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8.在实数$-\sqrt{3},-1,0,π$中，最小的数是
$-\sqrt{3}$
。答案
8.$-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要找出几个实数中最小的数，需结合实数大小比较的规则逐步判断：首先明确正数＞0＞负数，因此可先排除正数和0，只需比较两个负数的大小；两个负数比较大小的规则是绝对值大的反而小，因此计算两个负数的绝对值，比较绝对值大小后就能确定更小的负数，也就是四个数中最小的数。
【解析】
根据实数大小比较的基本法则解题：
1. 先对四个数分类：$π$是正数，大于0；$-\sqrt{3}$、$-1$是负数，小于0，因此最小的数在$-\sqrt{3}$和$-1$两个负数中。
2. 计算两个负数的绝对值：$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}\approx1.732$，$\left|-1\right|=1$。
3. 因为$1.732＞1$，即$\sqrt{3}＞1$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-\sqrt{3}＜-1$。
4. 四个数的完整大小关系为：$-\sqrt{3}＜-1＜0＜π$，因此最小的数是$-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
实数大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的应用，熟练掌握正数、0、负数的大小关系以及负数比较大小的规则是解题的核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要找出几个实数中最小的数，需结合实数大小比较的规则逐步判断：首先明确正数＞0＞负数，因此可先排除正数和0，只需比较两个负数的大小；两个负数比较大小的规则是绝对值大的反而小，因此计算两个负数的绝对值，比较绝对值大小后就能确定更小的负数，也就是四个数中最小的数。
【解析】
根据实数大小比较的基本法则解题：
1. 先对四个数分类：$π$是正数，大于0；$-\sqrt{3}$、$-1$是负数，小于0，因此最小的数在$-\sqrt{3}$和$-1$两个负数中。
2. 计算两个负数的绝对值：$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}\approx1.732$，$\left|-1\right|=1$。
3. 因为$1.732＞1$，即$\sqrt{3}＞1$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-\sqrt{3}＜-1$。
4. 四个数的完整大小关系为：$-\sqrt{3}＜-1＜0＜π$，因此最小的数是$-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
实数大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的应用，熟练掌握正数、0、负数的大小关系以及负数比较大小的规则是解题的核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
9.司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图所示，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为$\sqrt{26}-1$。若$\sqrt{26}-1$介于两个连续整数$n$和$n+1$之间，则$n$的值是
4
。答案
9.4
解析
【分析】
要确定n的值，首先需估算出√26的取值范围。我们可以先找到与26相邻的两个完全平方数，据此确定√26在哪两个连续整数之间，再对不等式两边同时减1，即可得到√26 -1的取值范围，进而求出n的值。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且 $25＜26＜36$
∴ $\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即 $5＜\sqrt{26}＜6$
不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得：
$5-1＜\sqrt{26}-1＜6-1$，即 $4＜\sqrt{26}-1＜5$
已知$\sqrt{26}-1$介于连续整数$n$和$n+1$之间，因此$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算；算术平方根；不等式的基本性质
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题的关键是找到被开方数相邻的两个完全平方数，掌握估算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要确定n的值，首先需估算出√26的取值范围。我们可以先找到与26相邻的两个完全平方数，据此确定√26在哪两个连续整数之间，再对不等式两边同时减1，即可得到√26 -1的取值范围，进而求出n的值。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且 $25＜26＜36$
∴ $\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即 $5＜\sqrt{26}＜6$
不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得：
$5-1＜\sqrt{26}-1＜6-1$，即 $4＜\sqrt{26}-1＜5$
已知$\sqrt{26}-1$介于连续整数$n$和$n+1$之间，因此$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算；算术平方根；不等式的基本性质
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题的关键是找到被开方数相邻的两个完全平方数，掌握估算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
10.用计算器计算(结果精确到0.01).
