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1. 下列语句正确的是（
A.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行
B.同一平面内，若三条直线只有两个交点，则这三条直线中必有两条直线互相平行
C.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行
D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B
）A.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行
B.同一平面内，若三条直线只有两个交点，则这三条直线中必有两条直线互相平行
C.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行
D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道平行线相关的几何概念辨析题，解题时不需要复杂计算，核心思路是逐个核对每个选项的命题是否完全符合对应几何定理、公理的全部限定条件，对错误选项可以通过举反例的方式快速排除，最终锁定正确结论。判断时要重点核查这类命题容易遗漏的“同一平面内”“直线外一点”等前置条件是否齐全。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 分析选项A：命题没有给出“在同一平面内”的前提，在三维空间中，两条直线都垂直于第三条直线时，二者可能相交、异面，并不一定平行，例如墙角处交于一点的三条直线，就满足两条都垂直于第三条，但并不平行，因此A错误。
2. 分析选项B：同一平面内，如果三条直线两两都不平行，那么三条直线最多会产生3个交点，现在三条直线只有2个交点，说明其中有两条直线没有交点，也就是这两条直线互相平行，该命题成立，因此B正确。
3. 分析选项C：根据平行线的判定定理，两条直线被第三条所截，只有同旁内角互补时才能推出两直线平行，同旁内角相等无法直接判定平行，因此C错误。
4. 分析选项D：命题没有限定点的位置，如果该点在已知直线上，是无法作出和已知直线平行的直线的，正确表述是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线判定；平行公理；两直线位置关系
【点评】
本题属于几何概念的易错题，很多同学记忆定理时只记后半段结论，忽略了“同一平面内”“直线外一点”这类关键的前置限定条件，很容易误选A、D选项，平时学习几何公理定理时要完整记忆表述，养成通过举反例验证命题对错的习惯。
【难度系数】
0.6
这是一道平行线相关的几何概念辨析题，解题时不需要复杂计算，核心思路是逐个核对每个选项的命题是否完全符合对应几何定理、公理的全部限定条件，对错误选项可以通过举反例的方式快速排除，最终锁定正确结论。判断时要重点核查这类命题容易遗漏的“同一平面内”“直线外一点”等前置条件是否齐全。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 分析选项A：命题没有给出“在同一平面内”的前提，在三维空间中，两条直线都垂直于第三条直线时，二者可能相交、异面，并不一定平行，例如墙角处交于一点的三条直线，就满足两条都垂直于第三条，但并不平行，因此A错误。
2. 分析选项B：同一平面内，如果三条直线两两都不平行，那么三条直线最多会产生3个交点，现在三条直线只有2个交点，说明其中有两条直线没有交点，也就是这两条直线互相平行，该命题成立，因此B正确。
3. 分析选项C：根据平行线的判定定理，两条直线被第三条所截，只有同旁内角互补时才能推出两直线平行，同旁内角相等无法直接判定平行，因此C错误。
4. 分析选项D：命题没有限定点的位置，如果该点在已知直线上，是无法作出和已知直线平行的直线的，正确表述是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线判定；平行公理；两直线位置关系
【点评】
本题属于几何概念的易错题，很多同学记忆定理时只记后半段结论，忽略了“同一平面内”“直线外一点”这类关键的前置限定条件，很容易误选A、D选项，平时学习几何公理定理时要完整记忆表述，养成通过举反例验证命题对错的习惯。
【难度系数】
0.6
2. 如图,平行于主光轴$PQ$的光线$AB$和$CD$经过凸透镜折射后,折射光线$BE,DF$ 交于主光轴上一点$G$. 若$∠ ABE=140°,∠ CDF=160°$,则$∠ BGD$的度数是（
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
A
）A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
答案
2. A 提示:由题意可知,$AB// PQ// CD$,所以$∠ ABE+∠ BGP=180°$. 因为$∠ ABE=140°$,所以$∠ BGP=180°-140°=40°$. 因为 $PQ// CD$,所以$∠ PGD+∠ CDF=180°$. 因为$∠ CDF=160°$,所以$∠ PGD=180°-160°=20°$,所以$∠ BGD=∠ BGP+∠ PGD=40°+20°=60°$.
