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7.计算：$|\sqrt{2}-2|+\sqrt{2}-1=$
1
.答案
7.1
解析
【分析】
解题时首先要处理绝对值部分，根据绝对值的性质，需要先判断绝对值内代数式的正负：因为√2≈1.414，所以√2＜2，因此√2-2是负数，负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值后再合并同类项就能得到结果。
【解析】
第一步：化简绝对值
∵ √2≈1.414＜2，
∴ √2-2＜0
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$
第二步：代入原式计算
原式$=2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1$
合并同类项后，$-\sqrt{2}$与$+\sqrt{2}$相互抵消，得：$2-1=1$
【答案】
1
【知识点】
绝对值的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是正确判断绝对值内式子的正负，准确去绝对值后合并同类项即可完成计算，整体计算量小，易错点在于绝对值化简时符号处理错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要处理绝对值部分，根据绝对值的性质，需要先判断绝对值内代数式的正负：因为√2≈1.414，所以√2＜2，因此√2-2是负数，负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值后再合并同类项就能得到结果。
【解析】
第一步：化简绝对值
∵ √2≈1.414＜2，
∴ √2-2＜0
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$
第二步：代入原式计算
原式$=2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1$
合并同类项后，$-\sqrt{2}$与$+\sqrt{2}$相互抵消，得：$2-1=1$
【答案】
1
【知识点】
绝对值的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是正确判断绝对值内式子的正负，准确去绝对值后合并同类项即可完成计算，整体计算量小，易错点在于绝对值化简时符号处理错误。
【难度系数】
0.8
8.若$\sqrt{x+2} + |y+8| = 0$,则$xy$的平方根为
±4
.答案
8.±4
解析
【分析】
算术平方根和绝对值都具有非负性，也就是二者的计算结果都大于等于0。当两个非负数相加和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足条件。解题时先根据这个性质列方程求出x、y的值，再计算xy的结果，最后根据平方根的定义求出xy的平方根即可，注意平方根有正负两个，不要遗漏负的结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2} ≥ 0$，$|y+8| ≥ 0$，且$\sqrt{x+2} + |y+8| = 0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$x+2=0$，$y+8=0$
解得：$x=-2$，$y=-8$
∴ $xy=(-2) × (-8)=16$
∵ $(\pm4)^2=16$
∴ 16的平方根为$\pm4$，即$xy$的平方根为$\pm4$。
【答案】
±4
【知识点】
非负数的性质，平方根的定义
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数的性质以及平方根的计算，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，仅写出正的结果4，做题时要注意平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.7
算术平方根和绝对值都具有非负性，也就是二者的计算结果都大于等于0。当两个非负数相加和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足条件。解题时先根据这个性质列方程求出x、y的值，再计算xy的结果，最后根据平方根的定义求出xy的平方根即可，注意平方根有正负两个，不要遗漏负的结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2} ≥ 0$，$|y+8| ≥ 0$，且$\sqrt{x+2} + |y+8| = 0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$x+2=0$，$y+8=0$
解得：$x=-2$，$y=-8$
∴ $xy=(-2) × (-8)=16$
∵ $(\pm4)^2=16$
∴ 16的平方根为$\pm4$，即$xy$的平方根为$\pm4$。
【答案】
±4
【知识点】
非负数的性质，平方根的定义
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数的性质以及平方根的计算，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，仅写出正的结果4，做题时要注意平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.7
9. 若$\sqrt[3]{1.728}=1.2$，则：$\sqrt[3]{1728}=$
12
，$\sqrt[3]{-0.001728}=$-0.12
。答案
9.12 -0.12
解析
【分析】
解题时先观察已知的被开方数1.728和待求的两个被开方数的关系，发现二者仅小数点位置不同，因此联想到立方根的小数点移动规律：被开立方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向相同方向移动1位，同时结合负数的立方根为负数的性质，即可求出结果。
【解析】
已知$\sqrt[3]{1.728}=1.2$：
1. 求$\sqrt[3]{1728}$：1728是将1.728的小数点向右移动3位得到的，根据立方根的小数点移动规律，立方根的小数点应向右移动1位，因此$\sqrt[3]{1728}=1.2×10=12$。
2. 求$\sqrt[3]{-0.001728}$：首先负数的立方根是负数，再看0.001728是将1.728的小数点向左移动3位得到的，因此对应的立方根小数点应向左移动1位，得0.12，加上负号后$\sqrt[3]{-0.001728}=-0.12$。
【答案】
12；-0.12
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方根小数点移动规律