(1)$\sqrt{4.225} \approx$
(2)$\sqrt[3]{6892} \approx$
(1)$\sqrt{4.225} \approx$
2.06
;(2)$\sqrt[3]{6892} \approx$
19.03
.答案
10.(1)2.06 (2)19.03
解析
【分析】
本题考查用计算器计算开方运算及近似数的取值。解题思路：(1)求算术平方根时，先在计算器中输入被开方数4.225，按下算术平方根按键得到计算结果，再按照精确到0.01的要求，对结果的千分位进行四舍五入；(2)求立方根时，在计算器中输入被开方数6892，按下立方根按键得到计算结果，同样对千分位四舍五入保留两位小数即可。
【解析】
(1) 使用计算器计算$\sqrt{4.225}$，得到结果约为2.05548，观察千分位数字是5，根据四舍五入规则向百分位进1，因此$\sqrt{4.225} \approx 2.06$；
(2) 使用计算器计算$\sqrt[3]{6892}$，得到结果约为19.0304，观察千分位数字是0，根据四舍五入规则舍去千分位及后面的数，因此$\sqrt[3]{6892} \approx 19.03$。
【答案】
(1)2.06；(2)19.03
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、近似数取值
【点评】
本题属于基础操作类题型，重点考查计算器开方功能的使用和近似数精确度的处理，熟练掌握计算器对应按键操作，严格按照四舍五入规则取值即可得分。
【难度系数】
0.85
本题考查用计算器计算开方运算及近似数的取值。解题思路：(1)求算术平方根时，先在计算器中输入被开方数4.225，按下算术平方根按键得到计算结果，再按照精确到0.01的要求，对结果的千分位进行四舍五入；(2)求立方根时，在计算器中输入被开方数6892，按下立方根按键得到计算结果，同样对千分位四舍五入保留两位小数即可。
【解析】
(1) 使用计算器计算$\sqrt{4.225}$，得到结果约为2.05548，观察千分位数字是5，根据四舍五入规则向百分位进1，因此$\sqrt{4.225} \approx 2.06$；
(2) 使用计算器计算$\sqrt[3]{6892}$，得到结果约为19.0304，观察千分位数字是0，根据四舍五入规则舍去千分位及后面的数，因此$\sqrt[3]{6892} \approx 19.03$。
【答案】
(1)2.06；(2)19.03
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、近似数取值
【点评】
本题属于基础操作类题型，重点考查计算器开方功能的使用和近似数精确度的处理，熟练掌握计算器对应按键操作，严格按照四舍五入规则取值即可得分。
【难度系数】
0.85
11. 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)1.21；
(2)$(-5)^2$；
(3)$\left| -2\frac{7}{9} \right|$。
(1)1.21；
(2)$(-5)^2$；
(3)$\left| -2\frac{7}{9} \right|$。
答案
11.解:(1)$\because(\pm1.1)^2=1.21$,
$\therefore1.21$的平方根是$\pm1.1$,算术平方根是$1.1$.
(2)$\because(\pm5)^2=(-5)^2=25$,
$\therefore(-5)^2$的平方根是$\pm5$,算术平方根是$5$.
(3)$\because(\pm\frac{5}{3})^2=\left|-2\frac{7}{9}\right|=\frac{25}{9}$,
$\therefore\left|-2\frac{7}{9}\right|$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$,算术平方根是$\frac{5}{3}$.
$\therefore1.21$的平方根是$\pm1.1$,算术平方根是$1.1$.
(2)$\because(\pm5)^2=(-5)^2=25$,
$\therefore(-5)^2$的平方根是$\pm5$,算术平方根是$5$.