解析
【分析】
这道题核心是利用平行线的性质求解角度，从题干条件可知AB、CD都平行于主光轴PQ，因此AB、PQ、CD三条线两两平行。我们可以依托“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别算出折射光线和主光轴PQ形成的两个夹角∠BGP、∠DGP的度数，再将这两个角相加，就能得到所求的∠BGD的度数，全程不需要额外画辅助线，依托平行线基础性质即可完成推导。
【解析】
解：由题意可得：$AB// PQ$，$CD// PQ$，因此$AB// PQ// CD$。
1. 因为$AB// PQ$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ ABE + ∠ BGP = 180°$
代入已知$∠ ABE=140°$，计算得：
$∠ BGP = 180° - 140° = 40°$
2. 因为$CD// PQ$，同理根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ CDF + ∠ DGP = 180°$
代入已知$∠ CDF=160°$，计算得：
$∠ DGP = 180° - 160° = 20°$
3. 由图可知$∠ BGD = ∠ BGP + ∠ DGP$，代入两个角的度数可得：
$∠ BGD = 40° + 20° = 60°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角度和差运算
【点评】
本题以凸透镜的光学特性为背景，将数学平行线知识点和物理基础光学概念做了小综合，解题的关键是准确识别出三条平行直线，灵活运用同旁内角互补的性质拆分所求角度，整体难度不大，能够帮助学生巩固平行线性质的应用，锻炼跨场景提取几何条件的能力。
【难度系数】
0.7
这道题核心是利用平行线的性质求解角度，从题干条件可知AB、CD都平行于主光轴PQ，因此AB、PQ、CD三条线两两平行。我们可以依托“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别算出折射光线和主光轴PQ形成的两个夹角∠BGP、∠DGP的度数，再将这两个角相加，就能得到所求的∠BGD的度数，全程不需要额外画辅助线，依托平行线基础性质即可完成推导。
【解析】
解：由题意可得：$AB// PQ$，$CD// PQ$，因此$AB// PQ// CD$。
1. 因为$AB// PQ$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ ABE + ∠ BGP = 180°$
代入已知$∠ ABE=140°$，计算得：
$∠ BGP = 180° - 140° = 40°$
2. 因为$CD// PQ$，同理根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ CDF + ∠ DGP = 180°$
代入已知$∠ CDF=160°$，计算得：
$∠ DGP = 180° - 160° = 20°$
3. 由图可知$∠ BGD = ∠ BGP + ∠ DGP$，代入两个角的度数可得：
$∠ BGD = 40° + 20° = 60°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角度和差运算
【点评】
本题以凸透镜的光学特性为背景，将数学平行线知识点和物理基础光学概念做了小综合，解题的关键是准确识别出三条平行直线，灵活运用同旁内角互补的性质拆分所求角度，整体难度不大，能够帮助学生巩固平行线性质的应用，锻炼跨场景提取几何条件的能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$MN // PQ$，点$B$在$MN$上，点$C$在$PQ$上，点$A$在$MN$上方，点$E$在$BD$的反向延长线上，且$∠ ABD: ∠ DBN = 3:2$，$∠ ACE: ∠ ECP = 3:2$，设$∠ A = α$，则$∠ E$的度数用含$α$的式子一定可以表示为（
A.$2α$
B.$72° + \dfrac{2}{5}α$
C.$108° - \dfrac{3}{5}α$
D.$90° - α$
B
）A.$2α$
B.$72° + \dfrac{2}{5}α$
C.$108° - \dfrac{3}{5}α$
D.$90° - α$
答案
3. B 提示:如图,过点 A 作 $AG// MN$,过点 E 作 $EH// MN$. 因为 $MN// PQ$,所以 $MN// PQ// AG// EH$. 因为$∠ ABD:∠ DBN=3:2$,$∠ ACE:∠ ECP=3:2$,所以设$∠ ABD=3x$,$∠ ACE=3y$,则$∠ DBN=2x$,$∠ ECP=2y$. 因为 $MN// PQ// AG// EH$,所以$∠ BEH=∠ DBN=2x$,$∠ HEC=∠ ECP=2y$,$∠ GAB=180°-(∠ DBN+∠ ABD)=180°-5x$,$∠ GAC=∠ ACP=∠ ACE+∠ ECP=5y$,所以$∠ DEC=∠ BEH+∠ HEC=2(x+y)$,$∠ CAB=∠ GAC-∠ GAB=5(x+y)-180°=α$,所以 $x+y=\dfrac{180°+α}{5}=36°+\dfrac{1}{5}α$,所以$∠ DEC=2(x+y)=72°+\dfrac{2}{5}α$.
解析
【分析】
这是一道平行线间的多拐点几何题，解题思路如下：
1. 已知MN平行PQ，点A、E都是不在两条平行线上的拐点，这类问题的常规解法是过拐点作平行于已知直线的辅助线，利用平行线的传递性得到多线平行，方便拆分角度推导关系。
2. 题目给出两组角的比值均为3:2，我们可以按比例设未知数，将成比例的角分别用含x、y的代数式表示，简化后续计算。
3. 利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，分别把∠A=α和∠E转化为用x、y表示的式子，找到x+y和α的等量关系，通过整体代换消去x、y，就能得到∠E关于α的表达式。
【解析】
解：过点A作AG//MN，过点E作EH//MN，
∵ MN//PQ，
∴ 由平行线的传递性可得：MN//PQ//AG//EH。
由∠ABD:∠DBN=3:2，∠ACE:∠ECP=3:2，设∠ABD=3x，∠ACE=3y，
则∠DBN=2x，∠ECP=2y。
根据平行线的性质：
∵ EH//MN，
∴ ∠BEH=∠DBN=2x（两直线平行，内错角相等），
∵ EH//PQ，
∴ ∠HEC=∠ECP=2y（两直线平行，内错角相等），
因此∠E=∠BEH+∠HEC=2x+2y=2(x+y)。
再推导∠A的表达式：
∵ AG//MN，
∴ ∠GAB + ∠ABM = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠ABM = 180° - (∠ABD+∠DBN) = 180° - 5x，
∴ ∠GAB = 180° - 5x。
∵ AG//PQ，
∴ ∠GAC = ∠ACQ（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠ACQ = ∠ACE + ∠ECP = 5y，
∴ ∠GAC = 5y。
已知∠A=α=∠GAC - ∠GAB，代入得：
α = 5y - (180° - 5x) = 5(x+y) - 180°
整理得：x+y = (180°+α)/5 = 36° + 1/5 α
将x+y代入∠E的表达式：
∠E = 2(x+y) = 2×(36° + 1/5 α) = 72° + 2/5 α。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质，拐点辅助线，整体代换
【点评】
本题是平行线综合的典型题型，核心考点是多拐点问题的辅助线构造技巧，通过比例设元将几何角度关系转化为代数关系，利用整体代换消去参数快速得到结果，不需要单独求解x、y的具体值，易错点是推导∠A时混淆同旁内角、内错角的角度关系。
【难度系数】
0.4
这是一道平行线间的多拐点几何题，解题思路如下：