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查立方根相关性质的应用，熟练掌握被开方数与立方根的小数点移动对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知的被开方数1.728和待求的两个被开方数的关系，发现二者仅小数点位置不同，因此联想到立方根的小数点移动规律：被开立方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向相同方向移动1位，同时结合负数的立方根为负数的性质，即可求出结果。
【解析】
已知$\sqrt[3]{1.728}=1.2$：
1. 求$\sqrt[3]{1728}$：1728是将1.728的小数点向右移动3位得到的，根据立方根的小数点移动规律，立方根的小数点应向右移动1位，因此$\sqrt[3]{1728}=1.2×10=12$。
2. 求$\sqrt[3]{-0.001728}$：首先负数的立方根是负数，再看0.001728是将1.728的小数点向左移动3位得到的，因此对应的立方根小数点应向左移动1位，得0.12，加上负号后$\sqrt[3]{-0.001728}=-0.12$。
【答案】
12；-0.12
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方根小数点移动规律
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查立方根相关性质的应用，熟练掌握被开方数与立方根的小数点移动对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 比较大小:(1)$-\sqrt{3}$
＜
$-\sqrt{2}$;(2)6.5 ＜
$3\sqrt{5}$;(3)$\frac{1}{2}$ ＜
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(选填“＞”“＜”或“=”).答案
10.(1)＜ (2)＜ (3)＜
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，可根据不同题型选择对应的比较方法：①两个负数比较大小，先求绝对值，绝对值大的负数反而更小；②正数与带根号的无理数比较，可将两数同时平方，正数平方越大原数越大；③同分母分数比较，可直接比较分子大小，也可通过作差法判断差的正负确定大小关系。
【解析】
(1) 比较$-\sqrt{3}$和$-\sqrt{2}$：
先求绝对值：$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$，$\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$，
因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数更小”，可得$-\sqrt{3}＜-\sqrt{2}$。
(2) 比较$6.5$和$3\sqrt{5}$：
两数均为正数，分别平方得：$6.5^2=42.25$，$(3\sqrt{5})^2=9×5=45$，
因为$42.25＜45$，正数平方越大原数越大，可得$6.5＜3\sqrt{5}$。
(3) 比较$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$：
两数分母相同，比较分子：$\sqrt{5}\approx2.236$，则$\sqrt{5}-1\approx1.236$，
因为$1＜1.236$，同分母分数分子越大分数越大，可得$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1)$＜$；(2)$＜$；(3)$＜$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质；作差法比较大小
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，掌握平方比较法、作差法等常用比较技巧即可快速解题，该类题型是实数章节的核心基础考点，需要熟练运用。
【难度系数】
0.7
本题考查实数的大小比较，可根据不同题型选择对应的比较方法：①两个负数比较大小，先求绝对值，绝对值大的负数反而更小；②正数与带根号的无理数比较，可将两数同时平方，正数平方越大原数越大；③同分母分数比较，可直接比较分子大小，也可通过作差法判断差的正负确定大小关系。
【解析】
(1) 比较$-\sqrt{3}$和$-\sqrt{2}$：
先求绝对值：$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$，$\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$，
因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数更小”，可得$-\sqrt{3}＜-\sqrt{2}$。
(2) 比较$6.5$和$3\sqrt{5}$：
两数均为正数，分别平方得：$6.5^2=42.25$，$(3\sqrt{5})^2=9×5=45$，
因为$42.25＜45$，正数平方越大原数越大，可得$6.5＜3\sqrt{5}$。
(3) 比较$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$：
两数分母相同，比较分子：$\sqrt{5}\approx2.236$，则$\sqrt{5}-1\approx1.236$，
因为$1＜1.236$，同分母分数分子越大分数越大，可得$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1)$＜$；(2)$＜$；(3)$＜$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质；作差法比较大小
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，掌握平方比较法、作差法等常用比较技巧即可快速解题，该类题型是实数章节的核心基础考点，需要熟练运用。
【难度系数】
0.7
11. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt[3]{-27} × \left| -\sqrt{\dfrac{1}{9}} \right|$；
(2) $\sqrt{(3 - π)^2}$；
(3) $\sqrt{1 - \dfrac{16}{25}} + \sqrt[3]{10^3}$；
(4) $2(\sqrt{6} - \sqrt{7}) - |2\sqrt{6} - \sqrt{7}|$。
(1) $\sqrt[3]{-27} × \left| -\sqrt{\dfrac{1}{9}} \right|$；
(2) $\sqrt{(3 - π)^2}$；
(3) $\sqrt{1 - \dfrac{16}{25}} + \sqrt[3]{10^3}$；
(4) $2(\sqrt{6} - \sqrt{7}) - |2\sqrt{6} - \sqrt{7}|$。
答案
11.解:(1)∛(-27)×|-√(1/9)|=-3×|-1/3|=-3×1/3=-1.