(3)$\because(\pm\frac{5}{3})^2=\left|-2\frac{7}{9}\right|=\frac{25}{9}$,
$\therefore\left|-2\frac{7}{9}\right|$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$,算术平方根是$\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
解题前需先明确核心定义：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数；其中正的平方根叫做$a$的算术平方根。解题步骤为：①先化简含有乘方、绝对值的被开方数，得到正实数；②找到平方后等于该正实数的两个互为相反数的数，即为对应数的平方根；③取平方根中的正数，就是对应数的算术平方根。
【解析】
(1) $\because (\pm1.1)^2=1.21$，
$\therefore 1.21$的平方根是$\pm1.1$，算术平方根是$1.1$。
(2) $\because (\pm5)^2=(-5)^2=25$，
$\therefore (-5)^2$的平方根是$\pm5$，算术平方根是$5$。
(3) $\because (\pm\frac{5}{3})^2=\left| -2\frac{7}{9} \right|=\frac{25}{9}$，
$\therefore \left| -2\frac{7}{9} \right|$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$，算术平方根是$\frac{5}{3}$。
【答案】
(1)平方根为$\pm1.1$，算术平方根为$1.1$；
(2)平方根为$\pm5$，算术平方根为$5$；
(3)平方根为$\pm\frac{5}{3}$，算术平方根为$\frac{5}{3}$。
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，绝对值与乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查平方根和算术平方根的区分，解题时要注意先对带运算的被开方数化简，再根据定义求解，不要混淆两种根的范围，避免漏写平方根的负根或者错把负根计入算术平方根。
【难度系数】
0.85
解题前需先明确核心定义：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数；其中正的平方根叫做$a$的算术平方根。解题步骤为：①先化简含有乘方、绝对值的被开方数，得到正实数；②找到平方后等于该正实数的两个互为相反数的数，即为对应数的平方根；③取平方根中的正数，就是对应数的算术平方根。
【解析】
(1) $\because (\pm1.1)^2=1.21$，
$\therefore 1.21$的平方根是$\pm1.1$，算术平方根是$1.1$。
(2) $\because (\pm5)^2=(-5)^2=25$，
$\therefore (-5)^2$的平方根是$\pm5$，算术平方根是$5$。
(3) $\because (\pm\frac{5}{3})^2=\left| -2\frac{7}{9} \right|=\frac{25}{9}$，
$\therefore \left| -2\frac{7}{9} \right|$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$，算术平方根是$\frac{5}{3}$。
【答案】
(1)平方根为$\pm1.1$，算术平方根为$1.1$；
(2)平方根为$\pm5$，算术平方根为$5$；
(3)平方根为$\pm\frac{5}{3}$，算术平方根为$\frac{5}{3}$。
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，绝对值与乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查平方根和算术平方根的区分，解题时要注意先对带运算的被开方数化简，再根据定义求解，不要混淆两种根的范围，避免漏写平方根的负根或者错把负根计入算术平方根。
【难度系数】
0.85
12. 比较下列各组数的大小：
(1)$\sqrt[3]{3}$与$\frac{3}{2}$；
(2)$\sqrt[3]{9}$与$\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{\frac{2}{3}}$与$\sqrt{\frac{4}{7}}$；
(4)$\sqrt[3]{-12}$与$-\sqrt{5}$.
(1)$\sqrt[3]{3}$与$\frac{3}{2}$；
(2)$\sqrt[3]{9}$与$\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{\frac{2}{3}}$与$\sqrt{\frac{4}{7}}$；
(4)$\sqrt[3]{-12}$与$-\sqrt{5}$.
答案
12.解:(1)$\because\frac{3}{2}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}},3＜\frac{27}{8},\therefore\sqrt[3]{3}＜\frac{3}{2}$.
(2)$\because9＞8,\therefore\sqrt[3]{9}＞2$.
$\because4＞3,\therefore2＞\sqrt{3}.\therefore\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$.
(3)$\because\frac{2}{3}=\frac{14}{21},\frac{4}{7}=\frac{12}{21},而\frac{14}{21}＞\frac{12}{21}$,
$\therefore\sqrt{\frac{2}{3}}＞\sqrt{\frac{4}{7}}$.
(4)$\because\sqrt[3]{-12}\approx-2.2894,-\sqrt{5}\approx-2.2361,而-2.2894＜-2.2361$,
$\therefore\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$.
(2)$\because9＞8,\therefore\sqrt[3]{9}＞2$.
$\because4＞3,\therefore2＞\sqrt{3}.\therefore\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$.
(3)$\because\frac{2}{3}=\frac{14}{21},\frac{4}{7}=\frac{12}{21},而\frac{14}{21}＞\frac{12}{21}$,
$\therefore\sqrt{\frac{2}{3}}＞\sqrt{\frac{4}{7}}$.