1. 已知MN平行PQ，点A、E都是不在两条平行线上的拐点，这类问题的常规解法是过拐点作平行于已知直线的辅助线，利用平行线的传递性得到多线平行，方便拆分角度推导关系。
2. 题目给出两组角的比值均为3:2，我们可以按比例设未知数，将成比例的角分别用含x、y的代数式表示，简化后续计算。
3. 利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，分别把∠A=α和∠E转化为用x、y表示的式子，找到x+y和α的等量关系，通过整体代换消去x、y，就能得到∠E关于α的表达式。
【解析】
解：过点A作AG//MN，过点E作EH//MN，
∵ MN//PQ，
∴ 由平行线的传递性可得：MN//PQ//AG//EH。
由∠ABD:∠DBN=3:2，∠ACE:∠ECP=3:2，设∠ABD=3x，∠ACE=3y，
则∠DBN=2x，∠ECP=2y。
根据平行线的性质：
∵ EH//MN，
∴ ∠BEH=∠DBN=2x（两直线平行，内错角相等），
∵ EH//PQ，
∴ ∠HEC=∠ECP=2y（两直线平行，内错角相等），
因此∠E=∠BEH+∠HEC=2x+2y=2(x+y)。
再推导∠A的表达式：
∵ AG//MN，
∴ ∠GAB + ∠ABM = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠ABM = 180° - (∠ABD+∠DBN) = 180° - 5x，
∴ ∠GAB = 180° - 5x。
∵ AG//PQ，
∴ ∠GAC = ∠ACQ（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠ACQ = ∠ACE + ∠ECP = 5y，
∴ ∠GAC = 5y。
已知∠A=α=∠GAC - ∠GAB，代入得：
α = 5y - (180° - 5x) = 5(x+y) - 180°
整理得：x+y = (180°+α)/5 = 36° + 1/5 α
将x+y代入∠E的表达式：
∠E = 2(x+y) = 2×(36° + 1/5 α) = 72° + 2/5 α。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质，拐点辅助线，整体代换
【点评】
本题是平行线综合的典型题型，核心考点是多拐点问题的辅助线构造技巧，通过比例设元将几何角度关系转化为代数关系，利用整体代换消去参数快速得到结果，不需要单独求解x、y的具体值，易错点是推导∠A时混淆同旁内角、内错角的角度关系。
【难度系数】
0.4
4. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的$∠ A$是$120°$,第二次拐的$∠ B$是$150°$,第三次拐的是$∠ C$,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么$∠ C$的大小是（
A.$150°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$120°$
A
）A.$150°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$120°$
答案
4. A 提示:过点 B 作 $BE// AM$(点 E 在点 B 上方). 因为 $AM// CN$,所以 $AM// BE// CN$,所以 $∠ A=∠ ABE$,$∠ EBC+∠ C=180°$. 因为 $∠ A=120°$,所以 $∠ ABE=120°$. 因为 $∠ ABC=150°$,所以 $∠ EBC=∠ ABC-∠ ABE=150°-120°=30°$,所以 $∠ C=180°-30°=150°$.
解析
【分析】
这道题属于平行线折线拐角类问题，解题的核心思路是通过构造辅助线把分散的角关联起来：首先明确已知条件是最终道路CN和初始道路AM平行，已知∠A=120°，∠ABC=150°，求∠C。我们可以过拐点B作平行于AM的辅助线BE，根据平行的传递性，就能得到AM//BE//CN，这样就可以把∠ABC拆成∠ABE和∠EBC两部分：第一部分利用两直线平行内错角相等，得到∠ABE=∠A=120°，算出∠EBC的度数；第二部分利用两直线平行同旁内角互补，得到∠EBC和∠C的和为180°，代入数值就能求出∠C的大小。
【解析】
解：过点B作BE//AM，点E位于点B的上方。
∵ 第三次拐弯后道路CN与第一次拐弯前的道路AM平行，即AM//CN，
∴ 根据平行公理的推论，可得AM//BE//CN。
由两直线平行，内错角相等，得∠A = ∠ABE，
已知∠A=120°，因此∠ABE=120°。
又
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 150° - 120° = 30°。
由两直线平行，同旁内角互补，得∠EBC + ∠C = 180°，
因此∠C = 180° - ∠EBC = 180° - 30° = 150°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐角问题的经典基础题型，重点考察学生对平行线性质的掌握和拐点辅助线的构造能力，通过过折线的拐点作已知平行线的平行线，将复杂的折线问题拆解为两组平行线的基础性质应用，是解决这类多拐点平行问题的通用思路。
【难度系数】
0.7
这道题属于平行线折线拐角类问题，解题的核心思路是通过构造辅助线把分散的角关联起来：首先明确已知条件是最终道路CN和初始道路AM平行，已知∠A=120°，∠ABC=150°，求∠C。我们可以过拐点B作平行于AM的辅助线BE，根据平行的传递性，就能得到AM//BE//CN，这样就可以把∠ABC拆成∠ABE和∠EBC两部分：第一部分利用两直线平行内错角相等，得到∠ABE=∠A=120°，算出∠EBC的度数；第二部分利用两直线平行同旁内角互补，得到∠EBC和∠C的和为180°，代入数值就能求出∠C的大小。
【解析】
解：过点B作BE//AM，点E位于点B的上方。
∵ 第三次拐弯后道路CN与第一次拐弯前的道路AM平行，即AM//CN，
∴ 根据平行公理的推论，可得AM//BE//CN。
由两直线平行，内错角相等，得∠A = ∠ABE，
已知∠A=120°，因此∠ABE=120°。
又
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 150° - 120° = 30°。
由两直线平行，同旁内角互补，得∠EBC + ∠C = 180°，
因此∠C = 180° - ∠EBC = 180° - 30° = 150°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐角问题的经典基础题型，重点考察学生对平行线性质的掌握和拐点辅助线的构造能力，通过过折线的拐点作已知平行线的平行线，将复杂的折线问题拆解为两组平行线的基础性质应用，是解决这类多拐点平行问题的通用思路。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$AB ⊥ BC$ 于点 $B$，$DC ⊥ BC$ 于点 $C$，$DE$ 平分$∠ ADC$，交 $BC$ 于点 $E$，$F$ 为线段$CD$ 延长线上一点，$∠ BAF = ∠ EDF$，现有下列结论：①$∠ BAD + ∠ ADC = 180°$；②$AF// DE$；③$∠ DAF = ∠ F$；④若 $CD = DF$，则 $DE = AF$。其中正确的是
①②③
（填序号）。答案
5. ①②③ 提示:因为 $AB⊥ BC$ 于点 B,$DC⊥ BC$ 于点 C,所以 $AB// CD$,所以 $∠ BAD+∠ ADC=180°$,故①正确;因为 $AB// CD$,所以 $∠ AFD+∠ BAF=180°$,因为 $∠ BAF=∠ EDF$,所以 $∠ AFD+∠ EDF=180°$,所以 $AF// DE$,故②正确;可知 $∠ DAF=∠ ADE$,$∠ F=∠ CDE$,因为 DE 平分$∠ ADC$ 交 BC 于点 E,所以 $∠ ADE=∠ CDE$,所以 $∠ DAF=∠ F$,故③正确;由 $CD=DF$ 无法得出 $DE=AF$,故④不正确.