(2)√((3-π)²)=|3-π|=π-3.
(3)√(1-16/25)+∛(10³)=√(9/25)+10=3/5+10=53/5.
(4)2(√6-√7)-|2√6-√7|=2√6-2√7-2√6+√7=-√7.
(2)√((3-π)²)=|3-π|=π-3.
(3)√(1-16/25)+∛(10³)=√(9/25)+10=3/5+10=53/5.
(4)2(√6-√7)-|2√6-√7|=2√6-2√7-2√6+√7=-√7.
解析
【分析】
本题是实数的基础运算题，解题思路如下：①先明确核心性质：立方根与被开方数符号一致，算术平方根的结果为非负数，即$\sqrt{a^2}=|a|$；②绝对值化简的核心是先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；③运算顺序为：先算开方、去绝对值，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分。
(1) 先分别计算立方根、算术平方根，再算绝对值，最后计算乘法即可；
(2) 根据算术平方根性质先转化为绝对值形式，再比较3和$π$的大小去绝对值即可；
(3) 先计算根号内的减法，再分别开算术平方根和立方根，最后求和即可；
(4) 先去括号，再判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类二次根式即可。
【解析】
解：
(1) 先计算开方：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，
再计算绝对值：$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$，
最后计算乘法：原式$=-3×\dfrac{1}{3}=-1$；
(2) 根据算术平方根性质得：$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$，
$\because π＞3$，即$3-π＜0$，
$\therefore |3-π|=-(3-π)=π-3$，原式$=π-3$；
(3) 先计算根号内减法：$1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$，
再计算开方：$\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$，$\sqrt[3]{10^3}=10$，
最后求和：原式$=\dfrac{3}{5}+10=\dfrac{53}{5}$；
(4) 先去括号：$2(\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}$，
判断绝对值内式子正负：$2\sqrt{6}=\sqrt{24}＞\sqrt{7}$，即$2\sqrt{6}-\sqrt{7}＞0$，
$\therefore |2\sqrt{6}-\sqrt{7}|=2\sqrt{6}-\sqrt{7}$，
原式$=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-(2\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-2\sqrt{6}+\sqrt{7}=-\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{π - 3}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{53}{5}}$；(4) $\boldsymbol{-\sqrt{7}}$
【知识点】
实数的运算，绝对值的化简，平方根与立方根的性质
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察算术平方根的非负性、绝对值的化简规则以及立方根的性质，解题时需注意去绝对值前要先判断式子的正负，避免符号出错，熟练掌握基础性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是实数的基础运算题，解题思路如下：①先明确核心性质：立方根与被开方数符号一致，算术平方根的结果为非负数，即$\sqrt{a^2}=|a|$；②绝对值化简的核心是先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；③运算顺序为：先算开方、去绝对值，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分。
(1) 先分别计算立方根、算术平方根，再算绝对值，最后计算乘法即可；
(2) 根据算术平方根性质先转化为绝对值形式，再比较3和$π$的大小去绝对值即可；
(3) 先计算根号内的减法，再分别开算术平方根和立方根，最后求和即可；
(4) 先去括号，再判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类二次根式即可。
【解析】
解：
(1) 先计算开方：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，
再计算绝对值：$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$，
最后计算乘法：原式$=-3×\dfrac{1}{3}=-1$；
(2) 根据算术平方根性质得：$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$，
$\because π＞3$，即$3-π＜0$，
$\therefore |3-π|=-(3-π)=π-3$，原式$=π-3$；
(3) 先计算根号内减法：$1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$，
再计算开方：$\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$，$\sqrt[3]{10^3}=10$，
