条件，因此“最美实数”只有0和1。接下来根据题目给出的“$\sqrt{2}+a$是最美实数”，分两种情况列方程求解a的值即可。
【解析】
首先根据“最美实数”的定义，确定满足“算术平方根等于立方根”的数为0或1，分两种情况计算：
情况1：当$\sqrt{2}+a=0$时，
移项得：$a=-\sqrt{2}$；
情况2：当$\sqrt{2}+a=1$时，
移项得：$a=1-\sqrt{2}$。
综上，$a$的值为$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先结合算术平方根和立方根的性质，确定符合定义的“最美实数”的取值，再分类讨论计算即可，解题时注意不要遗漏0这一特殊的符合条件的数。
【难度系数】
0.7
16.已知$x=\sqrt{7}+2$，a是x的整数部分，b是x的小数部分，则$a-b=$
$6-\sqrt{7}$
.答案
16.$6-\sqrt{7}$
解析
【分析】
要计算$a-b$的值，需先确定$x$的整数部分$a$和小数部分$b$。首先估算$\sqrt{7}$的取值范围，再推导$x=\sqrt{7}+2$的取值范围，即可确定整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”的关系求出$b$，最后代入$a-b$计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
2. 推导$x$的范围：
给上述不等式三边同时加2，可得$2+2＜\sqrt{7}+2＜3+2$，即$4＜x＜5$。
3. 确定$a$和$b$的值：
$x$的整数部分$a=4$；
小数部分$b=x-a=(\sqrt{7}+2)-4=\sqrt{7}-2$。
4. 计算$a-b$：
$a-b=4-(\sqrt{7}-2)=4-\sqrt{7}+2=6-\sqrt{7}$。
【答案】
$6-\sqrt{7}$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数的整数与小数部分
3. 代数式求值
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是正确锁定无理数的整数范围，从而准确得到实数的整数部分和小数部分，计算时要注意去括号的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要计算$a-b$的值，需先确定$x$的整数部分$a$和小数部分$b$。首先估算$\sqrt{7}$的取值范围，再推导$x=\sqrt{7}+2$的取值范围，即可确定整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”的关系求出$b$，最后代入$a-b$计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
2. 推导$x$的范围：
给上述不等式三边同时加2，可得$2+2＜\sqrt{7}+2＜3+2$，即$4＜x＜5$。
3. 确定$a$和$b$的值：
$x$的整数部分$a=4$；
小数部分$b=x-a=(\sqrt{7}+2)-4=\sqrt{7}-2$。
4. 计算$a-b$：
$a-b=4-(\sqrt{7}-2)=4-\sqrt{7}+2=6-\sqrt{7}$。
【答案】
$6-\sqrt{7}$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数的整数与小数部分
3. 代数式求值
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是正确锁定无理数的整数范围，从而准确得到实数的整数部分和小数部分，计算时要注意去括号的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