解析
【分析】
我们可以逐个推导验证四个结论：第一步先从已知的AB⊥BC、DC⊥BC入手，根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得到AB//CD，直接就能推出同旁内角∠BAD和∠ADC互补，验证结论①；第二步利用AB//CD得到∠BAF与∠F互补，结合题目给出的∠BAF=∠EDF，等量代换后得到∠EDF与∠F互补，就能推出AF//DE，验证结论②；第三步利用已经得到的AF//DE，得到两组内错角相等，再结合DE是∠ADC的角平分线，进行角的等量代换，即可推出∠DAF=∠F，验证结论③；最后分析结论④，CD=DF的条件下，没有足够的全等或者中位线的条件支撑DE=AF，因此④不成立。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ ∠B=∠C=90°，
∴ AB//DC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ AB//CF（F在CD延长线上），
∴ ∠BAF + ∠F = 180°，
又
∵ ∠BAF = ∠EDF，
∴ ∠EDF + ∠F = 180°，
∴ AF//DE（同旁内角互补，两直线平行），故②正确。
3. 验证结论③：
∵ AF//DE，
∴ ∠DAF = ∠ADE，∠F = ∠CDE，
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠CDE，
∴ ∠DAF = ∠F，故③正确。
4. 验证结论④：
仅由CD=DF，结合AF//DE，无法推出DE和AF所在的三角形全等，也没有条件说明E是对应边的中点，不能得到DE=AF，故④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线定义
【点评】
本题属于平行线章节的综合判断题，核心是利用垂直条件先得到基础的平行关系，再通过角的等量代换逐步推导后续的平行和角相等结论，判断边相等时需要注意必须有全等或者中位线等严谨条件支撑，不能主观臆断。
【难度系数】
0.6
我们可以逐个推导验证四个结论：第一步先从已知的AB⊥BC、DC⊥BC入手，根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得到AB//CD，直接就能推出同旁内角∠BAD和∠ADC互补，验证结论①；第二步利用AB//CD得到∠BAF与∠F互补，结合题目给出的∠BAF=∠EDF，等量代换后得到∠EDF与∠F互补，就能推出AF//DE，验证结论②；第三步利用已经得到的AF//DE，得到两组内错角相等，再结合DE是∠ADC的角平分线，进行角的等量代换，即可推出∠DAF=∠F，验证结论③；最后分析结论④，CD=DF的条件下，没有足够的全等或者中位线的条件支撑DE=AF，因此④不成立。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ ∠B=∠C=90°，
∴ AB//DC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ AB//CF（F在CD延长线上），
∴ ∠BAF + ∠F = 180°，
又
∵ ∠BAF = ∠EDF，
∴ ∠EDF + ∠F = 180°，
∴ AF//DE（同旁内角互补，两直线平行），故②正确。
3. 验证结论③：
∵ AF//DE，
∴ ∠DAF = ∠ADE，∠F = ∠CDE，
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠CDE，
∴ ∠DAF = ∠F，故③正确。
4. 验证结论④：
仅由CD=DF，结合AF//DE，无法推出DE和AF所在的三角形全等，也没有条件说明E是对应边的中点，不能得到DE=AF，故④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线定义
【点评】
本题属于平行线章节的综合判断题，核心是利用垂直条件先得到基础的平行关系，再通过角的等量代换逐步推导后续的平行和角相等结论，判断边相等时需要注意必须有全等或者中位线等严谨条件支撑，不能主观臆断。
【难度系数】
0.6
6. 如图,已知$AB// CD$,$∠ EAF=\dfrac{1}{3}∠ BAF$,
$∠ ECF=\dfrac{1}{3}∠ DCF$,记$∠ AEC=m∠ AFC$,
则$m=$
$∠ ECF=\dfrac{1}{3}∠ DCF$,记$∠ AEC=m∠ AFC$,
则$m=$
$\dfrac{4}{3}$
.答案
6. $\dfrac{4}{3}$ 提示:分别过点 E,F 作直线 $EM// AB$,$FN// AB$(点 M,N 均在点 E 左侧). 因为 $AB// CD$,所以 $AB// EM// FN// CD$. 因为 $∠ EAF=\dfrac{1}{3}∠ BAF$,$∠ ECF=\dfrac{1}{3}∠ DCF$,所以 $∠ AEC=4∠ EAF+4∠ ECF$,$∠ AFC=3∠ EAF+3∠ ECF$. 因为 $∠ AEC=m∠ AFC$,所以 $m=\dfrac{∠ AEC}{∠ AFC}=\dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
这道题是平行线间折线角度计算的典型题型，解题思路如下：1. 看到AB平行CD且存在E、F两个拐点，首先想到常规辅助线作法：分别过两个拐点作平行于AB的直线，利用平行公理推论得到多条平行线互相平行；2. 借助两直线平行内错角相等的性质，把∠AEC转化为∠BAE与∠DCE的和，把∠AFC转化为∠BAF与∠DCF的和；3. 结合题目给出的1/3的角度比例关系，将∠BAE、∠DCE都用∠EAF、∠ECF表示，进而把∠AEC和∠AFC整理为同一个整体的倍数形式，最后通过比值计算得到m的值，全程不需要计算单个角的具体度数，用整体代换即可求解。