最后求和：原式$=\dfrac{3}{5}+10=\dfrac{53}{5}$；
(4) 先去括号：$2(\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}$，
判断绝对值内式子正负：$2\sqrt{6}=\sqrt{24}＞\sqrt{7}$，即$2\sqrt{6}-\sqrt{7}＞0$，
$\therefore |2\sqrt{6}-\sqrt{7}|=2\sqrt{6}-\sqrt{7}$，
原式$=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-(2\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-2\sqrt{6}+\sqrt{7}=-\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{π - 3}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{53}{5}}$；(4) $\boldsymbol{-\sqrt{7}}$
【知识点】
实数的运算，绝对值的化简，平方根与立方根的性质
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察算术平方根的非负性、绝对值的化简规则以及立方根的性质，解题时需注意去绝对值前要先判断式子的正负，避免符号出错，熟练掌握基础性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 我们都学过唐朝王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远. 若观测点的高度为 $ h $ km，则观测者能看到的最远距离 $ d \approx \sqrt{2hR} $ km（其中 $ R \approx 6400 $ km）.
(1) 当 $ h = 0.02 $ km时，求 $ d $ 的长.
(2) 已知小明站在鹳雀楼上，当 $ h = 0.005 $ km时，小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河吗？
(1) 当 $ h = 0.02 $ km时，求 $ d $ 的长.
(2) 已知小明站在鹳雀楼上，当 $ h = 0.005 $ km时，小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河吗？
答案
12.解:(1)d≈√(2hR)=√(2×0.02×6400)=16(km).
(2)能看到,理由如下:
d≈√(2hR)=√(2×0.005×6400)=8(km).
∵8＞1.2,
∴小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.
(2)能看到,理由如下:
d≈√(2hR)=√(2×0.005×6400)=8(km).
∵8＞1.2,
∴小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.
解析
【分析】
本题给出了观测最远距离的计算公式，解题核心是代入对应数值计算后按要求分析。第(1)问直接将已知的h和R的数值代入公式，计算算术平方根即可得到d的值；第(2)问先代入h的数值算出当前能看到的最远距离，再和1.2km比较大小，若计算出的最远距离大于1.2km就能看到黄河，反之则不能。
【解析】
(1) 把$h=0.02$km，$R\approx6400$km代入公式$d \approx \sqrt{2hR}$，得：
$d\approx\sqrt{2×0.02×6400}=\sqrt{256}=16(\mathrm{km})$
(2) 先计算$h=0.005$km时的最远距离：
$d\approx\sqrt{2×0.005×6400}=\sqrt{64}=8(\mathrm{km})$
$\because8＞1.2$，
$\therefore$小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16\ \mathrm{km}}$；(2) $\boldsymbol{能看到}$
【知识点】
代数式求值；算术平方根计算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗文情景考查代数公式的实际应用，侧重基础运算能力的考查，只要准确代入数值、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题给出了观测最远距离的计算公式，解题核心是代入对应数值计算后按要求分析。第(1)问直接将已知的h和R的数值代入公式，计算算术平方根即可得到d的值；第(2)问先代入h的数值算出当前能看到的最远距离，再和1.2km比较大小，若计算出的最远距离大于1.2km就能看到黄河，反之则不能。
【解析】
(1) 把$h=0.02$km，$R\approx6400$km代入公式$d \approx \sqrt{2hR}$，得：
$d\approx\sqrt{2×0.02×6400}=\sqrt{256}=16(\mathrm{km})$
(2) 先计算$h=0.005$km时的最远距离：
$d\approx\sqrt{2×0.005×6400}=\sqrt{64}=8(\mathrm{km})$
$\because8＞1.2$，
$\therefore$小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16\ \mathrm{km}}$；(2) $\boldsymbol{能看到}$
【知识点】
代数式求值；算术平方根计算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗文情景考查代数公式的实际应用，侧重基础运算能力的考查，只要准确代入数值、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