(4)$\because\sqrt[3]{-12}\approx-2.2894,-\sqrt{5}\approx-2.2361,而-2.2894＜-2.2361$,
$\therefore\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
比较实数大小可根据数的形式选择对应方法：1. 立方根和有理数比较时，可将有理数转化为同次立方根，利用“立方根的被开方数越大，对应立方根越大”比较；2. 不同类型根式可借助中间值作为桥梁间接比较；3. 两个算术平方根比较时，利用“正数的算术平方根随被开方数增大而增大”，只需比较被开方数大小；4. 负实数比较可先计算近似值，再根据“负数比较大小，绝对值越大数值越小”判断。
【解析】
(1) 将$\frac{3}{2}$转化为立方根形式：$\frac{3}{2}=\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^3}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$，
∵$3=\frac{24}{8}＜\frac{27}{8}$，
∴$\sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$，即$\sqrt[3]{3}＜\frac{3}{2}$。
(2) 引入中间值2比较：
∵$9＞8$，
∴$\sqrt[3]{9}＞\sqrt[3]{8}=2$，
∵$3＜4$，
∴$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
∴$\sqrt[3]{9}＞2＞\sqrt{3}$，即$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$。
(3) 先比较两个算术平方根的被开方数：
$\frac{2}{3}=\frac{14}{21}$，$\frac{4}{7}=\frac{12}{21}$，
∵$\frac{14}{21}＞\frac{12}{21}$，即$\frac{2}{3}＞\frac{4}{7}$，
∴$\sqrt{\frac{2}{3}}＞\sqrt{\frac{4}{7}}$。
(4) 计算两个数的近似值比较：
$\sqrt[3]{-12}\approx-2.2894$，$-\sqrt{5}\approx-2.2361$，
∵$|-2.2894|＞|-2.2361|$，负数绝对值越大数值越小，
∴$-2.2894＜-2.2361$，即$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{3}＜\frac{3}{2}$；(2)$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{\frac{2}{3}}＞\sqrt{\frac{4}{7}}$；(4)$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较；立方根的性质；算术平方根的性质
【点评】
本题考查不同形式实数的大小比较，解题核心是根据数的特征灵活选用合适的比较方法，如同次根式比被开方数、中间值法、近似估值法等，熟练掌握根式的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
比较实数大小可根据数的形式选择对应方法：1. 立方根和有理数比较时，可将有理数转化为同次立方根，利用“立方根的被开方数越大，对应立方根越大”比较；2. 不同类型根式可借助中间值作为桥梁间接比较；3. 两个算术平方根比较时，利用“正数的算术平方根随被开方数增大而增大”，只需比较被开方数大小；4. 负实数比较可先计算近似值，再根据“负数比较大小，绝对值越大数值越小”判断。
【解析】
(1) 将$\frac{3}{2}$转化为立方根形式：$\frac{3}{2}=\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^3}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$，
∵$3=\frac{24}{8}＜\frac{27}{8}$，
∴$\sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$，即$\sqrt[3]{3}＜\frac{3}{2}$。
(2) 引入中间值2比较：
∵$9＞8$，
∴$\sqrt[3]{9}＞\sqrt[3]{8}=2$，
∵$3＜4$，
∴$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
∴$\sqrt[3]{9}＞2＞\sqrt{3}$，即$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$。
(3) 先比较两个算术平方根的被开方数：
$\frac{2}{3}=\frac{14}{21}$，$\frac{4}{7}=\frac{12}{21}$，
∵$\frac{14}{21}＞\frac{12}{21}$，即$\frac{2}{3}＞\frac{4}{7}$，
∴$\sqrt{\frac{2}{3}}＞\sqrt{\frac{4}{7}}$。
(4) 计算两个数的近似值比较：
$\sqrt[3]{-12}\approx-2.2894$，$-\sqrt{5}\approx-2.2361$，
∵$|-2.2894|＞|-2.2361|$，负数绝对值越大数值越小，
∴$-2.2894＜-2.2361$，即$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{3}＜\frac{3}{2}$；(2)$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{\frac{2}{3}}＞\sqrt{\frac{4}{7}}$；(4)$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较；立方根的性质；算术平方根的性质
【点评】
本题考查不同形式实数的大小比较，解题核心是根据数的特征灵活选用合适的比较方法，如同次根式比被开方数、中间值法、近似估值法等，熟练掌握根式的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