【解析】
1. 作辅助线：分别过点E作$EM// AB$，过点F作$FN// AB$，
已知$AB// CD$，根据平行于同一条直线的多条直线互相平行，可得：$AB// EM// FN// CD$。
2. 利用平行线性质拆分角度：
根据两直线平行，内错角相等：
$∠ BAE = ∠ AEM$，$∠ DCE = ∠ CEM$，
因此$∠ AEC = ∠ AEM + ∠ CEM = ∠ BAE + ∠ DCE$；
同理可得：$∠ BAF = ∠ AFN$，$∠ DCF = ∠ CFN$，
因此$∠ AFC = ∠ AFN + ∠ CFN = ∠ BAF + ∠ DCF$。
3. 结合已知比例关系代换：
由$∠ EAF = \dfrac{1}{3}∠ BAF$，可得$∠ BAF = 3∠ EAF$，因此$∠ BAE = ∠ BAF + ∠ EAF = 3∠ EAF + ∠ EAF = 4∠ EAF$；
由$∠ ECF = \dfrac{1}{3}∠ DCF$，可得$∠ DCF = 3∠ ECF$，因此$∠ DCE = ∠ DCF + ∠ ECF = 3∠ ECF + ∠ ECF = 4∠ ECF$。
将上述结果代入角度和表达式：
$∠ AEC = 4∠ EAF + 4∠ ECF = 4(∠ EAF + ∠ ECF)$，
$∠ AFC = 3∠ EAF + 3∠ ECF = 3(∠ EAF + ∠ ECF)$。
4. 计算比值：
已知$∠ AEC = m∠ AFC$，因此：
$m = \dfrac{∠ AEC}{∠ AFC} = \dfrac{4(∠ EAF + ∠ ECF)}{3(∠ EAF + ∠ ECF)} = \dfrac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，整体代换思想
【点评】
本题属于平行线章节的中档题型，核心考察平行线间折线问题的辅助线构造方法，通过作平行线将分散的角进行等价转化，不需要计算单个角的具体数值，利用整体代换即可快速求出比值，能有效锻炼学生的转化思维和代换能力。
【难度系数】
0.6
这道题是平行线间折线角度计算的典型题型，解题思路如下：1. 看到AB平行CD且存在E、F两个拐点，首先想到常规辅助线作法：分别过两个拐点作平行于AB的直线，利用平行公理推论得到多条平行线互相平行；2. 借助两直线平行内错角相等的性质，把∠AEC转化为∠BAE与∠DCE的和，把∠AFC转化为∠BAF与∠DCF的和；3. 结合题目给出的1/3的角度比例关系，将∠BAE、∠DCE都用∠EAF、∠ECF表示，进而把∠AEC和∠AFC整理为同一个整体的倍数形式，最后通过比值计算得到m的值，全程不需要计算单个角的具体度数，用整体代换即可求解。
【解析】
1. 作辅助线：分别过点E作$EM// AB$，过点F作$FN// AB$，
已知$AB// CD$，根据平行于同一条直线的多条直线互相平行，可得：$AB// EM// FN// CD$。
2. 利用平行线性质拆分角度：
根据两直线平行，内错角相等：
$∠ BAE = ∠ AEM$，$∠ DCE = ∠ CEM$，
因此$∠ AEC = ∠ AEM + ∠ CEM = ∠ BAE + ∠ DCE$；
同理可得：$∠ BAF = ∠ AFN$，$∠ DCF = ∠ CFN$，
因此$∠ AFC = ∠ AFN + ∠ CFN = ∠ BAF + ∠ DCF$。
3. 结合已知比例关系代换：
由$∠ EAF = \dfrac{1}{3}∠ BAF$，可得$∠ BAF = 3∠ EAF$，因此$∠ BAE = ∠ BAF + ∠ EAF = 3∠ EAF + ∠ EAF = 4∠ EAF$；
由$∠ ECF = \dfrac{1}{3}∠ DCF$，可得$∠ DCF = 3∠ ECF$，因此$∠ DCE = ∠ DCF + ∠ ECF = 3∠ ECF + ∠ ECF = 4∠ ECF$。
将上述结果代入角度和表达式：
$∠ AEC = 4∠ EAF + 4∠ ECF = 4(∠ EAF + ∠ ECF)$，
$∠ AFC = 3∠ EAF + 3∠ ECF = 3(∠ EAF + ∠ ECF)$。
4. 计算比值：
已知$∠ AEC = m∠ AFC$，因此：
$m = \dfrac{∠ AEC}{∠ AFC} = \dfrac{4(∠ EAF + ∠ ECF)}{3(∠ EAF + ∠ ECF)} = \dfrac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，整体代换思想
【点评】
本题属于平行线章节的中档题型，核心考察平行线间折线问题的辅助线构造方法，通过作平行线将分散的角进行等价转化，不需要计算单个角的具体数值，利用整体代换即可快速求出比值，能有效锻炼学生的转化思维和代换能力。
【难度系数】
0.6
7. 已知$∠ A$与$∠ B$的两边分别平行，其中$∠ A$为$x°$，$∠ B$为$(210-2x)°$，则$∠ A=$
$70°$或$30°$
。答案
7. $70°$或$30°$ 提示:①如图 1,因为 $AD// BE$,所以 $∠ A=∠ CGE$. 因为 $AC// BF$,所以 $∠ CGE=∠ B$,所以 $∠ A=∠ B$,所以 $x=210-2x$,解得 $x=70$,此时 $∠ A=70°$. ②如图 2,因为 $AD// BE$,所以 $∠ B=∠ AGB$. 因为 $BF// AC$,所以 $∠ A+∠ AGB=180°$,所以 $∠ A+∠ B=180°$,所以 $x+210-2x=180$,解得 $x=30$,此时 $∠ A=30°$. 综上所述,$∠ A=70°$或$30°$.
解析
【分析】
这道题的核心突破口是“两个角的两边分别平行”的性质，首先要明确：满足两边分别平行的两个角，一共存在两种位置关系，对应要么两角相等，要么两角互补（和为180°）。我们只需要分这两类情况，分别列出关于x的一元一次方程，求解后验证角度在0°~180°的合理范围内，就能得到全部符合条件的∠A的度数，避免漏解。
【解析】
已知∠A与∠B的两边分别平行，分两种情况讨论：
1. 当两角的边方向对应相同时，∠A=∠B
代入角度表达式列方程：
$$x = 210 - 2x$ 移项合并得$3x=210$，解得$x=70$，此时∠A=70°，∠B=70°，符合角度定义，成立。2. 当两角的边方向对应相反时，∠A+∠B=180° 代入角度表达式列方程： $$x + 210 - 2x = 180$
合并同类项得$-x=-30$，解得$x=30$，此时∠A=30°，∠B=150°，两角和为180°，符合角度定义，成立。
综上两种情况，得到∠A的所有合法取值。
【答案】
$70°$或$30°$
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，很多同学只会默认两边平行的两角相等，直接得到一个70°的结果，漏掉两角互补的情况导致漏解。解题时要牢记“两边分别平行的两角相等或互补”的结论，主动分情况验证，才能得到全部正确结果。
【难度系数】
0.6
这道题的核心突破口是“两个角的两边分别平行”的性质，首先要明确：满足两边分别平行的两个角，一共存在两种位置关系，对应要么两角相等，要么两角互补（和为180°）。我们只需要分这两类情况，分别列出关于x的一元一次方程，求解后验证角度在0°~180°的合理范围内，就能得到全部符合条件的∠A的度数，避免漏解。
【解析】
已知∠A与∠B的两边分别平行，分两种情况讨论：
1. 当两角的边方向对应相同时，∠A=∠B
代入角度表达式列方程：
$$x = 210 - 2x$ 移项合并得$3x=210$，解得$x=70$，此时∠A=70°，∠B=70°，符合角度定义，成立。2. 当两角的边方向对应相反时，∠A+∠B=180° 代入角度表达式列方程： $$x + 210 - 2x = 180$
合并同类项得$-x=-30$，解得$x=30$，此时∠A=30°，∠B=150°，两角和为180°，符合角度定义，成立。
综上两种情况，得到∠A的所有合法取值。
【答案】
$70°$或$30°$
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，很多同学只会默认两边平行的两角相等，直接得到一个70°的结果，漏掉两角互补的情况导致漏解。解题时要牢记“两边分别平行的两角相等或互补”的结论，主动分情况验证，才能得到全部正确结果。
【难度系数】
0.6
8. 已知直线 $AB// CD$,E 为平面内一点,点 P,Q 分别在直线 AB,CD 上,连接 PE,EQ.
(1) 如图 1,若点 E 在直线 AB,CD 之间,试说明 $∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE.$
(2) 如图 2,若点 E 在直线 AB,CD 之间,PF 平分$∠ APE$,QF 平分$∠ CQE$,当$∠ PEQ=100°$时,求$∠ PFQ$的度数.
(3) 如图 3,若点 E 在直线 AB 的上方,QF 平分$∠ CQE$,PH 平分$∠ APE$,PH 的反向延长线交 QF 于点 F,当$∠ PEQ=50°$时,求$∠ PFQ$的度数.
(1) 如图 1,若点 E 在直线 AB,CD 之间,试说明 $∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE.$
(2) 如图 2,若点 E 在直线 AB,CD 之间,PF 平分$∠ APE$,QF 平分$∠ CQE$,当$∠ PEQ=100°$时,求$∠ PFQ$的度数.
(3) 如图 3,若点 E 在直线 AB 的上方,QF 平分$∠ CQE$,PH 平分$∠ APE$,PH 的反向延长线交 QF 于点 F,当$∠ PEQ=50°$时,求$∠ PFQ$的度数.
答案
8. 解:(1) 如图 1,过点 E 作 $EF// AB$,则$∠ BPE=∠ PEF$. 因为 $EF// AB$,$AB// CD$,所以 $EF// CD$,所以 $∠ DQE=∠ QEF$. 因为 $∠ PEQ=∠ PEF+∠ QEF$,所以 $∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE$.
(2) 如图 2,过点 F 作 $FG// AB$,同(1)可得,$∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE=100°$. 因为 $∠ APE=180°-∠ BPE$,$∠ EQC=180°-∠ DQE$,所以 $∠ APE+∠ EQC=360°-(∠ BPE+∠ DQE)=260°$. 由题意可得$∠ APF=\dfrac{1}{2}∠ APE$,$∠ CQF=\dfrac{1}{2}∠ EQC$,所以 $∠ APF+∠ CQF=\dfrac{1}{2}(∠ APE+∠ EQC)=130°$,同(1)可得,$∠ PFQ=∠ APF+∠ CQF=130°$.
(3) 如图 3,过点 E 向左侧作 $EG// AB$,则$∠ PEQ=∠ GEQ-∠ GEP=50°$. 因为 $EG// AB$,所以 $∠ GEP=∠ EPB$. 因为 $AB// CD$,所以 $GE// CD$,所以 $∠ GEQ=∠ DQE$,所以 $∠ DQE-∠ EPB=50°$. 由题意,得$∠ BPF=∠ APH=∠ EPH=\dfrac{1}{2}∠ APE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ EPB)=90°-\dfrac{1}{2}∠ EPB$,所以 $∠ APF=180°-∠ BPF=180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ EPB)=90°+\dfrac{1}{2}∠ EPB$. 因为 $∠ CQF=∠ EQF=\dfrac{1}{2}∠ CQE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ DQE)=90°-\dfrac{1}{2}∠ DQE$. 由(1)得,$∠ PFQ=∠ APF+∠ CQF=90°+\dfrac{1}{2}∠ EPB+90°-\dfrac{1}{2}∠ DQE=180°-\dfrac{1}{2}(∠ DQE-∠ EPB)=180°-\dfrac{1}{2}×50°=155°$.
解析
【分析】
这道题属于平行线中的拐点类问题，核心解题思路是通过过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质实现角的转化：
1. 第(1)问要证明∠PEQ等于两个角的和，直接过点E作平行于AB的辅助线，将∠PEQ拆分为两个角，分别对应等于∠BPE和∠DQE，即可完成证明。
2. 第(2)问先沿用第(1)问的结论得到∠BPE+∠DQE的度数，再结合邻补角性质算出∠APE与∠CQE的总和，利用角平分线的定义得到两个平分后角的和，最后再过点F作平行线，套用第(1)问的模型直接得到∠PFQ的度数。
3. 第(3)问点E在AB上方，先过E作平行线推导出∠DQE与∠EPB的差值为50°，再结合角平分线定义将∠APF、∠CQF用∠EPB、∠DQE表示，代入差值即可算出∠PFQ的结果。
【解析】
(1) 过点E作EF//AB，根据平行线内错角相等，可得∠BPE=∠PEF。
已知AB//CD，结合EF//AB，由平行线的传递性可得EF//CD，同理可得∠DQE=∠QEF。
因为∠PEQ=∠PEF+∠QEF，代入替换后即可得到∠PEQ=∠BPE+∠DQE。
(2) 过点F作FG//AB，由(1)的结论可得∠PEQ=∠BPE+∠DQE=100°。
由邻补角的性质可知∠APE=180°-∠BPE，∠EQC=180°-∠DQE，因此∠APE+∠EQC=360°-(∠BPE+∠DQE)=360°-100°=260°。
已知PF平分∠APE，QF平分∠CQE，因此∠APF=1/2∠APE，∠CQF=1/2∠EQC，代入得∠APF+∠CQF=1/2×260°=130°。
再次套用(1)的平行线拐点结论，可得∠PFQ=∠APF+∠CQF=130°。
(3) 过点E向左侧作EG//AB，由平行线内错角相等可得∠GEP=∠EPB。
已知AB//CD，结合EG//AB，由平行线传递性得GE//CD，因此∠GEQ=∠DQE。
由∠PEQ=∠GEQ-∠GEP=50°，代入得∠DQE-∠EPB=50°。
已知PH平分∠APE，因此∠APH=∠EPH=1/2∠APE，而∠APE=180°-∠EPB，因此∠APH=1/2(180°-∠EPB)=90°-1/2∠EPB。
由对顶角相等得∠BPF=∠APH=90°-1/2∠EPB，因此∠APF=180°-∠BPF=90°+1/2∠EPB。
已知QF平分∠CQE，∠CQE=180°-∠DQE，因此∠CQF=1/2∠CQE=90°-1/2∠DQE。
套用(1)的平行线拐点结论，∠PFQ=∠APF+∠CQF，代入表达式得：
∠PFQ=90°+1/2∠EPB +90°-1/2∠DQE=180°-1/2(∠DQE-∠EPB)=180°-1/2×50°=155°。
【答案】
解:(1) 如图 1,过点 E 作 $EF// AB$,则$∠ BPE=∠ PEF$. 因为 $EF// AB$,$AB// CD$,所以 $EF// CD$,所以 $∠ DQE=∠ QEF$. 因为 $∠ PEQ=∠ PEF+∠ QEF$,所以 $∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE$.
(2) 如图 2,过点 F 作 $FG// AB$,同(1)可得,$∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE=100°$. 因为 $∠ APE=180°-∠ BPE$,$∠ EQC=180°-∠ DQE$,所以 $∠ APE+∠ EQC=360°-(∠ BPE+∠ DQE)=260°$. 由题意可得$∠ APF=\dfrac{1}{2}∠ APE$,$∠ CQF=\dfrac{1}{2}∠ EQC$,所以 $∠ APF+∠ CQF=\dfrac{1}{2}(∠ APE+∠ EQC)=130°$,同(1)可得,$∠ PFQ=∠ APF+∠ CQF=130°$.
(3) 如图 3,过点 E 向左侧作 $EG// AB$,则$∠ PEQ=∠ GEQ-∠ GEP=50°$. 因为 $EG// AB$,所以 $∠ GEP=∠ EPB$. 因为 $AB// CD$,所以 $GE// CD$,所以 $∠ GEQ=∠ DQE$,所以 $∠ DQE-∠ EPB=50°$. 由题意,得$∠ BPF=∠ APH=∠ EPH=\dfrac{1}{2}∠ APE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ EPB)=90°-\dfrac{1}{2}∠ EPB$,所以 $∠ APF=180°-∠ BPF=180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ EPB)=90°+\dfrac{1}{2}∠ EPB$. 因为 $∠ CQF=∠ EQF=\dfrac{1}{2}∠ CQE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ DQE)=90°-\dfrac{1}{2}∠ DQE$. 由(1)得,$∠ PFQ=∠ APF+∠ CQF=90°+\dfrac{1}{2}∠ EPB+90°-\dfrac{1}{2}∠ DQE=180°-\dfrac{1}{2}(∠ DQE-∠ EPB)=180°-\dfrac{1}{2}×50°=155°$.
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义，平行线拐点辅助线
【点评】
本题是平行线章节的经典递进式变式题，从基础的拐点角和证明，逐步结合角平分线提升难度，核心考察学生对“过拐点作平行线”这一通用辅助线方法的掌握，不需要死记硬背各类拐点结论，学会通过辅助线转化角即可逐步推导求解，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.4
这道题属于平行线中的拐点类问题，核心解题思路是通过过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质实现角的转化：
1. 第(1)问要证明∠PEQ等于两个角的和，直接过点E作平行于AB的辅助线，将∠PEQ拆分为两个角，分别对应等于∠BPE和∠DQE，即可完成证明。
2. 第(2)问先沿用第(1)问的结论得到∠BPE+∠DQE的度数，再结合邻补角性质算出∠APE与∠CQE的总和，利用角平分线的定义得到两个平分后角的和，最后再过点F作平行线，套用第(1)问的模型直接得到∠PFQ的度数。
3. 第(3)问点E在AB上方，先过E作平行线推导出∠DQE与∠EPB的差值为50°，再结合角平分线定义将∠APF、∠CQF用∠EPB、∠DQE表示，代入差值即可算出∠PFQ的结果。
【解析】
(1) 过点E作EF//AB，根据平行线内错角相等，可得∠BPE=∠PEF。
已知AB//CD，结合EF//AB，由平行线的传递性可得EF//CD，同理可得∠DQE=∠QEF。
因为∠PEQ=∠PEF+∠QEF，代入替换后即可得到∠PEQ=∠BPE+∠DQE。
(2) 过点F作FG//AB，由(1)的结论可得∠PEQ=∠BPE+∠DQE=100°。
由邻补角的性质可知∠APE=180°-∠BPE，∠EQC=180°-∠DQE，因此∠APE+∠EQC=360°-(∠BPE+∠DQE)=360°-100°=260°。
已知PF平分∠APE，QF平分∠CQE，因此∠APF=1/2∠APE，∠CQF=1/2∠EQC，代入得∠APF+∠CQF=1/2×260°=130°。
再次套用(1)的平行线拐点结论，可得∠PFQ=∠APF+∠CQF=130°。
(3) 过点E向左侧作EG//AB，由平行线内错角相等可得∠GEP=∠EPB。
已知AB//CD，结合EG//AB，由平行线传递性得GE//CD，因此∠GEQ=∠DQE。
由∠PEQ=∠GEQ-∠GEP=50°，代入得∠DQE-∠EPB=50°。
已知PH平分∠APE，因此∠APH=∠EPH=1/2∠APE，而∠APE=180°-∠EPB，因此∠APH=1/2(180°-∠EPB)=90°-1/2∠EPB。
由对顶角相等得∠BPF=∠APH=90°-1/2∠EPB，因此∠APF=180°-∠BPF=90°+1/2∠EPB。
已知QF平分∠CQE，∠CQE=180°-∠DQE，因此∠CQF=1/2∠CQE=90°-1/2∠DQE。
套用(1)的平行线拐点结论，∠PFQ=∠APF+∠CQF，代入表达式得：
∠PFQ=90°+1/2∠EPB +90°-1/2∠DQE=180°-1/2(∠DQE-∠EPB)=180°-1/2×50°=155°。
【答案】
解:(1) 如图 1,过点 E 作 $EF// AB$,则$∠ BPE=∠ PEF$. 因为 $EF// AB$,$AB// CD$,所以 $EF// CD$,所以 $∠ DQE=∠ QEF$. 因为 $∠ PEQ=∠ PEF+∠ QEF$,所以 $∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE$.
(2) 如图 2,过点 F 作 $FG// AB$,同(1)可得,$∠ PEQ=∠ BPE+∠ DQE=100°$. 因为 $∠ APE=180°-∠ BPE$,$∠ EQC=180°-∠ DQE$,所以 $∠ APE+∠ EQC=360°-(∠ BPE+∠ DQE)=260°$. 由题意可得$∠ APF=\dfrac{1}{2}∠ APE$,$∠ CQF=\dfrac{1}{2}∠ EQC$,所以 $∠ APF+∠ CQF=\dfrac{1}{2}(∠ APE+∠ EQC)=130°$,同(1)可得,$∠ PFQ=∠ APF+∠ CQF=130°$.
(3) 如图 3,过点 E 向左侧作 $EG// AB$,则$∠ PEQ=∠ GEQ-∠ GEP=50°$. 因为 $EG// AB$,所以 $∠ GEP=∠ EPB$. 因为 $AB// CD$,所以 $GE// CD$,所以 $∠ GEQ=∠ DQE$,所以 $∠ DQE-∠ EPB=50°$. 由题意,得$∠ BPF=∠ APH=∠ EPH=\dfrac{1}{2}∠ APE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ EPB)=90°-\dfrac{1}{2}∠ EPB$,所以 $∠ APF=180°-∠ BPF=180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ EPB)=90°+\dfrac{1}{2}∠ EPB$. 因为 $∠ CQF=∠ EQF=\dfrac{1}{2}∠ CQE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ DQE)=90°-\dfrac{1}{2}∠ DQE$. 由(1)得,$∠ PFQ=∠ APF+∠ CQF=90°+\dfrac{1}{2}∠ EPB+90°-\dfrac{1}{2}∠ DQE=180°-\dfrac{1}{2}(∠ DQE-∠ EPB)=180°-\dfrac{1}{2}×50°=155°$.
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义，平行线拐点辅助线
【点评】
本题是平行线章节的经典递进式变式题，从基础的拐点角和证明，逐步结合角平分线提升难度，核心考察学生对“过拐点作平行线”这一通用辅助线方法的掌握，不需要死记硬背各类拐点结论，学会通过辅助线转化角即可逐步推导求解，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.4
